ABC-гипотеза была сформулирована в 1985 г. и быстро стала центральной проблемой в теории чисел из-за её связей с другими нерешёнными проблемами, а также из-за того, что многие уже доказанные известные результаты были бы её следствиями. В 2012 году японский математик Мотидзуки выложил доказательство ABC-гипотезы в интернете, но математическое сообщество еще не пришло к единому мнению, правильно ли оно. В курсе мы введём ABC-гипотезу, опишем несколько эквивалентных её вариантов, и проследим ее связи с другими проблемами и теоремами в теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и многочленами над полями.

Программа курса: История. Первые оценки. Проблема соизмеримости длины окружности с ее диаметром. Бесконечные ряды, произведения и другие выражения для π. Сходимость и ее качество. Выражения, содержащие π. Последовательности, быстро сходящиеся к π. Современные методы вычисления π, использование компьютеров. Об иррациональности и трансцендентности π и некоторых других чисел. Предварительных знаний для понимания курса не требуется.

И целые числа, и многочлены (от одной переменной с коэффициентами в Q, R или Z/pZ) можно делить с остатком. Эта и подобные аналогии в структуре целых чисел и многочленов играли и продолжают играть важную роль в математике, особенно в теории чисел. В этом курсе мы исследуем такие аналогии в контексте теории чисел: на примере непрерывных дробей, уравнения Пелля, квадратичных вычетов, и abc-гипотезы. От слушателей требуется знакомство с пределами и арифметикой вычетов.

Отрывок из книги математиков Андрея Райгородского и Нелли Литвак, посвященный истории онлайн-рекламы, нобелевскому лауреату Уильяму Викри и стоимости одного клика.

В июле 2012 года ученым наконец-то удалось "поймать" бозон Хиггса. Новость о долгожданном открытии в считанные секунды облетела весь мир, моментально попав на первые полосы всех газет. Но спустя год после открытия, стали говорить о том, что бозон не оправдал ожиданий физиков, а некоторые даже понизили частицу в ранге, назвав главной мистификацией века. Так ли это на самом деле? В чем важность элемента, на поиски которого ученые потратили больше 40 лет?

Наша Солнечная система, такая близкая и родная со школьной скамьи, остается полна тайн и неведомых сюрпризов. Ученые все дальше продвигаются в исследовании ближайшего к Земле космического пространства. И чем больше и глубже познания, тем увеличивается и количество возникающих вопросов. Какие небесные тела и на каком расстоянии способны обнаружить космические приборы? А если, к примеру, тело невидимо, то как его распознать? Может ли черная дыра приблизиться и поглотить все окружающее вместе с нашей планетой? О том, какие задачи стоят сегодня перед астрономами, расскажут гости нашей программы.

Составленная из нулей и единиц цепочка 100010111011110100000111 выглядит более случайной, чем цепочка 010101010101010101010101. Возможно ли разделить все цепочки нулей и единиц на случайный и не случайные? Для конечных цепочек эта задача вряд ли осуществима. Однако можно пытаться решать её для бесконечных цепочек, т.е. для последовательностей. Иными словами, можно пытаться найти строгое математическое определение для понятия «случайная последовательностей нулей и единиц».

Математика, как и многие науки, прошла свою эпоху эволюции. Разобраться в истории чисел помогают наиболее древние письменные знаки. Возьмем, к примеру, древние мифы. В 12 подвигах Геракла мы видим обыкновенную математику сквозь философию числа. Вереницы зверей, десятки, девятки и восьмерицы богов свидетельствуют о развитости математической мысли. А что об этом нам говорят "высокоразвитые цивилизации" Южной Америки? Что вообще таит в себе эволюционная историческая макродинамика?

Существование тесной взаимосвязи космоса с практически невидимым микромиром — самый загадочный аспект современной физики. Планеты и даже целые скопления небесных звёзд «разбросаны» по бескрайним просторам, подобно пылинкам и элементарным частицам. Казалось бы, это лишь метафоричная связь. Но уже в первую секунду возникновения Вселенной, всё её содержимое состояло именно из мельчайших частичек — кварков. Невероятно, но эфемерные кирпичики вещества — основной строительный материал всего мироздания. Всего 6 видов или ароматов кварков, соединившись, образуют атомы, молекулы и другие частицы, а затем — Макрокосмос. Устройство Вселенной учёным удалось изучить достаточно детально, а вот с элементарными крупинками веществ нередко возникают проблемы. Не так быстро они раскрывают свои тайны, как хотелось бы. Даже единую теорию, которая могла бы описать весь известный «зоопарк» частиц, до сих пор создать не удаётся. Насколько наши знания о микромире полны и достоверны? Как кваркам удалось создать галактики и на что ещё способны эти крошечные частицы?

Как самостоятельная наука Геометрия зародилась еще в Древней Греции. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объема. Интересно, как бы отреагировал Эвклид на теорию четырехмерного подхода? Новые представления о мире связаны с многомерностью пространства. Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: "Все вокруг геометрия!". В начале 21-го столетия мы с еще большим изумлением можем это повторить. Что же такое современная геометрия? И как она используется в разных науках?

