Квадратичные иррациональные числа, их цепные дроби и их палиндромы

Владимир Арнольд

Лекция 1

Лекция 2

Лекция 3

Лекция 4

Лекция 5

Вещественное число $x$ представлено цепной дробью с целыми неполными частными $a_1, a_2,\dots$ (пишут $x=[a_1, a_2,\dots]$ ), если

$x=a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cdots}}$ ( $a_k>0$ при $k>1$ )

Пример (“Золотое сечение”):

$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=[1,1,1,\dots]$ .

Ж. Л. Лагранж доказал, что последовательность неполных частных цепной дроби (начиная с некоторого места) периодична, если и только если число $x$ — квадратичная иррациональность.

Р. О. Кузьмин доказал, что в последовательности неполных частных почти любого вещественного числа доля $d_m$ равных $m$ неполных частных одинакова (для типичных вещественных чисел). Доля $d_m$ убывает при $m\to\infty$ как $\frac{1}{m^2}$ и её величина была предсказана Гауссом (ничего не доказавшим).

В. И. Арнольда высказал (лет 20 назад) гипотезу, что статистика Гаусса–Кузьмина $d_m$ выполняется также для периодов цепных дробей корней квадратных уравнений $x^2+px+q=0$ (с целыми $p$ и $q$ ): если выписать вместе неполные частные, составляющие периоды всех цепных дробей корней таких уравнений с $p^2+q^2\le R^2$ , то доля неполного частного mm среди них будет стремиться к числу $d_m$ при $R\to\infty$ . В. А. Быковский со своими хабаровскими учениками доказали недавно эту давнюю гипотезу.

Несмотря на это, вопрос о статистике не букв, а составленных из них слов $[a_k+1, a_k+2,\dots, a_k+T]$ , которые являются периодами цепных дробей каких-либо корней x уравнений $x^2+px+q=0$ далеко не решён.

А именно, статистика таких слов вовсе не совпадает со статистикой всех случайных слов из неполных частных, удовлетворяющих статистике Гаусса–Кузьмина (даже если слова удовлетворяют ей для всех конечных последовательностей неполных частных, а не только для их индивидуальных значений, $m=1,2,\dots$ ).

Например, все слова, составляющие периоды, оказываются палиндромами: бесконечная периодическая последовательность неполных частных с таким периодом переходит в себя, если читать её задом наперёд (как фраза “а роза упала на лапу азора”).

Таким же свойством палиндромности обладают цепные дроби квадратных корней из рациональных чисел (для корней из целых чисел это заметил уже Галуа). Из статистики Гаусса–Кузьмина палиндромность вовсе не вытекает.

Но энтопийно-криптографические соображения показывают, что, кроме палиндромности, периоды цепных дробей квадратных корней из рациональных чисел (и корней квадратных уравнений $x^2+px+q=0$ с целыми коэффициентами) должны обладать ещё целым рядом специальных свойств (которые ещё предстоит открыть).

Другая серия результатов о статистике периодических цепных дробей описывает поведение длины $T(p,q)$ периода цепной дроби корня уравнения $x^2+px+q=0$ (равной единице для золотого сечения). Среднее $\hat{T}(R)$ длины $T(p,q)$ периода по кругу $p^2+q^2\le R^2$ радиуса $R$ растёт с $R$ линейно (хотя сама длина периода $T(p,q)$ растёт по-разному при удалении от нуля по разным направлениям), причём этот рост напоминает поведение квадратного корня из дискриминанта $p^2-4q$ рассматриваемого уравнения. (В случае, когда корни рациональны, период $T$ считается нулём).

В докладе больше гипотез, исследование которых доступно школьникам, особенно вооружённым компьютерами, чем доказанных теорем (и, тем более, доказательств): предполагается, что слушатели откроют на этом пути новые свойства цепных дробей квадратичных иррациональностей.

Арнольд Владимир Игоревич, доктор физико-математических наук, академик РАН.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
21-28 июля 2007 г.

Комментарии: 0

Похожее

Введение в адельную демократию

Георгий Шабат

В школе нам всем прививается ошибочное представление о том, что на множестве рациональных чисел Q имеется единственное естественное расстояние (модуль разности), относительно которого все арифметические операции непрерывны. Однако существует ещё бесконечное множество расстояний, так называемых p-адических, по одному на каждое число p. Согласно теореме Островского, «обычное» расстояние вместе со всеми p-адическими уже действительно исчерпывают все разумные расстояние Q. Термин адельная демократия введен Ю. И. Маниным. Согласно принципу адельной демократии, все разумные расстояния на Q равны перед законами математики (может быть, лишь традиционное «чуть=чуть равнее…». В курсе будет введено кольцо аделей, позволяющее работать со всеми этими расстояниями одновременно.
Топология алгебры и гидродинамика арифметики

