Речь о теореме Брауэра и её обобщениях. В поле зрения теорема о еже, фиксирующая невозможность причесать сферу без макушки. Эффективность инструмента (степень отображения, вращение векторного поля) иллюстрируется также на задачах о единственности решения и о количестве решений.

Что такое элементарная частица? Слово «частица» происходит от слова «часть», поэтому обычно представляется, что это какой-то кирпичик, из которого мы строим целое. Кирпичик ассоциируется с чем-то цельным, твердым, компактным, небольшим, а частица — с каким-нибудь шариком (это первое, что приходит в голову у обывателя, когда говорят «элементарная частица»). Физик Эмиль Ахмедов о модели атома Томсона, альфа-частицах и рассеянии Резерфорда.

Сто лет назад, в начале декабря 1915 года, Эйнштейн направил в печать работу, в которой были получены правильные уравнения гравитационного поля, тем самым было закончено создание общей теории относительности. Эйнштейн работал над этой теорией 10 лет, с тех пор как в 1905 году, 110 лет назад, создал специальную теорию относительности. Физик Игорь Волобуев о релятивистской механике, принципе эквивалентности и орбите Меркурия.

Физик Игорь Волобуев о путях выхода за рамки Стандартной модели, пятимерном пространстве-времени и теории бран, о существовании дополнительных измерений пространства-времени и про то, как эта гипотеза может быть проверена в современной физике высоких энергий, то есть на современных ускорителях элементарных частиц.

Можно потратить годы жизни на определение того, что такое время. Это личное дело каждого человека, занимающего свою цивилизационную нишу. Безусловно, попытка отвечать на такие вопросы — это часть человеческой культуры. Но для ученого-физика важны связи между разными субстанциями, причем соотношения не словесные, а формульные. В качестве примера такого соотношения можно привести второй закон Ньютона. Он утверждает, что F=ma — сила приводит к тому, что тело с массой m движется с ускорением a. Можно потратить годы жизни на то, чтобы определять смысл силы. Можно потратить годы жизни на то, чтобы определять, в чем состоит субстанция массы. Но для физика важно формульное соотношение между силой, массой и ускорением. Сейчас подчеркну, в каком смысле. Физик Эмиль Ахмедов о втором законе Ньютона, метрике Минковского и природе пространства-времени.

Непрерывная дробь — это выражение вида a0+(1/(a1+1/(a2+(1/(a3+… ))))), (конечное или бесконечное), где ai — натуральные числа. Выражения такого вида выглядят довольно забавными, но важность их заключается вовсе не в этом, а в том, что теория непрерывных дробей — это теория наилучших приближений иррациональных чисел рациональными. Например приближениие π≈22/7 точнее, чем более привычное 3,14=314/100, несмотря на то, что у первого знаменатель гораздо меньше второго. Каким образом это происходит, будет объяснено на занятиях.

Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином Pn(x) степени n со старшим коэффициентом 1, такой что величина max_{x∈[−1,1]}|Pn(x)| принимает наименьшее возможное значение. Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы — последовательность полиномов Чебышева, который являются классическим примером семейства ортогональных полиномов.

Курс лекций читает Буфетов Александр Игоревич, доктор физико-математических наук. г. Москва, НМУ.

Мы обсудим фундаментальное математическое свойство вполне положительности и рассмотрим ряд примеров его возникновения в теории вероятностей. Лекцию читает Буфетов Александр Игоревич, доктор физико-математических наук.

Лягушка сидит в вершине квадрата и раз в десять секунд принимает решение и совершает прыжок: с вероятностью p по часовой стрелке, с вероятностью q против часовой стрелки, с вероятностью 1−p−q на месте. Через десять секунд вновь решая куда прыгнуть, лягушка принимает во внимание лишь ту вершину, в которой она находится. Таким образом, положения лягушки в различные моменты времени не независимы, однако, при фиксированном настоящем, будущее лягушки независимо от её прошлого. В честь открывшего их нашего великого соотечественника Андрея Андреевича Маркова такие системы испытаний называют цепями Маркова. Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию марковских процессов со счётным числом состояний.

Традиция отмечать неофициальный день числа Пи зародилась в Соединенных Штатах почти 30 лет назад, когда известный американский физик Ларри Шоу обратил внимание на то, что 14 марта совпадает с первыми тремя цифрами знаменитой "архимедовой константы" — 3,14. На следующий год, с подачи Шоу, в этот день посетителей музея начали угощать пирогами (из-за сходного звучания слов "пирог" и "Пи" английском языке "pi" — "pie"), после чего к ежегодному отмечанию этой даты постепенно присоединились физики и математики со всего мира.

Последовательности {a_n} вещественных чисел сопоставим последовательность экспонент {exp⁡(a_n)} на отрезке [−π,π]. При каких условиях на последовательность {a_n} эта система полна, то есть любую функцию можно приблизить линейной комбинацией наших экспонент? Вопрос становится особенно интересным, если последовательность {a_n} определяется случаем.

