Мы попытаемся рассказать о криптографии — бурно развивающейся прикладной науке, оказывающей огромное влияние на развитие не только техники, но и математики. Особое внимание будет уделено тому, как важно правильно ставить задачи, а также тому, как можно использовать не только достижения, но и “неудачи” математики на практике. В частности, будет рассказано, что такое криптография с открытым ключом и как можно убедить учителя, что ты знаешь ответ на вопрос, так и не дав этого ответа.

RSA (аббревиатура от фамилий Rivest, Shamir и Adleman) — криптографический алгоритм с открытым ключом, основывающийся на вычислительной сложности задачи факторизации больших целых чисел. Алгоритм используется в большом числе криптографических приложений, включая PGP, S/MIME, TLS/SSL, IPSEC/IKE и других.

Каждый день мы пользуемся банковскими картами и даже не подозреваем, как легко с них украсть деньги. На лекции вы узнаете простейшие способы защиты денежного кусочка пластика.

Ещё в древнем Риме Гай Юлий Цезарь, который совершенно не доверял гонцам, опасаясь что те прочтут его письма, прибегал к шифрам. Для того, чтобы избежать вероятности того, что гонец всё же осмелится и захочет прочесть послание Цезаря, он, отправляя письма генералам, менял каждую букву A на D, каждую B на E, и так далее. И лишь те, кто знал правило «сдвига на 3» мог расшифровать его послание. Проблема защиты информации и сегодня является наверное одной из самых актуальных. Шифрованием, кодированием и многими другими методами, созданными для обеспечения конфиденциальности информации занимается одна из древнейших наук — криптография. Какие шифры бывают и есть ли системы шифрования, которые невозможно взломать и раскрыть? Какие методы и системы защиты информации использует криптография? Как можно защитить себя от атаки хакеров?

При передаче и хранении информация портится (шум в телефонной трубке, ошибки жесткого диска и так далее). Чтобы восстановить исходное сообщение в систему передачи следует ввести избыточность, иными словами, передавать вместо него более длинное закодированное сообщение. Так возникает понятие корректирующего кода (кода, исправляющего ошибки). Математически это приводит к задаче упаковки шаров в конечномерном векторном пространстве над конечным полем. Эта задача, в свою очередь, оказывается в значительной части эквивалентна проблеме расположения точек в проективном пространстве “в наиболее общем положении”. Здесь уже недалеко и до алгебраической геометрии. Конструкцию кодов по алгебраической кривой нетрудно рассказать, когда эта кривая — прямая.

Теория кодирования – это отличный повод поговорить о красивых задачах из алгебры и комбинаторики, о линейной алгебре и алгебраической геометрии над конечными полями, конечных геометриях, простых группах и алгоритмах, связанных с передачей информации. Программа курса: Основные задачи теория кодирования. Коды, исправляющие ошибки. Расстояние Хемминга и неравенство треугольника. Предварительные сведения из алгебры. Строение конечных полей. Линейная алгебра над конечными полями. Линейные коды и их характеристики. Код Хемминга. Совершенные коды. Двойственный код и тождество Мак-Вильямса. Эквивалентность кодов. Методы вычисления минимального расстояния для подпространства. Циклические коды и главные идеалы. Алгеброгеометрические коды. Грассманианы и плюккеровы координаты. Грассмановы коды и минимальные расстояния. Точки на минимальной сфере. Алгоритмы декодирования. Синдромы и минимальные представители. Коды Голея. Конечные геометрии и группы Матье.

Мир математики немыслим без них – без простых чисел. Что такое простые числа, что в них особенного и какое значение они имеют для повседневной жизни? В этом фильме британский профессор математики Маркус дю Сотой откроет тайну простых чисел.

Какие условия должны соблюдаться при применении технологии квантовой криптографии? Каковы коммерческие перспективы этой технологии? Каким образом обеспечивается безопасность информации при использовании данного метода ее передачи? О принципе квантового распределения ключа, коммерческой составляющей квантовых технологий и информационной безопасности рассказывает доктор физико-математических наук Сергей Кулик.

Физик Алексей Федоров о будущем гибридной криптографии, предпосылках возникновения квантового компьютера и задаче факторизации.

Электронно-цифровые подписи мы используем повсеместно. Это действительно один из самых простых, универсальных и надежных способов гарантировать наше авторство на какой-либо цифровой контент в цифровом мире. Однако, как было показано Питером Шором, квантовые компьютеры дают ускорение в решении ряда математических задач, в частности в решении задачи факторизации. Таким образом, квантовый компьютер может стать угрозой для инфраструктуры электронно-цифровых подписей. Физик Алексей Федоров о квантовых технологиях, принципе блокчейна и электронно-цифровых подписях.