Целые числа, рациональные, алгебраические… Что дальше (оставаясь в пределах действительных чисел)? Дальше идут вычислимые действительные числа, т.е. такие действительные числа, которые можно в разумном смысле вычислить. «Можно вычислить» означает, что вычисление можно запрограммировать. Мыслимы различные подходы к тому, что именно надо программировать. Один подход: составлять программу для получения сколь угодно близкого рационального приближения. Другой подход: составлять программу для получения любого знака в двоичной (троичной, …, десятичной, … и т.д.) записи числа. Возможны и другие естественные подходы. Все они эквивалентны в том смысле, что приводят к одному и тому же множеству вычислимых действительных чисел. Однако если рассмотреть, скажем, двоичную и десятичную записи чисел, то обнаруживается следующий эффект: существует алгоритм, переводящий программу десятичной записи в программу двоичной записи того же числа, но не существует алгоритма, переводящего программу двоичной записи в программу десятичной.

Программы вычислимых чисел естественно рассматривать как имена этих чисел. Различные упомянутые выше подходы приводят к различным системам имён, эквивалентным в одном смысле и не эквивалентным в другом. Снабжение элементов какого-либо множества именами называется нумерацией этого множества, потому что без ограничения общности имена можно считать натуральными числами.

Общая теория нумераций возникла в феврале 1954 г. в результате замечания, сделанного А. Н. Колмогоровым на руководимым им совместно с автором семинаре по рекурсивной арифметике. Поводом послужило изучение на указанном семинаре так называемых конструктивных ординалов (они же конструктивные порядковые числа), т.е. тех ординалов, которых можно снабдить именами, используя некоторую естественную алгоритмическую процедуру. Основные понятия теории нумераций были сформулированы Колмогоровым при обсуждении этой темы.

Успенский Владимир Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
19 июля 2008 г.