Симметрия

Валерий Опойцев

Феномен симметрии

Зеркальная симметрия. Изучение системы по реакциям на внешние воздействия. Нечувствительность к группам преобразований. Законы сохранения в механике как следствие инвариантности к преобразованиям Галилея.

Поднимемся от зеркальной симметрии к общему понятию симметрии, каковым считают явление неизменности/инвариантности того или иного объекта при определённых преобразованиях/изменениях.

«Объектом» может быть что угодно: геометрическая фигура, уравнение движения, модель того или иного явления и т. п. Правильный многогранник, например, не меняется, самосовмещаясь под воздействием определённой группы поворотов. И это очень естественный способ изучения объекта. Надо подействовать на него некоторым образом, и посмотреть на реакцию. По реакции можно многое понять. Живой — неживой, приличный — неприличный. Но мы пока о другом. Скажем, есть функция времени, $f(t)$ , и мы знаем, что $f(t)$ не меняется при любом изменении начала отсчёта времени. Что следует отсюда? Отсюда следует, что $f(t)$ не зависит от времени. А если функция $z=h(x,y)$ инвариантна (нечувствительна) к любым поворотам системы координат, то она гарантированно является функцией от $x^2+y^2$ .

Оба результата интуитивно понятны. На формальных доказательствах мы не останавливаемся, дабы не отвлекаться от главного в данном контексте. Наша с вами задача Вас заинтересовать. Открыть обзор, горизонты. Иначе ученичество напоминает путешествие в трюме корабля. Ничего не видно, неясно где и куда плывём. А ведь настроение, пейзажи, мотивы — это ключевые вещи на жизненном пути. Поэтому вот ещё один аванс.

Инвариантность уравнений классической механики к преобразованиям Галилея — влечёт за собой законы сохранения энергии и количества движения

Ещё один эффектный вид симметрии — инвариантность формул по отношению к выбору системы единиц измерения. Характер зависимостей не меняется, измеряем ли мы, скажем, длину в метрах или милях. Заранее ясно, например, что период $Т$ колебаний маятника может зависеть лишь от $m, g, l$ . Поиск формулы для $Т$ сводится к поиску комбинации из $m, g, l$ , имеющей размерность времени. Такая комбинация единственна: корень из $l/g$ , масса $m$ оказывается ни при чём. Поэтому $T^2\approx l/g$ . Такие методы позволяют просто решать очень сложные задачи, но об этом в следующий раз.

Метод размерностей и подобия

Легко и просто решаются довольно сложные задачи. Период колебания маятника, перекрытие рек, флаттер-эффект.

Вернёмся к методу анализа размерностей (см. конец прошлой лекции), впечатляющему загадочной лёгкостью. Высота $h$ , на которую взлетает тело, брошенное вертикально вверх со скоростью $v$ , пропорциональна $v^{2}/g$ потому что из $v$ и ускорения свободного падения $g$ образуется единственная величина размерности длины $v^{2}/g$ . Задача решена с точностью до константы, зато без всяких хлопот. Кроме того, константа $k$ в $h=k v^{2}/g$ может быть определена экспериментально при подбрасывании какой-нибудь гайки, а потом использована для вычисления $h$ снаряда при выстреле из пушки. Поэтому здесь и говорят о методах размерности и подобия.

Симметрия в алгебре

Примеры задач, где соображения симметрии позволяют быстро и просто выкрутиться из сложного положения. В двух словах об общем методе стандартного представления симметричных полиномов.

Лекции читает Опойцев Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, гл. н. с. ИПУ РАН.

Комментарии: 0

Похожее

Линейная алгебра

Валерий Опойцев

Если что и даёт ясное представление о высшей математике, так это линейная алгебра. Барьер повседневности здесь преодолевается легко и просто. При этом оказывается, что удивительные вещи находятся не в туманной дали, а совсем рядом. В этом курсе: линейные задачи и векторы, линейные преобразования и матрицы, элементарные преобразования, теория определителей, системы уравнений, замена координат, собственные значения и собственные векторы, операторы на комплексной плоскости, спектральная теория, квадратичные формы, сопряжённое пространство, триангуляция Шура, функции от матриц, матричные ряды.
Уравнения и симметрии

