Физик Эмиль Ахмедов о дифференциальных уравнениях, идеальных линиях и точках и решении парадокса Лапласа.

XVIII–XIX века прошли под знаком успеха механики Ньютона, которая показала поразительную эффективность при описании движения планет Солнечной системы. Помимо этого, она, безусловно, приводила к успехам и в других областях, более приземленных, и оказалась эффективной при описании природы тепла, термодинамики. То есть термодинамика газов описывалась в виде движения атомов в ней чисто механистически. И Максвелл при написании своих уравнений электродинамики пытался механически, при помощи шестеренок и зацеплений, описать даже электромагнитные поля. А на самом деле это никакого отношения к природе электромагнитных полей не имеет, и наука начала двигаться, когда отказалась от этого механистического подхода.

Под знаком всего этого происходящего возник такой парадокс Лапласа, который говорит о том, что везде отсутствует воля. То есть человек не может поступать по собственной воле, все предопределено и предсказуемо.

Если верить и в механистический, и полевой подход, то все природные явления описываются в виде некоторых функций и дифференциальных уравнений на них. Что такое функции и дифференциальные уравнения, мы сейчас обсудим. Например, простейшей функцией является положение частицы. Это три функции, то есть координата в трех направлениях. Есть положение частицы в данный момент времени t в этом положении, в следующий момент времени в другом положении и так далее.

Получается функция — зависимость от времени положения частицы. Эта функция описывается известным всем дифференциальным уравнением, называемым вторым законом Ньютона. Оно дифференциальное, потому что содержит две производные от этой функции. Это есть ускорение, помноженное на массу, и определяется все это силой, действующей на эту частицу. Вот вам дифференциальное уравнение. Если вы задаете начальное положение частицы и начальную ее скорость, то решение этого уравнения определяется однозначно.

В термодинамике все тоже описывается однозначно. У вас только частица не одна, а их очень много. Представление о том, какое количество частиц содержится в газе, дает число Авогадро. Огромное число частиц есть в каком-то объеме газа. Эти частицы двигаются, сталкиваются друг с другом, сталкиваются со стенками, и это приводит к термодинамическим явлениям. Оказывается, что если у вас есть достаточно мощный компьютер, который может оперировать с таким огромным массивом данных, то, зная начальное положение всех частиц и начальные их скорости, вы можете однозначно определить их последующую эволюцию и поведение газа, предсказать полностью все детали поведения газа и составляющих его частиц и так далее.

Эту идею можно продолжить и дальше. Мы тоже состоим из молекул, атомов, которые друг с другом взаимодействуют, друг на друга какими-то силами действуют. И если мы зададим начальные положения и начальную скорость всех этих частиц, из которых мы состоим, то наше поведение полностью предопределено, потому что наше сознание и все остальное, если верить в эту механистическую модель, определяется полностью теми химическими реакциями, проходящими внутри нашего мозга и тела и так далее. Соответственно, никакой воли нет. Любой мой последующий поступок предопределен всем происходящим вокруг. Значит, в этом и заключается парадокс Лапласа, что все предопределено.

Считалось, что парадокс Лапласа решается квантовой механикой, потому что там появляется вероятностная интерпретация. Однако вероятностная интерпретация квантовой механики возникает при размыкании системы. То есть если вы воздействуете на маленькую квантовую систему большой классической системой, это называется измерение, производится измерение состояния квантово-механической системы, и в этот момент проявляется вероятностная интерпретация. А если квантово-механическая система замкнутая, то она полностью описывается так называемой волновой функцией. В силу ее вероятностной интерпретации она называется волной вероятности, но это неважно.

Как бы она ни называлась, замкнутая квантово-механическая система описывается волновой функцией, которая тоже подчиняется дифференциальному уравнению, называющемуся уравнением Шрёдингера. Важно следующее: если вы знаете начальные условия для этого дифференциального уравнения, то есть начальные значения волновой функции, ее производные, то после этого вы однозначно восстанавливаете волновую функцию во все времена. А квантово-механическая система, если она замкнута, описывается однозначно при помощи этой волновой функции. И никакая вероятностная интерпретация не нужна, потому что вы не размыкаете систему.

Можно сказать, что опять все предопределено. С этим можно спорить, но, с какой бы теорией мы ни имели дело — с теорией относительности, с общей теорией относительности, с уравнением гравитации, с уравнениями Максвелла, уравнениями, описывающими слабые и сильные взаимодействия, — все эти силы описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. В этих уравнениях содержатся поля, которые есть функции от координат, то есть от положения в пространстве и во времени значение какого-то поля. Его изменения в пространстве и времени описываются дифференциальным уравнением. То есть опять все вроде бы предопределено.

