RSA (аббревиатура от фамилий Rivest, Shamir и Adleman) — криптографический алгоритм с открытым ключом, основывающийся на вычислительной сложности задачи факторизации больших целых чисел. Алгоритм используется в большом числе криптографических приложений, включая PGP, S/MIME, TLS/SSL, IPSEC/IKE и других.

Когда Гаусс написал в 1801 г., что «Проблема различения простых и составных чисел и разложения последних на простые сомножители, как известно, является одной из самых важных и полезных в арифметике» он не знал, что 200 лет спустя эта проблема будет иметь огромное значение для криптографии: ее приложениями каждый день пользуются миллионы людей. Мы обсудим, как проверить простоту целых чисел детерминированными и вероятностными алгоритмами. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов, включая малую теорему Ферма.

Как «единица» помогла построить первые города и великие империи? Как вдохновляла выдающиеся умы человечества? Какую роль в появлении денег она сыграла? Как «единица» объединилась с нулем, чтобы править современным миром? История единицы неразрывно связана с историей европейской цивилизации. Терри Джонс отправляется в юмористическое путешествие с целью собрать воедино удивительную историю нашего самого простого числа. С помощью компьютерной графики в этой программе единица оживает в самых различных испостасях. Из истории единицы становится ясно, откуда появились современные числа, и каким образом изобретение нуля спасло нас от необходимости сегодня использовать римские цифры.

Мы попытаемся рассказать о криптографии — бурно развивающейся прикладной науке, оказывающей огромное влияние на развитие не только техники, но и математики. Особое внимание будет уделено тому, как важно правильно ставить задачи, а также тому, как можно использовать не только достижения, но и “неудачи” математики на практике. В частности, будет рассказано, что такое криптография с открытым ключом и как можно убедить учителя, что ты знаешь ответ на вопрос, так и не дав этого ответа.

Мы знаем о Диофанте немного. Кажется, он жил в Александрии. Никто из греческих математиков не упоминает его до IV века, так что он вероятно жил в середине III века. Самая главная работа Диофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), состоялась в начале из 13 «книгах» (βιβλία), т. е. главах. Мы сегодня имеем 10 из них, а именно: 6 в греческом тексте и 4 других в средневековом арабском переводе, место которых в середине греческих книг: книги I-III по-гречески, IV-VII по-арабски, VIII-X по-гречески. «Арифметика» Диофанта прежде всего собрание задач, всего около 260. Теории, по правде говоря, нет; имеются только общие инструкции в введении книги, и частные замечания в некоторых задачах, когда нужно. «Арифметика» уже имеет черты алгебраического трактата. Сперва Диофант пользуется разными знаками, чтобы выражать неизвестное и его степени, также и некоторые вычисления; как и все алгебраические символики средних веков, его символика происходит от математических слов. Потом, Диофант объясняет, как решить задачу алгебраическим способом. Но задачи Диофанта не алгебраические в обычном смысле, потому что почти все сводятся к решению неопределённого уравнения или систем таких уравнений.

Ж. Л. Лагранж доказал, что последовательность неполных частных (начиная с некоторого места) периодична, если и только если число x — квадратичная иррациональность. Р. О. Кузьмин доказал, что в последовательности неполных частных почти любого вещественного числа доля d_m равных m неполных частных одинакова (для типичных вещественных чисел). Доля d_m убывает при m→∞ как 1/m^2 и её величина была предсказана Гауссом (ничего не доказавшим). В. И. Арнольда высказал (лет 20 назад) гипотезу, что статистика Гаусса–Кузьмина d_m выполняется также для периодов цепных дробей корней квадратных уравнений x^2+px+q=0 (с целыми p и q): если выписать вместе неполные частные, составляющие периоды всех цепных дробей корней таких уравнений с p^2+q^2≤R^2, то доля неполного частного m среди них будет стремиться к числу d_m при R→∞. В. А. Быковский со своими хабаровскими учениками доказали недавно эту давнюю гипотезу. Несмотря на это, вопрос о статистике не букв, а составленных из них слов [a_k+1, a_k+2,…, a_k+T], которые являются периодами цепных дробей каких-либо корней x уравнений x^2+px+q=0 далеко не решён.

В школе нам всем прививается ошибочное представление о том, что на множестве рациональных чисел Q имеется единственное естественное расстояние (модуль разности), относительно которого все арифметические операции непрерывны. Однако существует ещё бесконечное множество расстояний, так называемых p-адических, по одному на каждое число p. Согласно теореме Островского, «обычное» расстояние вместе со всеми p-адическими уже действительно исчерпывают все разумные расстояние Q. Термин адельная демократия введен Ю. И. Маниным. Согласно принципу адельной демократии, все разумные расстояния на Q равны перед законами математики (может быть, лишь традиционное «чуть=чуть равнее…». В курсе будет введено кольцо аделей, позволяющее работать со всеми этими расстояниями одновременно.

Начав с основной теоремы арифметики, мы расскажем про АВС-гипотезу, которая была сформулирована в 1985 году и быстро стала одной из центральных проблем в теории чисел из-за её связей с другими нерешёнными задачами, а также из-за того, что многие уже доказанные известные результаты были бы её следствиями.

Целью этой книги является строгое определение чисел, многочленов и алгебраических дробей и обоснование их свойств, уже известных из школы, а не ознакомление читателя с новыми свойствами. Поэтому читатель не найдет здесь новых для него фактов (за исключением, быть может, некоторых свойств, действительных и комплексных чисел), но узнает, как доказываются вещи, хорошо ему известные, начиная с «дважды два — четыре» и кончая правилами действий с многочленами и алгебраическими дробями. Зато читатель познакомится с рядом общих понятий, играющих в алгебре основную роль.

Ященко Иван Валериевич, кандидат физико-математических наук. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 2003 г.