Мотивные когомологии
В курсе будет рассказано о замечательной теории, созданной В. Воеводским. В частности, будут даны и мотивированы определения гомологий Суслина, мотивных гомологий и когомологий Воеводского. Будет дана конструкция его категории мотивов алгебраических многообразий. Все эти построения опираются на понятия «многозначных» отображений и пучков. Оба последние понятия будут введены, пояснены и снабжены примерами.
Историческая справка
В середине 60-х А. Гротендиком была сформулирована гипотеза о наличии абелевой категории (категории, похожей на категорию модулей над кольцом), в которой каждое гладкое алгебраическое многообразие имеет свой образ, называемый мотивом данного многообразия. В середине 80-х А. Бейлинсоном было предсказано наличие некоторых комплексов пучков Зарисского абелевых групп Z(n) и сформулирована серия гипотез о них. Эти гипотезы оказали огромное воздействие на дальнейшее развитие некоторых областей математики.
А. Суслин в конце 80-х построил гомологии алгебраических многообразий (ныне называемые гомологиями Суслина), которые в начале 90-х подтолкнули В. Воеводского к построению не только комплексов Z(n), но и к построению мотивного комплекса (мотива) произвольного гладкого многообразия X. Комплекс Z(1) оказался частным случаем общей конструкции В. Воеводского – это, немного неточно говоря, мотив многообразия прямая без нуля.
Более того, В. Воеводский построил категорию мотивов (не абелеву, а основанную на категории комплексов), обладающую многими из предсказанных А. Гротендиком свойствами.
Используя эти идеи В. Воеводский в 1996 году доказал гипотезу Милнора и был награжден Филдсовской медалью. Целая россыпь идей и методов В. Воеводского позволили решить другие классические задачи, раннее абсолютно недоступные, формулировки которых ничего не знают о наличии мотивов и соответствующих когомологий.
От слушателей предполагается знание того, что такое поле, векторное пространство, абелева группа и умение работать с многочленами нескольких переменных.
Панин Иван Александрович, доктор физико-математических наук.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
19–28 июля 2015 г.
Похожее
-
Иван Аржанцев
Знакомая большинству из вас формула Лейбница утверждает, что (fg)′=f′g+fg′. А какие ещё операции обладают аналогичным свойством? Задавшись этим вопросом, естественно определить дифференцирование алгебры А как такое линейное отображение D из A в A, что D(fg)=D(f)g+fD(g) для любых f,g ∈ A. В этом курсе мы поговорим о дифференцированиях коммутативных алгебр, в первую очередь, алгебры многочленов от многих переменных. Хотелось бы описать все дифференцирования и изучить их свойства. Начала этой теории вполне элементарны. В то же время дифференцирования тесно связаны со сложными задачами алгебраической геометрии, теории групп преобразований и теории представлений.
-
Михаил Тёмкин
Приставляя тетраэдры друг к другу по граням можно получать примеры симплициальных комплексов — важного математического объекта. Раскрасим треугольники такого сооружения в чёрный и белый цвета и назовём раскраску хорошей, если каждый тетраэдр имеет поровну чёрных и белых граней. Оказывается, что в случае (стандартно симплициально разбитых) маломерных сфер множество белых треугольников оказывается объектом, достойным изучения: листом Мёбиуса или проективной плоскостью. При описании того, как именно эти объекты разбиты на треугольники у нас естественным образом возникнет икосаэдр — замечательный правильный многогранник. Исследование группы его самосовмещений позволит понять, сколько существует хороших раскрасок. По пути нам встретятся такие важные базовые понятия математики, как вышеупомянутые симплициальный комплекс и группа симметрий, действие и пр.
-
Александр Кузнецов
Система корней — этот конечный набор векторов в евклидовом пространстве, такой что для любого из этих векторов v зеркальная симметрия s_v относительно гиперплоскости H_v, перпендикулярной к v, сохраняет систему, причем для всякого вектора v' из системы s_v(v') − v' является целым кратным вектора v. Оказывается, системы корней можно полностью классифицировать. Возникает несколько «серий» (бесконечных последовательностей) и несколько «исключительных» систем. Мы поговорим о системах корней в пространствах произвольной размерности, их классификации, и возникающих в связи с этим диаграммах Дынкина.