Откуда возникают парадоксы? Давайте на секунду отвлечемся, попытаемся объяснить, что вообще происходит. Существенная часть парадоксов возникает, когда мы пытаемся экстраполировать какой-то закон природы на все случаи жизни. Например, известный парадокс: что было раньше — курица или яйцо? Философская проблема, которая предполагает, что за всю историю Вселенной были курицы, которые несли яйца, из яиц вылуплялись курицы и так далее. Ясное дело, что так было не всегда. В результате эволюции были промежуточные состояния, которые рождали что-то подобное яйцу, все ближе и подобнее яйцу, и из этих яиц или подобия яиц вылуплялись птицы или животные, которые все более и более были близки к тому, что мы сейчас называем курицей. Парадокс про курицу и яйцо решается таким образом.

Если возвратиться к парадоксу Лапласа, мы, ученые, занимающиеся естественной наукой, пользуемся всегда некоторым приближением. Любой естественно-научный закон, каким бы фундаментальным он ни был, всегда верен в каком-то приближении. Второй закон Ньютона верен, если мы имеем дело с достаточно большими объектами — от крупинки и больше, — двигающимися со скоростями, которые сильно меньше, чем скорости света, с ускорениями, близкими к тем, что мы испытываем на Земле и в Солнечной системе, в гравитационных полях, которые создают что-то подобное Солнцу, звезды, подобные Солнцу, или планеты, подобные Земле. Если же мы начинаем обсуждать объекты, двигающиеся с очень высокими скоростями, нам приходится иметь дело со специальной теорией относительности. Если мы обсуждаем очень сильные гравитационные поля, нам приходится иметь дело с общей теорией относительности. Если нам приходится иметь дело с очень маленькими объектами, нам приходится иметь дело с квантовой механикой. Если же нам приходится иметь дело с очень высокими скоростями для очень маленьких объектов, нам приходится иметь дело с квантовой теорией поля. На следующем шаге, если нам хочется иметь дело с квантовой теорией поля в очень сильных гравитационных полях, вероятно, придется иметь дело с нечто подобным квантовой гравитации, что еще находится на стадии создания, а остальные теории разработаны.

Откуда возникает это приближение? Математика, как любят говорить с большим пафосом, — это то, что позволяет нам в окружающем нас хаосе находить какой-то порядок. То есть мы всегда при помощи математических формул описываем нечто математически идеализированное, что приблизительно описывает реально происходящее в природе. И мы можем даже определить, в каком приближении, и даже улучшать это приближение, приближаясь к реальной ситуации. Например, не бывает идеальных, бесконечно тонких прямых линий, не бывает идеальных точек и не имеющих размера объектов, не бывает идеальных инерциальных систем отсчета.

Но в реальности что происходит? Мы можем рассчитать урожай, собираемый с данной площади, описывая ее при помощи прямоугольника или многоугольника, ребра которого состоят из прямых отрезков, считая их бесконечно тонкими. Это нам позволяет оценить площадь этой плоской фигуры и урожай, который мы соберем, нередко пренебрегая тем, что это поверхность не плоская, а внутри этого многоугольника бывают холмики, впадины и так далее. Вопрос заключается в том, в каком приближении мы работаем.

Точно так же, используя идеальные тонкие линии, точки и так далее, мы можем рассчитывать дома. Для точности для расчета домов достаточно нескольких миллиметров, чтобы у нас не было щелей в окнах. С другой стороны, с какой точностью нам нужно рассчитать объект типа детектора в ускорителе (а это нечто сопоставимое с трех-, четырех- или пятиэтажным домом)? Там разные его детали подгоняются одна к другой с точностью до микрона. Там точность нужна выше, потому что нужно определять треки частиц и вершины реакций с такой точностью. Вопрос в том, с какой точностью что мы хотим описать. Поэтому мы всегда делаем какое-то приближение, ограничиваясь некоторой точностью, с которой мы что-то хотим описать, и из этого все проистекает.

Поэтому дифференциальные уравнения, которые описывают законы природы, — это на самом деле какое-то приближение к тому, что происходит реально в природе. Никто не сказал, что если мы пойдем до еще более мелких размеров, то увидим тонкую структуру у пространства и времени, какую-то гранулированную структуру, поведение которой будет описываться уже не дифференциальными уравнениями, а конечно-разностными. Да, в таких уравнениях опять возникнет проблема с тем, что все предсказуемо. Но если это будут не конечно-разностные уравнения? Факт заключается в том, что, скорее всего, парадокс Лапласа объясняется тем, что не надо экстраполировать законы природы, применимые к данной ситуации, на все случаи в жизни и природе.

Эмиль Ахмедов, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института теоретической и экспериментальной физики имени А. И. Алиханова, профессор кафедры теоретической физики МФТИ.

ПостНаука