Испокон веков математика считается главным посредником между человеком и природой. Именно в ней нашли своё отражение логика и порядок устройства Вселенной, которым подчинён весь окружающий мир. Эта наука настолько прочно проникла во все сферы жизни общества, что мы, даже не замечая этого, регулярно прибегаем к простейшим математическим вычислениям и терминологии. Точные формулы позволяют учёным детально описать, спрогнозировать и просчитать до мелочей результаты любого процесса и явления. А уж научно-технический прогресс своим стремительным развитием обязан исключительно математике, ведь без неё он бы так и остался фантастической идеей в умах миллионов. Ещё итальянский астроном Галилео Галилей сказал: "Великая книга природы написана математическими символами". Позднее эту гипотезу подтвердил на практике один из основоположников современной физики – Исаак Ньютон. Тем самым, навсегда сделав два важнейших научных направления единым целым. Но так ли велика роль "царицы наук" в современной физике? Какие непознанные горизонты математика ещё может приоткрыть учёным?

Игры и смешанные стратегии. Задача о покупке акций на рынке ценных бумаг. Увеличение гарантированного выигрыша за счёт приобретения убыточных акций. Равновесие по Нэшу как индивидуально разумное решение игры. Почему реальные системы часто «сидят» в таком равновесии. Рыночная модель. Дилемма заключённого. Игровые ситуации, где в первую очередь играет роль психология.

Зеркальная симметрия. Изучение системы по реакциям на внешние воздействия. Нечувствительность к группам преобразований. Законы сохранения в механике как следствие инвариантности к преобразованиям Галилея. Поднимемся от зеркальной симметрии к общему понятию симметрии, каковым считают явление неизменности/инвариантности того или иного объекта при определённых преобразованиях/изменениях. «Объектом» может быть что угодно: геометрическая фигура, уравнение движения, модель того или иного явления и т. п.

Такого рода вопросы часто слышны от студентов, ученых, философов. Порой они возникают и у того, кто называется философом науки. Но иногда подобные рассуждения сопровождает глубокое убеждение о том, что философия, а также философия науки актуальны и выживают вне зависимости от перипетий научной и образовательной политики. Действительно ли это так? И почему философия науки не является ни «пятым колесом в телеге», ни «сферическим конем в вакууме»? На эти и другие вопросы даст подробный ответ Лада Владимировна Шиповалова, доцент кафедры философии науки и техники, доктор философских наук, лектор Открытого Философского Факультета.

Симфония не является в строгом смысле аудио-произведением. Это философский рассказ о прошлой и будущей истории отношений человека и технологий: от наивного восхищения "прогрессом ради прогресса", через переосмысление идеалов, через попытки бегства от реальности и череду новых открытий — к реальному духовному преображению человечества. Целевой аудиторией являются люди, которым интересна мелодичная и экспериментальная электронная музыка, трансгуманистическая футурология, философия сознания, этики и религии, психология изменённых состояний сознания, а также в целом научная фантастика.

Солипсизм (термин, который можно условно перевести с латинского solus и ipse — ‘единственный’ и ‘сам’) означает в философии трудности логического доказательства того, что за пределами сознания некоторого наблюдателя существует реальный мир. Как обосновывается солипсизм? Беркли впервые и очень ярко и красочно показал достаточно простую вещь. Фактически он настаивал на том, что солипсическую идею даже не нужно обосновывать, она лежит на поверхности, представляя собой некоторую аксиому. Философ Диана Гаспарян об определении субъекта и объекта, корреляционизме и современной эпистемологии.

Трансцендентализм восходит к средневековой, во многом схоластической риторике. Там он употреблялся довольно часто, но не в том значении, в котором он потом закрепился в философской традиции, стал означать гораздо более важные сюжетообразующие вещи, которые на сегодняшний день часто и имеются в виду в связи с этим словом.

О математической физике рассказывает Алексей Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.

История алфавита началась в Древнем Египте более, чем за тысячу лет до изобретения письменности. Первый алфавит, протосинайская письменность, появился приблизительно в середине XIX века до н.э., он предназначался для языка семитов, работавших в Египте. Принцип этого алфавита был заимствован у египетских иероглифов. Большинство существующих в наши дни алфавитов либо напрямую восходят к финикийскому алфавиту (например, латинский и греческий алфавиты), либо были созданы под его влиянием.

Когда Гаусс написал в 1801 г., что «Проблема различения простых и составных чисел и разложения последних на простые сомножители, как известно, является одной из самых важных и полезных в арифметике» он не знал, что 200 лет спустя эта проблема будет иметь огромное значение для криптографии: ее приложениями каждый день пользуются миллионы людей. Мы обсудим, как проверить простоту целых чисел детерминированными и вероятностными алгоритмами. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов, включая малую теорему Ферма.