Любой сигнал, будь то звук, изображение или другая функция, никогда не хранится в компьютере по точкам. Это дорого и неэффективно. Сигнал раскладывается в сумму других, «базовых» функций, и хранятся коэффициенты разложения. Главный вопрос — какую систему базовых функций использовать? И как построить хорошую систему, чтобы сигнал быстро и качественно воспроизводился и при этом занимал мало памяти? За это отвечает мощная и красивая математическая теория. В течение десятилетий базовыми функциями были синус и косинус, что естественно, учитывая природу звука. Это — ряды Фурье, изобретенные более 200 лет назад. Однако, к середине XX века стало ясно, что они не отвечают современным запросам.

Каким образом фотография с разрешением 8 Мп может поместиться в файл размером 2 Мб? Современные программы позволяют сжать изображение не только в 4, но и в 20–30, а иногда и в 100 раз без существенной потери качества. То же происходит со звуковыми файлами при записи музыки, с объёмными изображениями в компьютерной томографии и т.д. За всем этим стоит мощная и достаточно красивая математическая теория. В течение многих лет алгоритмы сжатия и передачи информации строились на основе разложения функций в ряды Фурье — в суммы по системе синусов и косинусов. Главным инструментом было быстрое преобразование Фурье — комбинаторный алгоритм для вычисления коэффициентов разложения. В конце 20 века стало ясно, что ряды Фурье, изобретенные более 200 лет назад, уже не отвечают современным запросам.

Как известно, ежа нельзя причесать. Иными словами, на двумерной сфере нет касательного векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Трехмерная сфера ведет себя в этом отношении совсем иначе: на ней можно построить три касательных векторных поля, линейно независимых в каждой точке. Это означает, что трехмерная сфера параллелизуема. Возникает вопрос, для каких n сфера размерности n–1 параллелизуема. С этим вопросом тесно связан другой: для каких n на n-мерном эвклидовом пространстве можно ввести билинейное умножение, при котором произведение любых двух ненулевых векторов ненулевое. Рассматривая вещественные числа, комплексные числа, кватернионы или октонионы, мы видим, что это можно сделать, если n принимает одно из значений 1, 2, 4, 8. Оказывается, что этот список значений и является ответом на оба поставленных выше вопроса. Это трудная теорема. Ее можно доказать методами К-теории. Курс будет посвящен объяснению основных идей доказательства.

Курс посвящен римановым поверхностям, модулярным формам и некоторым их приложениям. Эти фундаментальные понятия, играющие важную роль в самых разных разделах математики, можно определить при помощи верхней полуплоскости – множества комплексных чисел с положительной мнимой частью, – которую мы будем рассматривать как модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Соответствующие определения будут даны в курсе.

Когда Гаусс написал в 1801 г., что «Проблема различения простых и составных чисел и разложения последних на простые сомножители, как известно, является одной из самых важных и полезных в арифметике» он не знал, что 200 лет спустя эта проблема будет иметь огромное значение для криптографии: ее приложениями каждый день пользуются миллионы людей. Мы обсудим, как проверить простоту целых чисел детерминированными и вероятностными алгоритмами. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов, включая малую теорему Ферма.

Дзета-функция Римана была введена Эйлером в 1737-м году. Она может быть задана рядом ζ(s) = ∑ 1/n^s при тех значениях s, при которых этот ряд сходится. Я буду рассказывать, в основном, об обобщениях дзета-функции Римана — так называемой арифметической дзета-функции, которая ставится в соответствие диофантову уравнению (дзета-функция Римана соответствует «тривиальному» уравнению x=0).

В школе нам всем прививается ошибочное представление о том, что на множестве рациональных чисел Q имеется единственное естественное расстояние (модуль разности), относительно которого все арифметические операции непрерывны. Однако существует ещё бесконечное множество расстояний, так называемых p-адических, по одному на каждое число p. Согласно теореме Островского, «обычное» расстояние вместе со всеми p-адическими уже действительно исчерпывают все разумные расстояние Q. Термин адельная демократия введен Ю. И. Маниным. Согласно принципу адельной демократии, все разумные расстояния на Q равны перед законами математики (может быть, лишь традиционное «чуть=чуть равнее…». В курсе будет введено кольцо аделей, позволяющее работать со всеми этими расстояниями одновременно.

Ж. Л. Лагранж доказал, что последовательность неполных частных (начиная с некоторого места) периодична, если и только если число x — квадратичная иррациональность. Р. О. Кузьмин доказал, что в последовательности неполных частных почти любого вещественного числа доля d_m равных m неполных частных одинакова (для типичных вещественных чисел). Доля d_m убывает при m→∞ как 1/m^2 и её величина была предсказана Гауссом (ничего не доказавшим). В. И. Арнольда высказал (лет 20 назад) гипотезу, что статистика Гаусса–Кузьмина d_m выполняется также для периодов цепных дробей корней квадратных уравнений x^2+px+q=0 (с целыми p и q): если выписать вместе неполные частные, составляющие периоды всех цепных дробей корней таких уравнений с p^2+q^2≤R^2, то доля неполного частного m среди них будет стремиться к числу d_m при R→∞. В. А. Быковский со своими хабаровскими учениками доказали недавно эту давнюю гипотезу. Несмотря на это, вопрос о статистике не букв, а составленных из них слов [a_k+1, a_k+2,…, a_k+T], которые являются периодами цепных дробей каких-либо корней x уравнений x^2+px+q=0 далеко не решён.

Математик Илья Щуров о десятичных дробях, трансцендентности и иррациональности числа Пи.

Если разбить натуральный ряд на конечное число частей, то в одной из этих частей содержатся сколь угодно длинные арифметические прогрессии (теорема ван дер Вардена). Теорема Семереди усиливает теорему ван дер Вардена: если некоторые натуральные числа покрашены в зеленый цвет и при этом существуют сколь угодно длинные отрезки натурального ряда, в которых доля зеленых чисел составляет не менее одного процента (или любой другой положительной константы), то существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии, состоящие из зеленых чисел. Замечательное доказательство теоремы Семереди, предложенное Фюрстенбергом, основано на эргодической теории. Эта теория изучает преобразования, сохраняющие меру, и поведение таких преобразований при итерациях. В курсе будут изложены основные идеи доказательства Фюрстенберга.