В сороковые годы XX века известными математиками П. Эрдёшом и Г. Хадвигером была поставлена одна из самых коротко формулируемых и в то же время одна из самых ярких и трудных задач комбинаторной геометрии — задача о нахождении хроматического числа евклидова пространства R^n, т. е. минимального числа цветов, в которые можно так раскрасить точки пространства, чтобы точки, отстоящие друг от друга на расстояние 1, оказались раскрашенными в разные цвета. Эта задача до сих пор не решена даже для n=2, т. е. для плоскости, хотя простотой и естественностью своей постановки она сразу привлекла внимание всех математиков. К настоящему времени разработано много интересных и остроумных подходов к её (пока частичному) решению. Текст брошюры представляет собой запись лекции, прочитанной автором 7 декабря 2002 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.

Матрица. Вектор. Сложение векторов и свойства сложения векторов. Геометрическая интерпретация вектора и сложения векторов. Умножение вектора на скаляр и его свойства. Однородная линейная функция вещественных чисел. Геометрическая интерпретация умножения вектора на скаляр. Умножение вектора на матрицу. Зачем нам нужны векторы? Сравнение свойств сложения и умножения вещественных чисел и векторов. Умножение на нулевой вектор. Дистрибутивность. Транспонирование матрицы. Система линейных уравнений. Метод исключения Гаусса-Джордана. Умножение матрицы на матрицу. Обратная матрица. Определитель квадратной матрицы.

Фильм расскажет о молодости знаменитого американского физика-ядерщика Ричарда Фейнмана, о его первой любви, о его участии в создании атомной бомбы. В основе картины лежат две автобиографические книги ученого.

Документально-биографический фильм о Марии Склодовской-Кюри. Удостоена Нобелевской премии: по физике (1903) и по химии (1911), первый дважды нобелевский лауреат в истории.

В теории множеств есть несколько известных вопросов о том, следует ли из некоторых аксиом другая аксиома (или гипотеза; аксиома — это просто гипотеза, которой пользуется подавляющее большинство). Как и в других областях математики, недоказуемость можно продемонстрировать с помощью модели, в которой верны предположения, но не верна гипотеза. Для построения одного из самых известных таких примеров, модели теории множеств, в которой есть промежуточная мощность между мощностями натурального ряда и вещественной прямой, Коэн разработал метод вынуждения.

В курсе будет рассказано о замечательной теории, созданной В. Воеводским. В частности, будут даны и мотивированы определения гомологий Суслина, мотивных гомологий и когомологий Воеводского. Будет дана конструкция его категории мотивов алгебраических многообразий. Все эти построения опираются на понятия «многозначных» отображений и пучков. Оба последние понятия будут введены, пояснены и снабжены примерами. От слушателей предполагается знание того, что такое поле, векторное пространство, абелева группа и умение работать с многочленами нескольких переменных.

Квантовая теория поля является фактически фундаментом современной физики, включая физику высоких энергий, физику элементарных частиц и физику конденсированного состояния. Физик и математик Людвиг Фаддеев напомнит о различии между квантовой механикой и квантовой теории поля. Квантовая механика описывает поведение объектов микромира (атомов, протонов, электронов, фотонов), которое не в состоянии описать классическая механика. Однако, когда эти частицы имеют очень большую (релятивистскую) энергию, с трудностями сталкивается уже и квантовая механика.

Симметрии в физике — это не только отражение красоты законов природы, но и некая гарантия нашей стабильности: каждая симметрия соответствует закону сохранения некоторой величины. Благодаря этим законам мы убеждены, что энергия, механическое движение или вращение не исчезнут и не возникнут в одночасье. Особое место в физике занимают дискретные симметрии, постулирующие неизменность законов природы при замене «правого» на «левое», «вперед» на «назад», «плюс» на «минус». Именно из последней симметрии более 80 лет назад вывели античастицы, антиматерию и даже антимиры. Хотя античастицы действительно существуют, оказалось, что дискретные симметрии не такие уж точные. Для одного из взаимодействий (названного «слабым») правое и левое ведут себя по-разному, а законы природы при движении вперед отличаются от законов при движении назад. Более того, антимиры, если они вообще существуют, возможно, совсем не похожи на наш привычный мир…

Лектор расскажет о гипотетических угрозах из Космоса, которыми нас пугают, и постарается показать, насколько они (не)реалистичны: насколько опасна для нас солнечная активность, может ли скрываться неизвестная планета на окраинах Солнечной системы, сулит ли нам крах пересечение плоскости Галактики, ожидает ли нас близкий взрыв сверхновой и пр.