-
Иван Лосев
В лекциях вводятся основные сведения из теории представлений конечных групп, объясняется подход Вершика и Окунькова к представлениям симметрических групп, рассказывается о том, что происходит в положительной характеристике и при чем тут алгебры Ли. Курс должен быть понятен студентам, начиная с первого курса, хорошо освоившим курс алгебры.
-
Александр Гайфуллин
Классическая теорема Бойяи–Гервина (1830-е годы) утверждает, что любые два многоугольника равной площади равносоставлены друг с другом: первый многоугольник можно разрезать на конечное число многоугольных частей и затем сложить из этих частей второй многоугольник. Ещё Гаусс задавал вопрос, верно ли аналогичное утверждение для многогранников. А именно, его интересовало, можно ли доказать стандартную формулу для объёма пирамиды (одна треть произведения длины высоты на площадь основания) без использования предельного перехода, то есть разбив пирамиду на конечное число кусков, из которых можно сложить прямоугольный параллелепипед.
-
Сергей Ландо
Числа Гурвица были введены А. Гурвицем в конце 19 века. Они перечисляют разветвленные накрытия двумерных поверхностей и имеют множество других проявлений — перечисляют разнообразные классы графов, являются коэффициентами связи в симметрических группах, представляют собой инварианты Громова–Виттена комплексных кривых.
-
Александр Буфетов
Лягушка сидит в вершине квадрата и раз в десять секунд принимает решение и совершает прыжок: с вероятностью p по часовой стрелке, с вероятностью q против часовой стрелки, с вероятностью 1−p−q на месте. Через десять секунд вновь решая куда прыгнуть, лягушка принимает во внимание лишь ту вершину, в которой она находится. Таким образом, положения лягушки в различные моменты времени не независимы, однако, при фиксированном настоящем, будущее лягушки независимо от её прошлого. В честь открывшего их нашего великого соотечественника Андрея Андреевича Маркова такие системы испытаний называют цепями Маркова. Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию марковских процессов со счётным числом состояний.
-
Keith Conrad
Для каждого простого p существует нормирование на поле рациональных чисел, пополнение относительно которого называется p-адическими числами. Эти пополнения играют важную роль в теории чисел и смежных областях математики. В этом курсе мы узнаем, что такое p-адические числа, и обсудим несколько элементарных применений к задачам алгебры и теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и пополнением метрического пространствa.
-
Александр Кузнецов
Инварианты Громова–Виттена – это замечательный набор численных инвариантов алгебраического (и, более общо, симплектического) многообразия, обобщающих индексы пересечения когомологических классов. Они позволяют ввести на кольце когомологий новое, так называемое квантовое умножение, являющееся деформацией обычного умножения в когомологиях, и являются первым шагом к пониманию зеркальной симметрии – удивительного явления, открытого физиками в конце 80-х годов прошлого века. Для алгебраического многообразия инварианты Громова–Виттена определяются через теорию пересечений пространства модулей кривых в этом многообразии. Я постараюсь объяснить, что такое пространство модулей кривых и как с ним обращаться, какие возникают сложности с вычислением инвариантов Громова–Виттена и как их преодолевают.
-
Keith Conrad
ABC-гипотеза была сформулирована в 1985 г. и быстро стала центральной проблемой в теории чисел из-за её связей с другими нерешёнными проблемами, а также из-за того, что многие уже доказанные известные результаты были бы её следствиями. В 2012 году японский математик Мотидзуки выложил доказательство ABC-гипотезы в интернете, но математическое сообщество еще не пришло к единому мнению, правильно ли оно. В курсе мы введём ABC-гипотезу, опишем несколько эквивалентных её вариантов, и проследим ее связи с другими проблемами и теоремами в теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и многочленами над полями.
Далее >>>
|
|