Составленная из нулей и единиц цепочка 100010111011110100000111 выглядит более случайной, чем цепочка 010101010101010101010101. Возможно ли разделить все цепочки нулей и единиц на случайный и не случайные? Для конечных цепочек эта задача вряд ли осуществима. Однако можно пытаться решать её для бесконечных цепочек, т.е. для последовательностей. Иными словами, можно пытаться найти строгое математическое определение для понятия «случайная последовательностей нулей и единиц».

Традиционная теория вероятностей не только не приближается к решению этой задачи, но даже не может её сформулировать в своих терминах. На помощь приходит теория алгоритмов. Может показаться парадоксальным, что понятие случайности уточняется на основе такого чуждого случайности понятия, как алгоритм, — тем не менее, это так: все известные до сих пор определения случайности индивидуального объекта (в нашем примере — индивидуальной последовательности нулей и единиц) опираются на понятие алгоритма.

Чтобы найти требуемое определение, поступают так. Формулируют некое характеристическое свойство, которым обладают случайные (в неформальном, интуитивном смысле) последовательности. А затем последовательности, обладающие этим свойством, и объявляют, по определению, случайными.

Какими же свойствами обладает случайная последовательность нулей и единиц?

Во-первых, она частотноустойчива. Вот что это означает для того простейшего случая, когда нули и единицы равновероятны — а только такой случай мы и будем рассматривать: частота нулей, как и частота единиц, стремится к одной второй. При этом указанная устойчивость частот выполняется не только для последовательности в целом, но и для любой её законной, разумной подпоследовательности.

Во-вторых, она хаотична. Это означает, что чередование нулей и единиц не может быть описано никаким разумным правилом.

В-третьих, она типична. Это означает, что она принадлежит любому разумному большинству.

В-четвёртых, она непредсказуема. Это означает, что играя против неё на деньги (то есть пытаясь угадать члены последовательности и делая ставки), последовательность невозможно обыграть, какой бы разумной стратегией не пользоваться.

Слово «разумный», встречающееся в описаниях перечисленных четырёх свойств, разумеется, нуждается в уточнении. Теория алгоритмов как раз и предлагает такие уточнения, наполняя это слово точным смыслом — своим для каждого из наших четырёх свойств. Тем самым возникают четыре алгоритмических свойства: частотная устойчивость, хаотичность, типичность, непредсказуемость. Каждое из них представляет своё собственное алгоритмическое лицо случайности, и каждое из них с большими или меньшими основаниями может претендовать на роль строгого математического определения для понятия случайности. Можно сказать и так: возникают четыре точно очерченных класса последовательностей, каждый из которых претендует на то, чтобы служить истинным классом случайных последовательностей; некоторые из этих претензий более оправданы, чем другие.

Для понимания лекции требуются следующие знания: общие элементарные представления о множествах и функциях; понимание термина «алгоритм»; для отдельного фрагмента лекции — понимание того, что такое сумма ряда с положительными членами.

Материалы: [pdf 340 KB]

Успенский Владимир Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
23 июля 2005 г.