Задача о покупке акций на рынке ценных бумаг. Увеличение гарантированного выигрыша за счёт приобретения убыточных акций.
Равновесие игры по Нэшу
Равновесие по Нэшу как индивидуально разумное решение игры. Почему реальные системы часто «сидят» в таком равновесии. Рыночная модель. Дилемма заключённого.
Игровые ловушки
Игровые ситуации, где в первую очередь играет роль психология.
Опойцев Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, гл. н. с. ИПУ РАН.
Теория игр — наука, изучающая принятие решений, особенно принятие решений в условиях зависимости достигаемого результата от действий других участников процесса. При этом «счастье для всех, даром и пусть никто не уйдёт обиженным» как правило невозможно по правилам — хотя ещё обиднее, когда оно возможно, но заведомо не случится. Изучаются же в каком-то смысле «достижимые» и «устойчивые» ситуации — так называемые равновесия. В интересующих нас играх часто можно выписать все сценарии развития событий, но после этого всё равно ещё остаются вопросы. С этой точки зрения шахматы одновременно слишком сложны — много позиций — и слишком просты — полный перебор сразу определил бы оптимальную стратегию для каждой позиций. Так как курс не построен вокруг одного понятия или утверждения, по пожеланиям слушателей возможны значительные изменения программы.
Почему результат игры в шахматы предопределен? Как происходило развитие шахматных программ? Чем различаются шахматные программы? На эти и другие вопросы отвечает кандидат физико-математических наук Дмитрий Дагаев.
Математики оценивают количество различных шахматных партий величиной 10 в 120 степени – так называемое Число Шеннона (для сравнения – число атомов в изученной части вселенной — 10^80). Число различных позиций, возникающих на шахматной доске во время игры, несомненно, меньше, ведь в разных партиях могут возникать одинаковые позиции. Рассчитанное число позиций в шахматах около 10^43, включая некоторые невозможные позиции. Условно, с учетом легальности позиций, можно считать их количество приблизительно равным 10^40.
Объявлено об успешном завершении работы компьютерной программы, просчитывавшей одну из версий покера — хедз-ап в лимитном техасском холдеме. Программа научилась принимать правильное решение в каждом из примерно 3,19×10^14 возможных состояний игры. Найденная таким образом стратегия на длинной дистанции должна обыгрывать остальные стратегии.
История развития автоматики и вычислительной техники странным образом связана с шахматами. В XVIII в. "думающие" шахматные автоматы служили для фокусов и мистификаций. Первый аппарат с настоящим искусственным интеллектом, созданный в Испании в начале ХХ в., был способен поставить мат королем и ладьей шахматисту, играющему королем. Видимо, не случайно и то, что одной из первых действительно интеллектуальных задач, поставленных перед программистами еще на заре вычислительной техники, была игра в шахматы. О шахматных программах и связи этой древней игры с развитием технологий искусственного интеллекта мы попросили рассказать одного из тех, кто создавал первые шахматные программы, доктора технических наук, профессора Владимира Львовича Арлазарова.
Выпуклость и неравенства. Неравенство Иенсена. Метод математической индукции. Среднее арифметическое больше среднего геометрического. Приёмы доказательств. Использование производных. О монгольском неравенстве. Метод интервалов. Неравенство с логарифмами.
Аристотель и Галилей о падении тел. Силы трения. Скольжение и качение. Статика, кинематика. Векторная природа сил и скоростей. Сложение и разложение. Независимость действий и движений. Сохранение количества движения. Момент силы и момент импульса. Гироскопы. Скамейка Жуковского. Вращательное движение. Момент силы и момент импульса в плоском варианте вращения. Вращение твёрдого тела и момент инерции. Работа, энергия, законы сохранения. Неинерциальные системы и силы. Центробежный эффект. Сила Кориолиса. Задача Эйнштейна о чаинках. Атмосферное давление. Законы Паскаля и Архимеда. Парадокс Архимеда.
Зеркальная симметрия. Изучение системы по реакциям на внешние воздействия. Нечувствительность к группам преобразований. Законы сохранения в механике как следствие инвариантности к преобразованиям Галилея. Поднимемся от зеркальной симметрии к общему понятию симметрии, каковым считают явление неизменности/инвариантности того или иного объекта при определённых преобразованиях/изменениях. «Объектом» может быть что угодно: геометрическая фигура, уравнение движения, модель того или иного явления и т. п.
Если что и даёт ясное представление о высшей математике, так это линейная алгебра. Барьер повседневности здесь преодолевается легко и просто. При этом оказывается, что удивительные вещи находятся не в туманной дали, а совсем рядом. В этом курсе: линейные задачи и векторы, линейные преобразования и матрицы, элементарные преобразования, теория определителей, системы уравнений, замена координат, собственные значения и собственные векторы, операторы на комплексной плоскости, спектральная теория, квадратичные формы, сопряжённое пространство, триангуляция Шура, функции от матриц, матричные ряды.
Математики оценивают количество различных шахматных партий величиной 10 в 120 степени – так называемое Число Шеннона (для сравнения – число атомов в изученной части вселенной — 10^80). Число различных позиций, возникающих на шахматной доске во время игры, несомненно, меньше, ведь в разных партиях могут возникать одинаковые позиции. Рассчитанное число позиций в шахматах около 10^43, включая некоторые невозможные позиции. Условно, с учетом легальности позиций, можно считать их количество приблизительно равным 10^40.
Объявлено об успешном завершении работы компьютерной программы, просчитывавшей одну из версий покера — хедз-ап в лимитном техасском холдеме. Программа научилась принимать правильное решение в каждом из примерно 3,19×10^14 возможных состояний игры. Найденная таким образом стратегия на длинной дистанции должна обыгрывать остальные стратегии.
Выпуклость и неравенства. Неравенство Иенсена. Метод математической индукции. Среднее арифметическое больше среднего геометрического. Приёмы доказательств. Использование производных. О монгольском неравенстве. Метод интервалов. Неравенство с логарифмами.
Аристотель и Галилей о падении тел. Силы трения. Скольжение и качение. Статика, кинематика. Векторная природа сил и скоростей. Сложение и разложение. Независимость действий и движений. Сохранение количества движения. Момент силы и момент импульса. Гироскопы. Скамейка Жуковского. Вращательное движение. Момент силы и момент импульса в плоском варианте вращения. Вращение твёрдого тела и момент инерции. Работа, энергия, законы сохранения. Неинерциальные системы и силы. Центробежный эффект. Сила Кориолиса. Задача Эйнштейна о чаинках. Атмосферное давление. Законы Паскаля и Архимеда. Парадокс Архимеда.
Если что и даёт ясное представление о высшей математике, так это линейная алгебра. Барьер повседневности здесь преодолевается легко и просто. При этом оказывается, что удивительные вещи находятся не в туманной дали, а совсем рядом. В этом курсе: линейные задачи и векторы, линейные преобразования и матрицы, элементарные преобразования, теория определителей, системы уравнений, замена координат, собственные значения и собственные векторы, операторы на комплексной плоскости, спектральная теория, квадратичные формы, сопряжённое пространство, триангуляция Шура, функции от матриц, матричные ряды.