x, y, z

Линейная алгебра

Валерий Опойцев

Комментарии: 0
Если что и даёт ясное представление о высшей математике, так это линейная алгебра. Барьер повседневности здесь преодолевается легко и просто. При этом оказывается, что удивительные вещи находятся не в туманной дали, а совсем рядом.

Часть 1. Линейные задачи и векторы
Изучать абстрактную науку удобнее, имея в голове несколько содержательных задач. Конечно, преодолевать отвращение к конкретике нелегко, но это потом окупается.
Материалы к лекции: la1.pdf

Часть 2. Линейные преобразования и матрицы
Матрицы как линейные преобразования. Основные операции.
Материалы к лекции: la2.pdf

Часть 3. Элементарные преобразования
Механизм элементарных преобразований. Процесс Гаусса. Существование и вычисление обратной матрицы. Ранг матрицы.

Часть 4. Теория определителей
Разные способы введения определителей. Детерминант как объем параллелепипеда, построенного на вектор-строках матрицы. Свойства определителей.

Часть 5. Системы уравнений
Правило Крамера. Вырожденный случай. Парадокс Щипанова.

Часть 6. Замена координат и собственные значения
Выгоды перехода к другим переменным. Характеристическое уравнение. Собственные значения и собственные векторы.

Часть 7. Поворотный момент в линейной алгебре
На каком числовом поле имеет смысл развивать теорию. Выгоды рассмотрения линейных операторов на комплексной плоскости.

Часть 8. Спектральная теория и линейные пространства
Спектр, спектральный радиус. Как спектральные свойства матрицы влияют на приложения. Какие бывают линейные пространства.

Часть 9. Квадратичные формы
Кинетическая и потенциальная энергия механической системы. Гессиан. Ортогональные матрицы. Положительная определённость. Симметрические матрицы.

Часть 10. Сингулярные числа и сопряжённое пространство
Роль сингулярных чисел. Биортогональные базисы. Сопряжённые пространства и сопряжённые операторы.

Часть 11. Триангуляция Шура
Унитарные матрицы. Ортогонализация Грама—Шмидта. Триангуляция Шура. Жордановы формы.

Часть 12. Функции от матриц
Матричная экспонента. Матричные ряды. Нормы векторов и матриц. Конечные представления матричных функций.

Часть 13. О скрытых пружинах численных методов
Понятие обусловленности и его роль при вычислениях. Скрытые механизмы матричных вычислений.

Опойцев Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, гл. н. с. ИПУ РАН.
oschool.ru
Комментарии: 0