Параллелизуемые сферы и алгебры с делением

Владимир Успенский

Часть 1

Часть 2

Часть 3

Часть 4

Как известно, ежа нельзя причесать. Иными словами, на двумерной сфере нет касательного векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Трехмерная сфера ведет себя в этом отношении совсем иначе: на ней можно построить три касательных векторных поля, линейно независимых в каждой точке. Это означает, что трехмерная сфера параллелизуема. Возникает вопрос, для каких $n$ сфера размерности $n-1$ параллелизуема. С этим вопросом тесно связан другой: для каких $n$ на $n$ -мерном эвклидовом пространстве можно ввести билинейное умножение, при котором произведение любых двух ненулевых векторов ненулевое. Рассматривая вещественные числа, комплексные числа, кватернионы или октонионы, мы видим, что это можно сделать, если $n$ принимает одно из значений $1, 2, 4, 8$ . Оказывается, что этот список значений и является ответом на оба поставленных выше вопроса.

Это трудная теорема. Ее можно доказать методами К-теории. Курс будет посвящен объяснению основных идей доказательства.

От слушателей предполагается знакомство с такими понятиями, как векторное пространство и непрерывная функция.

Успенский Владимир Владимирович.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
22-30 июля 2013 г.

Комментарии: 0

Похожее

Римановы поверхности и модулярные формы

Владимир Успенский

Курс посвящен римановым поверхностям, модулярным формам и некоторым их приложениям. Эти фундаментальные понятия, играющие важную роль в самых разных разделах математики, можно определить при помощи верхней полуплоскости – множества комплексных чисел с положительной мнимой частью, – которую мы будем рассматривать как модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Соответствующие определения будут даны в курсе.
Знак гауссовой суммы

Владимир Успенский

Эту формулу нашел Гаусс, он использовал ee в одном из своих доказательств квадратичного закона взаимности. Лишь через несколько лет он сумел доказать, что сумма S_m всегда положительна, так что S_m рано квадратному корню из m. Гаусс записал в дневнике, что его озарение было подобно “вспышке молнии”. Позднее многие известные математики предложили свои доказательства. Одно из самых элегантных принадлежит Дирихле, оно использует ряды Фурье. Предполагается знакомство с понятием сравнения по модулю. Полезно (но необязательно) иметь представление о малой теореме Ферма и о квадратичных вычетах по простому модулю. Знакомства с рядами Фурье не предполагается, необходимые сведения будут сообщены.
Модулярные формы и эллиптические кривые

Владимир Успенский

Около 20 лет назад произошло одно из самых сенсационных событий за всю историю математики: была доказана Великая Теорема Ферма. Эта теорема может быть выведена из так называемой гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля (которая теперь имеет статус теоремы): всякая эллиптическая кривая, определенная над полем рациональных чисел, модулярна. Цель нашего курса — разобраться в том, что означают эти слова. Мы познакомимся с необходимыми понятиями (римановы поверхности, модулярные формы, алгебраические кривые) и рассмотрим различные варианты теоремы о модулярности эллиптических кривых.
Что такое алгебраическая геометрия

Михаил Цфасман

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры (особенно коммутативной) для решения задач, возникающих в геометрии.
Теорема Семереди и динамические системы

Владимир Успенский

Если разбить натуральный ряд на конечное число частей, то в одной из этих частей содержатся сколь угодно длинные арифметические прогрессии (теорема ван дер Вардена). Теорема Семереди усиливает теорему ван дер Вардена: если некоторые натуральные числа покрашены в зеленый цвет и при этом существуют сколь угодно длинные отрезки натурального ряда, в которых доля зеленых чисел составляет не менее одного процента (или любой другой положительной константы), то существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии, состоящие из зеленых чисел. Замечательное доказательство теоремы Семереди, предложенное Фюрстенбергом, основано на эргодической теории. Эта теория изучает преобразования, сохраняющие меру, и поведение таких преобразований при итерациях. В курсе будут изложены основные идеи доказательства Фюрстенберга.
Целые числа как геометрический объект

Михаил Цфасман

У древних греков было две никак не связанных между собой науки — арифметика и геометрия. В новое время математики осознали, что геометрические методы можно применять к арифметике, и наоборот. Двадцатый век пошёл много дальше. Сегодня целые числа для нас — геометрический объект ничуть не в меньшей степени, чем окружность. Осознание этого проходит через алгебру и алгебраическую геометрию. На этом пути была доказана великая теорема Ферма, но до неё мы, скорее всего в этих лекциях не дойдем. А впереди маячит гипотеза Римана, до которой не дойдём точно…
Геометрия расположения, или первые шаги топологии. Лекция для лингвистов

Владимир Успенский

Успенский Владимир Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 9 июля 2012 г.; XIV Летняя лингвистическая школа, г. Дубна, «Ратмино», 8-18 июля 2012 г.
Рациональные точки на кривых: от Вавилона до наших дней

Георгий Шабат

Пифагоровой тройкой называются три натуральных числа равные длинам сторон некоторого прямоугольного треугольника. Ещё древние вавилоняне умели находить такие тройки, причём огромных размеров и не пропорциональные друг другу. С современной точки зрения, такая задача равносильна нахождению точек с рациональными координатами на единичной окружности, стандартно вложенной в координатную плоскость. Успехи вавилонян объясняются тем, что множество таких точек бесконечно; в течение тысячелетий постепенно выяснилось, что большинство плоских кривых этим свойством окружности не обладает. Однако полная ясность наступила лишь в двадцатом веке: было обнаружено, что всё дело в топологии комплексификации кривой. На лекции будет рассказано об истории этих исследований и о проблемах, остающихся на сегодняшний день открытыми.
Введение в p-адические числа

Keith Conrad

Для каждого простого p существует нормирование на поле рациональных чисел, пополнение относительно которого называется p-адическими числами. Эти пополнения играют важную роль в теории чисел и смежных областях математики. В этом курсе мы узнаем, что такое p-адические числа, и обсудим несколько элементарных применений к задачам алгебры и теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и пополнением метрического пространствa.
Числа Гурвица

Сергей Ландо

Числа Гурвица были введены А. Гурвицем в конце 19 века. Они перечисляют разветвленные накрытия двумерных поверхностей и имеют множество других проявлений — перечисляют разнообразные классы графов, являются коэффициентами связи в симметрических группах, представляют собой инварианты Громова–Виттена комплексных кривых.

Далее >>>

∀ x, y, z

Параллелизуемые сферы и алгебры с делением

Владимир Успенский

Теги

Похожее