Теорема Римана — один из центральных результатов теории функций комплексного переменного. В докладе будет рассказано о месте теоремы в математике и приведена идея ее доказательства, предложенного самим Риманом и основанного на соображениях из гидродинамики.

Как следует из названия, речь пойдет о взаимодействии математики и физики в прошлом и настоящем. Указанное взаимодействие пережило ряд кризисов. Один из них, в начале ХХ-го века, привел к созданию квантовой механики. Практически одновременно в математике возник математический эквивалент квантовой механики — функциональный анализ. Другой кризис, возникший во второй половине ХХ-го века, связан с квантовой теорией поля и до сих пор не преодолен. Главная причина состоит в отсутствии адекватного математического аппарата. Эти и другие проблемы взаимодействия математики и физики будут рассмотрены в лекции.

Любая функция, непрерывная на отрезке I, ограничена на нем и достигает своего наибольшего (наименьшего) значения. На какое подмножество К числовой прямой можно заменить I так, чтобы приведенное утверждение (теорема Вейерштрасса) осталось верным? Ответ: на компакт и только на компакт. Компакты на прямой, на плоскости, в пространстве и, вообще, в метрических пространствах, образуют один из самых хороших классов пространств, используемых в математическом и в функциональном анализе, топологии, математической экономике и других приложениях классической математики. Оказывается, среди компактов есть «самый большой» компакт, гильбертов куб. Он является (иньективно) универсальным. Эти слова означают, что гильбертов куб содержит в себе копии всех других компактов. Есть среди компактов объект, универсальный в несколько противоположном (проективном) смысле. Любой другой компакт может быть получен из этого единственного компакта с помощью непрерывного отображения.

За два тысячелетия произошло три важных расширения числовой области. Во-первых, около 450 г. до н.э. учёные школы Пифагора доказали существование иррациональных чисел. Их начальной целью было числовое выражение диагонали единичного квадрата. Во-вторых, в XIII-XV веках европейские учёные, решая системы линейных уравнений, допустили возможность одного отрицательного решения. И, в-третьих, в 1572 г. итальянский алгебраист Рафаэль Бомбелли использовал комплексные числа для получения действительного решения некоего кубического уравнения.

Если назвать точки на плоскости «прямыми», прямые на плоскости «точками», а «прямой», проходящей через две «точки», назвать точку пересечения соответствующих прямых, то (при правильном понимании) полученная «плоскость» будет обладать всеми свойствами обычной плоскости. Этот эффект известен в математике под названием проективной двойственности. Проективная двойственность небезынтересна уже при работе исключительно с точками и прямыми на плоскости и вдвойне интересна при работе с «искривленными» геометрическими фигурами: кривыми, поверхностями и многообразиями более высокой размерности.

Путешественник в прошлое случайно раздавил бабочку. Незначительная оплошность. Однако она повлекла катастрофические изменения в далеком будущем. Насекомое из рассказа Рэя Бредбери "И грянул гром" породило термин "эффект бабочки", широко известный в естественных науках. Сюжет писателя-фантаста стал предисловием к дискуссии экспертов о свойстве хаотических систем. В чем секреты и закономерности хаотичных явлений?

В докладе на примере геометрий Евклида и Лобачевского будет обсуждаться вопрос о том, что такое математическая истина и что означает «непротиворечивость геометрии». Будет рассказано об эволюции геометрических идей от Фалеса и Евклида до Пуанкаре и Гильберта, а также о специальной теории относительности Эйнштейна и об учебнике А. Н. Колмогорова по геометрии.

Однажды в Доме ученых мне удалось организовать диспут на тему «Развитие геометрии в двадцатом столетии». Естественно возник вопрос: а что такое геометрия? Что произошло с геометрией в прошлом веке? Геометрия ныне одна из многих? Кого из наших современников можно назвать великим геометром?

В лекции будет освещена основная концепция Ньютона, согласно которой законы природы описываются на языке математического анализа (по преимуществу, на языке дифференциальных уравнений). Будет рассказано о математическом описании законов Архимеда, Галилея, Кеплера, Ферма, Гука, о началах математической физики в трудах Н. Бернулли, Эйлера, Лапласа и Фурье, о формуле сложения скоростей Эйнштейна и об уравнении Шрёдингера.

В своей статье «Что такое математика» В. И. Арнольд писал: «Является ли математика перечислением следствий из произвольных аксиом или же ветвью естествознаия и теоретической физики, много обсуждался уже со времен Гильберта (придерживавшегося вслед за Декартом и, предвосхищая Бурбаки, первого мнения) и Пуанкаре (основателя современной математики, топологии, теории хаоса в динамических системах).» В лекции будет обсуждаться вопрос Арнольда, а заодно будет рассказано о самом Арнольде, а также о Николя Бурбаки, Давиде Гильберте, Рене Декарте и Анри Пуанкаре. И об их вкладе в науку.

