Как посчитать детские рисунки?
Детские рисунки (dessins d'enfants) – термин, введённый Александром Гротендиком в 70-е годы прошлого века. С «детской» точки зрения этот термин означает граф, вложенный в поверхность; с взрослой – это объект, в котором закодированы различные структуры, относящиеся к далёким друг от друга областям математики.
Под подсчётом детских рисунков понимается подсчёт количества детских рисунков ограниченной сложности, которая будет определена. Чтобы получать красивые ответы, рисунки надо считать не просто в штуках, а с весами, обратными количествам симметрий; это не сильно влияет на ответы, поскольку у большинства рисунков нетривиальных симметрий нет.
В последние годы были получены замечательные результаты о количествах детских рисунков. Элементарная часть этих результатов будет изложена в курсе. В качестве одного из приложений будет рассказано о распределении склеек чётноугольников по родам; будет показано, что все нужные формулы можно извлечь из разложения в ряд функции  . В последней лекции будет предпринята попытка рассказать о связях теории детских рисунков с другими разделами математики.
Для понимания основной части курса не надо знать ничего, но надо быть готовыми заниматься довольно трудной математикой. Понимание последней лекции потребует некоторых представлений об арифметической геометрии, топологии и комплексном анализе.
Программа курса:
1. Определение детcкого рисунка. Постановка задач перечисления.
2. Рисунки и тривалентные цветные графы. Рекурсия Зографа.
3. Дискретно-метризованные ленточные графы и рекурсия Норбери. Формула Харера–Цагира.
4. Детские рисунки и арифметическая геометрия.
Шабат Георгий Борисович, доктор физико-математических наук.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна.
20–24 июля 2015 г.
Похожее
-
Гаянэ Панина
Курс представляет собой букет из трёх очень старых и трёх очень новых идей. Основной объект — число целых (т.е. с целыми координатами) точек в многограннике. Зачем нужны целые точки? Несколько примеров: многогранник Ньютона, Теорема Бриона — для начала без доказательства, просто в качестве фокуса, а также подсчёт целых метрических ленточных графов. Число целых точек в выпуклом многограннике ведёт себя как полином. Согласно конструкции, в полином, вычисляющий число целых точек, имеет смысл подставлять лишь положительные числа. Чтобы придать смысл отрицательной подстановке, нужны виртуальные многогранники. Двойственность Эрхарта и её естественное обобщение. Секрет фокуса Бриона.
-
Георгий Шабат
Предполагается прочесть четыре лекции. Первые две будут популярны и общепонятны, а третья и четвёртая будут содержать довольно поверхностные обзоры некоторых перспективных направлений современной математики. 1. О геометрии над конечными полями. 2. Группы Шевалле и группы перестановок. 3. Линейная алгебра над F1 и гомотопическая топология. 4. Разное. Обобщённые кольца Дурова и F∅, F±1, F∞√1. Анализ на множестве корней из единицы (по Хабиро, Концевичу, Манину). О геометрии Аракелова. О тропической математике.
-
Гаянэ Панина
Вот три тесно связанные между собой задачи, которые мы будем обсуждать: Как распрямить плотницкую линейку? Можно ли нарисовать на сфере правильно раскрашенный граф? Верна ли старая гипотеза А. Д. Александрова о характеризации сферы? Попутно будет сформулировано много задач разного уровня сложности (именно исследовательских задач, а не упражнений!). Часть из них — для умеющих и любящих программировать. В курсе будет много картинок.
-
Сергей Новиков
Лекция будет посвящена некоторым нестандартным аспектам элементарной симплектической геометрии и линейной алгебры и их применению для нужд квантовой теории рассеяния. Для большинства математиков этот язык непривычен, поэтому все необходимые понятия будут введены самым элементарным образом.
-
Георгий Шабат
Мы сейчас знаем о строении Вселенной примерно столько же, сколько древние люди знали о поверхности Земли. Точнее, мы знаем, что небольшая часть Вселенной, доступная нашим наблюдениям, устроена так же, как небольшая часть трёхмерного евклидова пространства. Иначе говоря, мы живём на трёхмерном многообразии (3-многообразии). Кругосветным путешествиям и построениям полных атласов может предшествовать априорная классификация маломерных многообразий — вопрос о том, где мы “на самом деле” живём заменяется на вопрос где мы могли бы жить? Эта классификация (требующая некоторых естественных ограничений на многообразия) тривиальна в размерности 1, допускает красивый полный ответ в размерности 2, полученный в XIX веке, и составляет исключительно трудную проблему в размерности 3. В этой проблеме совсем недавно достигнуты замечательные результаты, обзор которых и составляет цель курса.
-
Юрий Бурман
Число В вершин, число Р ребер и число Г граней выпуклого многогранника связаны соотношением В−Р+Г=2. Легко сообразить, что это широко известное утверждение не имеет прямого отношения к выпуклости: если на боку выпуклого многогранника сделать вмятину, то он перестанет быть выпуклым, а количество вершин, ребер и граней сохранится. В то же время для совершенно произвольного многогранника теорема неверна. В данном курсе мы выясним, в каких именно случаях эти утверждения верны и почему на самом деле это — одна и та же теорема. Также мы разберемся, как выглядят аналогичные утверждения для других поверхностей, и не только для поверхностей (а, например, для графов или для многомерной сферы).
-
Владимир Арнольд
Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.
-
Сергей Новиков
Квазипериодические функции: что это такое, откуда возникают, проблемы их изучения, как появляется топология и динамические системы. Лекцию читает Новиков Сергей Петрович, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор.
-
Александр Буфетов, Александр Комлов
Рассмотрим конечный связный граф. Сколько в нем остовных деревьев — деревьев, содержащих все вершины графа? А какая их доля содержит данный набор ребер? Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию детерминантных процессов. Мы планируем обсудить недавние достижения и сформулировать нерешенные проблемы. Программа занятий: детерминанты и пфаффианы; остовные деревья; случайные матрицы; мультипликативные функционалы.
-
Андрей Райгородский
Граф как математический объект оказывается полезным во многих теоретических и практических задачах. Дело, пожалуй, в том, что сложность его структуры хорошо отвечает возможностям человеческого мозга: это структура наглядная и понятно устроенная, но, с другой стороны, достаточно богатая, чтобы улавливать многие нетривиальные явления. Если говорить о приложениях, то, конечно, сразу же на ум приходят большие сети: Интернет, карта дорог, покрытие мобильной связи и т.п. В основах поисковых машин, таких, как Yandex и Google, лежат алгоритмы на графах. Помимо computer science, графы активно используются в биоинформатике, химии, социологии. В этом курсе будут обсуждены классические задачи и некоторые недавние результаты и тенденции, например, экстремальная теория графов.
Далее >>>
|
|
