x, y, z

Детерминантные процессы

Александр Буфетов, Александр Комлов

Комментарии: 0
Часть 1

Часть 2

Часть 3

Часть 4

Рассмотрим конечный связный граф. Сколько в нем остовных деревьев — деревьев, содержащих все вершины графа? А какая их доля содержит данный набор ребер?

Число остовных деревьев в графе нашёл ещё Кирхгоф в работе 1847 г. об электрических цепях, а в 1993 г. Burton и Pemantle нолучили замечательную формулу для доли остовных деревьев, содержащих данный набор рёбер. Эта формула имеет вид детерминанта матрицы, размер которой равен числу ребер в интересующем нас наборе. Оказывается, аналогичные детерминантные формулы возникают в самых разных задачах теории вероятностей, теории представлений, анализа, математической физики. Например, рассмотрим квадратную матрицу, элементы которой задаются случаем. Тогда распределение собственных чисел случайной матрицы имеет детерминантный вид.

Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию детерминантных процессов. Первые две лекции, посвященные комбинаторным задачам, будут совершенно элементарны и полностью доступны десятиклассникам. Для понимания двух заключительных лекций желательно знакомство с началами анализа, а также с понятием определителя, которое, впрочем, мы напомним на первом занятии.

Теория детерминантных процессов молода: большинство результатов относится уже к XXI веку. Мы планируем обсудить недавние достижения и сформулировать нерешенные проблемы.

Программа занятий:

  1. Детерминанты и пфаффианы
  2. Остовные деревья
  3. Случайные матрицы
  4. Мультипликативные функционалы

Материалы к лекциям: Листок 1 (pdf 198 KB), Листок 2 (pdf 129 KB).

Буфетов Александр Игоревич, доктор физико-математических наук;
Комлов Александр Владимирович, кандидат физико-математических наук.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
22-26 июля 2012 г.
Комментарии: 0