Рассмотрим сумму двух эрмитовых матриц A и B. Это снова будет эрмитова матрица. В 1912 году Герман Вейль задался таким вопросом: что можно сказать о ее собственных значениях, если известны собственные значения матриц A и В? Во-первых, ясно, что след A+B будет равен сумме следов исходных матриц; во-вторых, наибольшее собственное значение A+B не превосходит суммы наибольших собственных значений A и B. А какие еще есть ограничения? В 1962 году Альфред Хорн выписал ряд неравенств на собственные значения матриц A, B и A+B и сформулировал гипотезу о том, что это полный набор условий. В 1999 году А.А.Клячко свел эту гипотезу к так называемой гипотезе о насыщении. Они же предложили описание неравенств Хорна при помощи диаграмм или «сот», которые имеют самое прямое отношение к теории представлений полной линейной группы GL(n).

Некоторые комбинаторные схемы дают на выходе интересные выпуклые многогранники, имеющие отношение много к чему из современной математики. Перестановки дают пермутоэдр (перестановочный многогранник). Где он может пригодиться? (Конфигурационное пространство шарнирного многоугольника). Скобочные последовательности дают ассоциэдр (многогранник Сташефа). Зачем он нужен? («Чудесная» компактификация де Кончини–Прочезе.) Вторичный многогранник (secondary polytope Гельфанда–Капранова–Зелевинского) связан с совершенно иной комбинаторной схемой, и при этом обобщает предыдущие примеры.

Как мы узнаем, выпуклые многогранники можно складывать и перемножать между собой. Далее, выпуклые многогранники можно умножать на рациональные числа. И наконец, что несколько неожиданно, для выпуклых многогранников можно определить логарифм и экспоненту. Вооружившись этими умениями, мы построим математически богатый замечательный объект — градуированную алгебру над Q — алгебру многогранников Питера Мак Маллена. С помощью этой алгебры мы докажем теорему об f-векторе выпуклого многогранника. Эта алгебра хорошо «отражается» в теории алгебраических торических многообразий.

Ученые из Оксфордского университета заявили, что самым ранним известным употреблением цифры 0 для обозначения отсутствия значения разряда (как в числе 101) следует считать текст индийского манускрипта Бахшали.

XVIII–XIX века прошли под знаком успеха механики Ньютона, которая показала поразительную эффективность при описании движения планет Солнечной системы. Но наука начала двигаться вперед, когда отказалась от этого механистического подхода. Под знаком всего этого происходящего возник такой парадокс Лапласа, который говорит о том, что везде отсутствует воля. То есть человек не может поступать по собственной воле, все предопределено и предсказуемо. Физик Эмиль Ахмедов о дифференциальных уравнениях, идеальных линиях и точках и решении парадокса Лапласа.

Фильм рассказывает о жизни известного индийского математика-самоучки Сринивасы Рамануджана. Невероятно грустный и щемящий фильм о трагической судьбе математического гения, родом из Индии, умеющего "играть с цифрами". Кумбаконамский колледж отверг Рамануджана и потеря была неизмеримой и худший пример вреда нанесённого науке. После получения письма с формулами от неизвестного юноши, Харолд Харди и Литлвуд — профессора Кембриджского университета приняли участие в судьбе приехавшего будущего гения. Оба признавали: Сриниваса Рамануджан абсолютно недосягаем, он был чемпионом каждой игры, правила которой он знал...

Генно-инженерные эксперименты показали, что количество пальцев у мышей зависит от двух взаимодействующих систем генов-регуляторов. По мере отключения этих генов пальцы становятся многочисленнее, короче и тоньше, а их концы соединяются костно-хрящевой дугой, так что в итоге кисть начинает напоминать плавник примитивной рыбы. Новые данные согласуются с гипотезой о том, что развитие пальцев основано на реакционно-диффузионном механизме самоорганизации, придуманном Аланом Тьюрингом в 1952 году.

Практически все знают соотношение E0=mc^2. Любой образованный человек знает, что E=mc^2. При этом забывают, что если тоньше приглядеться и неколлоквиально смотреть на него, то соотношение выглядит как E0=mc^2, у E есть индекс 0, и оно связывает энергию покоя с массой и скоростью света. При этом надо помнить, что энергия здесь ключевое понятие. Значит, коллоквиально говоря, это соотношение говорит о том, что любая масса — это энергия, но не любая энергия — это масса. Вот об этом не надо забывать, что не любая энергия — это масса! Любая масса — это энергия, но обратное неверно. И не для любой энергии, а только для энергии покоя верно, что она равна mc^2. Откуда следует это соотношение? Физик Эмиль Ахмедов о соотношении массы и энергии, пространстве-времени Минковского и координатах 4-вектора.