Владимир Арнольд

Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.
Диофант и его алгебра

Жак Сезиано

Мы знаем о Диофанте немного. Кажется, он жил в Александрии. Никто из греческих математиков не упоминает его до IV века, так что он вероятно жил в середине III века. Самая главная работа Диофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), состоялась в начале из 13 «книгах» (βιβλία), т. е. главах. Мы сегодня имеем 10 из них, а именно: 6 в греческом тексте и 4 других в средневековом арабском переводе, место которых в середине греческих книг: книги I-III по-гречески, IV-VII по-арабски, VIII-X по-гречески. «Арифметика» Диофанта прежде всего собрание задач, всего около 260. Теории, по правде говоря, нет; имеются только общие инструкции в введении книги, и частные замечания в некоторых задачах, когда нужно. «Арифметика» уже имеет черты алгебраического трактата. Сперва Диофант пользуется разными знаками, чтобы выражать неизвестное и его степени, также и некоторые вычисления; как и все алгебраические символики средних веков, его символика происходит от математических слов. Потом, Диофант объясняет, как решить задачу алгебраическим способом. Но задачи Диофанта не алгебраические в обычном смысле, потому что почти все сводятся к решению неопределённого уравнения или систем таких уравнений.
Музыка простых чисел

BBC

Мир математики немыслим без них – без простых чисел. Что такое простые числа, что в них особенного и какое значение они имеют для повседневной жизни? В этом фильме британский профессор математики Маркус дю Сотой откроет тайну простых чисел.
Числа и многочлены

Проскуряков И. В.

Целью этой книги является строгое определение чисел, многочленов и алгебраических дробей и обоснование их свойств, уже известных из школы, а не ознакомление читателя с новыми свойствами. Поэтому читатель не найдет здесь новых для него фактов (за исключением, быть может, некоторых свойств, действительных и комплексных чисел), но узнает, как доказываются вещи, хорошо ему известные, начиная с «дважды два — четыре» и кончая правилами действий с многочленами и алгебраическими дробями. Зато читатель познакомится с рядом общих понятий, играющих в алгебре основную роль.
Фракталы Рози

Алексей Белов, Иван Митрофанов

В этом курсе будет рассказано о подстановочных системах довольно общего вида и о связанных с ними геометрических конструкциях, называемых фракталами Рози. Например, слово Трибоначчи 121312112131… состоит из цифр {1,2,3} и получается с помощью подстановки 1→12, 2→13, 3→1. Оказывается, что оно в некотором смысле устроено так же, как двумерный тор, разбитый на три части с фрактальной границей. (В то, что на первом рисунке изображена развёртка тора, трудно поверить, но тем не менее это так, и вторая картинка это иллюстрирует).
Детерминантные процессы

Александр Буфетов, Александр Комлов

Рассмотрим конечный связный граф. Сколько в нем остовных деревьев — деревьев, содержащих все вершины графа? А какая их доля содержит данный набор ребер? Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию детерминантных процессов. Мы планируем обсудить недавние достижения и сформулировать нерешенные проблемы. Программа занятий: детерминанты и пфаффианы; остовные деревья; случайные матрицы; мультипликативные функционалы.
Способы проверки простоты числа

Keith Conrad

Когда Гаусс написал в 1801 г., что «Проблема различения простых и составных чисел и разложения последних на простые сомножители, как известно, является одной из самых важных и полезных в арифметике» он не знал, что 200 лет спустя эта проблема будет иметь огромное значение для криптографии: ее приложениями каждый день пользуются миллионы людей. Мы обсудим, как проверить простоту целых чисел детерминированными и вероятностными алгоритмами. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов, включая малую теорему Ферма.
Знак гауссовой суммы

Владимир Успенский

Эту формулу нашел Гаусс, он использовал ee в одном из своих доказательств квадратичного закона взаимности. Лишь через несколько лет он сумел доказать, что сумма S_m всегда положительна, так что S_m рано квадратному корню из m. Гаусс записал в дневнике, что его озарение было подобно “вспышке молнии”. Позднее многие известные математики предложили свои доказательства. Одно из самых элегантных принадлежит Дирихле, оно использует ряды Фурье. Предполагается знакомство с понятием сравнения по модулю. Полезно (но необязательно) иметь представление о малой теореме Ферма и о квадратичных вычетах по простому модулю. Знакомства с рядами Фурье не предполагается, необходимые сведения будут сообщены.
Какое число самое большое?

Корректно ответить на этот вопрос нельзя, поскольку числовой ряд не имеет верхнего предела. Так, к любому числу достаточно всего лишь прибавить единицу, чтобы получить число ещё большее. Хотя сами числа бесконечны, собственных названий у них не так уж и много, так как большинство из них довольствуются именами, составленными из чисел меньших. Понятно, что в конечном наборе чисел, которых человечество наградило собственным именем, должно быть какое-то наибольшее число. Но как оно называется и чему оно равно? Давайте же, попробуем в этом разобраться и заодно узнать, насколько большие числа придумали математики.

Далее >>>

∀ x, y, z

Квадратичные иррациональные числа, их цепные дроби и их палиндромы

Владимир Арнольд

Теги

Похожее