Антон Джамай

Целью этого элементарного курса, рассчитанного на школьников, является познакомить слушателей с некоторыми основными и очень красивыми идеями современной абстрактной алгебры. Начиная с элементарных примеров, мы введем понятия группы, кольца, и поля, и заодно посмотрим на некоторые неожиданные свойства простых уравнений в кольцах. После этого мы рассмотрим разные примеры групп, таких как группы симметрий правильных многоугольников и многогранников, или группы перестановок. Мы увидим как можно записать операцию в группе с помощью таблиц Кэли, и посмотрим на более наглядное представление структуры группы с помощью диаграмм Кэли. Мы также рассмотрим примеры действия групп и связанные с этим понятия, а также некоторые красивые приложения (такие как счетная лемма Бернсайда).
Теория групп и её наглядные приложения к физике и химии

Никон Курносов

Основы теории групп. Представления конечных групп. Точечные и пространственные группы. Приложения теории групп: теория молекулярных орбиталей, нормальные колебания (проекторы и применение в исследовании веществ). Приложения теории групп в физике твёрдого тела: кристаллическая структура, колебания решётки или откуда берутся полупроводники. Знаний по физике и химии, выходящих за рамки школьной программы не требуется. По математике могут пригодиться сведения из программы первого курса.
Симметрии в мире элементарных частиц

Дмитрий Казаков

Как законы сохранения связаны с симметрией? На каких группах симметрии основана Стандартная модель? Какие примеры нарушенной симметрии существуют в физике элементарных частиц? О типах преобразований в физике частиц, лоренц-инвариантности и нарушениях симметрии рассказывает доктор физико-математических наук Дмитрий Казаков.
Числа, множества, операции

Валерий Опойцев

Комплексные числа: Как возникают и что обеспечивают. Как введение «странных» объектов проливает свет на реальные проблемы. Теория вещественных чисел: Пополнение прямой. Сечения Дедекинда. Зачем это нужно. Системы счисления: Что говорил Плутарх. Позиционная запись чисел. Десятичная система, двоичная. Игра «Ним» на шахматной доске. Двоичный выигрывающий алгоритм. Множества и операции: Наивная теория множеств. Сходство и различия с арифметическими операциями. Булевы структуры. Какими моделями их можно наполнять. Как эти модели перекликаются. Математическая индукция: Аксиома Пеано. Механизм индукции. Примеры.
Абстрактное и конкретное в математике

Алексей Семихатов

Как математически были классифицированы симметрии явлений? Как соотносятся полупростые группы Ли и физика элементарных частиц? Что явилось математической предпосылкой существования кварков? О полупростых группах Ли, классификации элементарных частиц и математических моделях в природе рассказывает Алексей Михайлович Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.
Элементы теории игр

Валерий Опойцев

Игры и смешанные стратегии. Задача о покупке акций на рынке ценных бумаг. Увеличение гарантированного выигрыша за счёт приобретения убыточных акций. Равновесие по Нэшу как индивидуально разумное решение игры. Почему реальные системы часто «сидят» в таком равновесии. Рыночная модель. Дилемма заключённого. Игровые ситуации, где в первую очередь играет роль психология.
Уравнения, неравенства, тождества

Валерий Опойцев

Выпуклость и неравенства. Неравенство Иенсена. Метод математической индукции. Среднее арифметическое больше среднего геометрического. Приёмы доказательств. Использование производных. О монгольском неравенстве. Метод интервалов. Неравенство с логарифмами.
Механика

Валерий Опойцев

Аристотель и Галилей о падении тел. Силы трения. Скольжение и качение. Статика, кинематика. Векторная природа сил и скоростей. Сложение и разложение. Независимость действий и движений. Сохранение количества движения. Момент силы и момент импульса. Гироскопы. Скамейка Жуковского. Вращательное движение. Момент силы и момент импульса в плоском варианте вращения. Вращение твёрдого тела и момент инерции. Работа, энергия, законы сохранения. Неинерциальные системы и силы. Центробежный эффект. Сила Кориолиса. Задача Эйнштейна о чаинках. Атмосферное давление. Законы Паскаля и Архимеда. Парадокс Архимеда.
Теория алгоритмов

Валерий Опойцев

Исходные понятия. Полиномиальные и экспоненциальные алгоритмы. Задачи распознавания и оптимизации. Определение классов P и NP. Совпадает ли P с NP или не совпадает — вопрос на миллион долларов. Машина Тьюринга как универсальный вычислительный прибор. Опорные комбинаторные задачи: коммивояжера, клика, изоморфизм графов, паросочетание, рюкзак, целочисленное линейное программирование (ЦЛП), транспортная задача. В двух словах о непрерывной задаче линейного программирования. Теорема Кука.

Далее >>>

∀ x, y, z

Симметрия

Валерий Опойцев

Теги

Похожее