И первая загадка, которая стоит перед теоретиками, состоит в том, что природа зачем-то создала три копии нашего мира. Мы живем в нашем мире, видим все, что есть вокруг нас. Все это, как было известно еще древним грекам, сделано из атомов. С начала прошлого века стало известно, как устроен атом — внутри него есть ядро и электроны, которые вращаются вокруг него. Ядро состоит из протонов и нейтронов. Казалось бы, мы знаем, из чего состоит весь наш мир — из этого. А оказалось, что — нет. Что природа создала три копии. Так вот, первая копия — то, из чего мы с вами состоим, — тут кварки, u- и d-кварки, из них сделаны протоны и нейтроны. Все, что вокруг нас — это вот тут, больше нам ничего не нужно. Но природа почему-то сделала еще одну копию и еще одну.

В своем выступлении Михаил Данилов даст ответ на вопрос, закончено ли построение современной физики после того, как было подтверждено существование бозона Хиггса — последнего недостающего звена Стандартной модели. Современная Стандартная модель, венчающая квантовую теорию, объединяет три взаимодействия (то есть все кроме гравитационного), бозоны — переносчики взаимодействий, кварки и лептоны. Предсказания, которые делаются в рамках Стандартной модели, многократно подтверждались экспериментально.

Сегодня мы поговорим о материи, антиматерии, темной материи и еще кое о чем. Свой рассказ я буду иллюстрировать примерами исследований, в которых я сам принимал участие — или принимали участие сотрудники моего института. В результате картина будет не очень объективна, но, на мой взгляд, намного интереснее рассказывать о том, что делал сам, чем пересказывать чужие результаты.

Известная из школьного курса химия говорит преимущественно о том, что случается при «нормальных условиях». Принципиальное изменение этих условий может вести к изменению не только физических, но и химических свойств, что помогает создавать принципиально новые материалы.

В Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе. И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом: всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.

Всякая надежда на создание единой математической теории, амбициозного проекта, который был предложен математиком Давидом Гильбертом в 19 веке и продолжил существовать, поддерживаемый многими, в 20 столетии, рухнула. Основы математики были далеко не столь надежными, как того хотел бы Гильберт. А Гëдель своими теоремами ясно продемонстрировал, что любая система аксиом, какой бы обширной она ни была, уязвима для возникновения невосполнимых пробелов. Попытки же восполнить их созданием более полной системы породили бы только бóльшее количество утверждений без доказательств — так что и тут возникнет необходимость в усовершенствовании системы, и так далее до бесконечности. И случилось нечто странное: математики решили не обращать на это внимания. Они посчитали, что неполнота систем не имеет непосредственного влияния на их работу.

До какой степени было сжато пространство Вселенной перед Большим взрывом? Можно ли так или иначе повторить эти опыты, поместив Вселенную "в пробирку"? Можно ли создать в маленькой области пространства такие условия, при которых она разовьется во Вселенную, подобную нашей? Впервые этот вопрос был поставлен в середине 80-х годов прошлого столетия. Тогда на этот вопрос был получен отрицательный ответ. Однако недавно появились новые теории, которые дают надежду на создание «довольно экзотических возможностей», при которых рождение Вселенной в лаборатории будет возможно.

Наша Вселенная снова переживает период экспоненциального расширения. Жизнь Вселенной состоит из эпох, и экспоненциальное расширение, завершающее каждую эпоху, становится Большим взрывом для следующей. Причем в переходный период вся масса исчезает, меры длины и времени теряют смысл, и на смену метрической геометрии Эйнштейна приходит конформная геометрия пространства-времени, порожденная одними только световыми конусами. Столкновения между сверхмассивными черными дырами, случившиеся в предыдущую эпоху, производят возмущения, которые должны наблюдаться в реликтовом излучении нашей собственной эпохи. Роджер Пенроуз приведет свидетельства того, что эти возмущения действительно существуют, а также дают ученым информацию о распределении масс в эпоху, предшествующей нашей.

Обсуждается вопрос о том, существуют ли самосогласованные физические теории, в которых в принципе возможно создание вселенной в лаборатории, то есть такая динамика, при которой конечная и небольшая область пространства, заполненная материей с небольшой полной энергией, развилась бы в область вселенной, похожую на нашу. До недавнего времени бытовала точка зрения, основанная на теореме Пенроуза о сингулярности, что таких теорий не существует. В последнее время ситуация в корне изменилась.

При решении вероятностной задачи мы обычно начинаем с каких-то предположений о распределениях вероятностей. Зачастую естественно один раз зафиксировать эти предположения и дальше задавать разные вопросы. В этом курсе предлагается отвечать на один и тот же вопрос, немного меняя предположения. Нужно заранее хорошо представлять себе, что такое условная вероятность, математическое ожидание, дисперсия. В конце курса понадобится поверхностное представление об аксиоматике теории вероятностей в общем случае. Ещё нужно нужно не бояться разбираться в ситуации, где каждый возможный ответ противоречит здравому смыслу.

В лекциях вводятся основные сведения из теории представлений конечных групп, объясняется подход Вершика и Окунькова к представлениям симметрических групп, рассказывается о том, что происходит в положительной характеристике и при чем тут алгебры Ли. Курс должен быть понятен студентам, начиная с первого курса, хорошо освоившим курс алгебры.