Международная научная конференция «Дни классической механики» г. Москва, МИАН, ул. Губкина, д. 8 26 января 2015 г.

Энтропия — мера неопределённости, мера хаоса. В естественных науках это мера беспорядка системы, состоящей из многих элементов; в теории информации — мера неопределённости какого-либо опыта, процесса или испытания, которые могут иметь разные исходы (а значит, мера количества информации); в математике — мера сложности объекта или процесса. Понятие энтропии было впервые введено в 1865 году Р. Клаузиусом в термодинамике, К. Шенноном в теории информации в 1949 г., в теории стохастичпеских процессов Колмогоровым, Гельфандом и Яглом в 1956 г., в функциональном анализе и теории динамических систем Колмогоровым в 1956–1958 гг. Между мирами полной детерминированности, изучаемой классическим анализом и миром хаоса, изучаемым теорией вероятностей, ныне перекидывается мост, который связан с понятием энтропии.

Зильберман Александр Рафаилович. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 28 июля 2007 г.

Число В вершин, число Р ребер и число Г граней выпуклого многогранника связаны соотношением В−Р+Г=2. Легко сообразить, что это широко известное утверждение не имеет прямого отношения к выпуклости: если на боку выпуклого многогранника сделать вмятину, то он перестанет быть выпуклым, а количество вершин, ребер и граней сохранится. В то же время для совершенно произвольного многогранника теорема неверна. В данном курсе мы выясним, в каких именно случаях эти утверждения верны и почему на самом деле это — одна и та же теорема. Также мы разберемся, как выглядят аналогичные утверждения для других поверхностей, и не только для поверхностей (а, например, для графов или для многомерной сферы).

Теория Колмогорова–Арнольда–Мозера отвечает на вопросы типа «Могут ли планеты упасть на Солнце? Если да, то с какой вероятностью? И через какое время?» Математическая постановка задачи: предположим, что массы столь малы, что их притяжением друг к другу можно пренебречь. Тогда траектории движения планет можно посчитать; это сделал ещё Ньютон. Если перейти к реальному случаю, когда взаимное притяжение планет влияет на их орбиты, получится малое возмущение интегрируемой, т.е. точно решаемой, системы. Исследование малых возмущений интегрируемых систем классической механики Пуанкаре считал основной задачей теории дифференциальных уравнений. В лекциях будет рассказано, на уровне, доступном старшим школьникам, об основных идеях теории КАМ. Мы не поднимемся до задачи n тел и классической механики, но обсудим диффеоморфизмы окружности и основной шаг индукционного процесса, предложенного Колмогоровым для задач небесной механики.

Если поступить очень жестоко и отобрать у математика карандаш и бумагу, он будет смотреть на небо в поисках новых задач. Вопрос о движении планет (в математическом мире встречающийся под кодовым названием «Задача n тел») является чрезвычайно сложным — настолько сложным, что даже для специальных подслучаев случая n=3 каждый год публикуется огромное количество работ. Разобрать все аспекты этой задачи невозможно даже за семестровый курс. Мы, однако, не испугаемся, и попробуем поиграться в математику, которая здесь возникает. Основной мотивацией для нас будет задача двух тел: задача о движении одной планеты вокруг Солнца в предположении о том, что как будто бы никаких других планет в округе нет.

Для каждого простого p существует нормирование на поле рациональных чисел, пополнение относительно которого называется p-адическими числами. Эти пополнения играют важную роль в теории чисел и смежных областях математики. В этом курсе мы узнаем, что такое p-адические числа, и обсудим несколько элементарных применений к задачам алгебры и теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и пополнением метрического пространствa.

План лекций: Доказуемость и недоказуемость (почему некоторые утверждения нельзя ни доказать, ни опровергнуть?); Вычислимые функции (почему некоторые функции нельзя вычислить на компьютере?); Сложность алгоритмов; Формальные языки и исчисления.

Вводные понятия. Цель физики. Базовые принципы и понятия. Понятие пространства-времени. Принципы симметрии пространства-времени. Динамический принцип. Действие. Функция Лагранжа. Уравнения Эйлера–Лагранжа. Законы сохранения. Теорема Нетер. Энергия, импульс, момент. Задача Кеплера. Модели. Гамильтонов формализм. Отображение Лежандра. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона. Скобка Пуассона. Инвариантная формулировка механики.

Программа курса: 1) Классическая механика: как движется груз на пружине? 2) Оптика: почему угол падения равен углу отражения? 3) Интеграл Фейнмана: как перемещаться по всем путям сразу? 4) Уравнение Шрёдингера: почему энергия делится на порции (кванты)? Предполагается, что слушатели владеют искусством замены переменной в интеграле или готовы быстро этому выучиться.