Целые точки в выпуклых многогранниках

Гаянэ Панина

Часть 1

Часть 2

Часть 3

Курс представляет собой букет из трёх очень старых и трёх очень новых идей. Основной объект — число целых (т.е. с целыми координатами) точек в многограннике.

1. Зачем нужны целые точки? Несколько примеров: многогранник Ньютона, Теорема Бриона (1988) — для начала без доказательства, просто в качестве фокуса, а также подсчёт целых метрических ленточных графов (2009).

2. Число целых точек в выпуклом многограннике ведёт себя как полином. На плоскости это следует из теоремы Пика. В старших размерностях для доказательства этого факта понадобится элегантная комбинация оператора Тодда (1937) и разложения Грама–Брианшона (1837).

3. Согласно конструкции, в полином, вычисляющий число целых точек, имеет смысл подставлять лишь положительные числа. (А если хочется подставить отрицательные? Кто в детстве не пытался делить на ноль?) Чтобы придать смысл отрицательной подстановке, нужны виртуальные многогранники (1992).

4. Двойственность Эрхарта (1962) и её естественное обобщение (1992).

5. Секрет фокуса Бриона.

У слушателей не предполагается никаких специальных предварительных знаний.

Панина Гаянэ Юрьевна, доктор физико-математических наук.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
19-23 июля 2010 г.

Комментарии: 0

Похожее

О шарнирных механизмах, раскрашенных графах и вывернутых наизнанку многогранниках

Гаянэ Панина

Вот три тесно связанные между собой задачи, которые мы будем обсуждать: Как распрямить плотницкую линейку? Можно ли нарисовать на сфере правильно раскрашенный граф? Верна ли старая гипотеза А. Д. Александрова о характеризации сферы? Попутно будет сформулировано много задач разного уровня сложности (именно исследовательских задач, а не упражнений!). Часть из них — для умеющих и любящих программировать. В курсе будет много картинок.
Знаменитые многогранники

Гаянэ Панина

Некоторые комбинаторные схемы дают на выходе интересные выпуклые многогранники, имеющие отношение много к чему из современной математики. Перестановки дают пермутоэдр (перестановочный многогранник). Где он может пригодиться? (Конфигурационное пространство шарнирного многоугольника). Скобочные последовательности дают ассоциэдр (многогранник Сташефа). Зачем он нужен? («Чудесная» компактификация де Кончини–Прочезе.) Вторичный многогранник (secondary polytope Гельфанда–Капранова–Зелевинского) связан с совершенно иной комбинаторной схемой, и при этом обобщает предыдущие примеры.
Алгебра многогранников

Гаянэ Панина

Как мы узнаем, выпуклые многогранники можно складывать и перемножать между собой. Далее, выпуклые многогранники можно умножать на рациональные числа. И наконец, что несколько неожиданно, для выпуклых многогранников можно определить логарифм и экспоненту. Вооружившись этими умениями, мы построим математически богатый замечательный объект — градуированную алгебру над Q — алгебру многогранников Питера Мак Маллена. С помощью этой алгебры мы докажем теорему об f-векторе выпуклого многогранника. Эта алгебра хорошо «отражается» в теории алгебраических торических многообразий.
Как посчитать детские рисунки?

Георгий Шабат

Детские рисунки (dessins d'enfants) – термин, введённый Александром Гротендиком в 70-е годы прошлого века. С «детской» точки зрения этот термин означает граф, вложенный в поверхность; с взрослой – это объект, в котором закодированы различные структуры, относящиеся к далёким друг от друга областям математики. Под подсчётом детских рисунков понимается подсчёт количества детских рисунков ограниченной сложности, которая будет определена. В последние годы были получены замечательные результаты о количествах детских рисунков. Элементарная часть этих результатов будет изложена в курсе.
Графы и квантовая механика: симплектические идеи

Сергей Новиков

Лекция будет посвящена некоторым нестандартным аспектам элементарной симплектической геометрии и линейной алгебры и их применению для нужд квантовой теории рассеяния. Для большинства математиков этот язык непривычен, поэтому все необходимые понятия будут введены самым элементарным образом.
Детерминантные процессы

Александр Буфетов, Александр Комлов

Рассмотрим конечный связный граф. Сколько в нем остовных деревьев — деревьев, содержащих все вершины графа? А какая их доля содержит данный набор ребер? Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию детерминантных процессов. Мы планируем обсудить недавние достижения и сформулировать нерешенные проблемы. Программа занятий: детерминанты и пфаффианы; остовные деревья; случайные матрицы; мультипликативные функционалы.
Теорема Минковского о выпуклых многогранниках и ее приложения

Николай Долбилин

Теорема о существовании и единственности выпуклого многогранника с данными направлениями и площадями его граней, открытая Минковским в 1897 году, наряду с теоремами Эйлера, Коши, А. Д. Александрова, является одной из фундаментальных теорем о многогранниках. Рассказано о нескольких приложениях этой замечательной теоремы.
Теорема А. Д. Александрова о развертках выпуклых многогранников

Николай Долбилин

Лекцию читает Долбилин Николай Петрович, профессор, доктор физико-математических наук. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 28 июля 2008 г.
Теоремы Минковского о параллелоэдрах

Николай Долбилин

Параллелоэдром (это понятие и сам термин были введены великим кристаллографом Е.С. Федоровым для нужд кристаллографии) называют многогранник, параллельными копиями которого можно заполнить пространство. Обычный строительный кирпич является очевидно частным случаем параллелоэдра. Как и кирпич, любой параллелоэдр имеет попарно параллельные грани, чем объясняется его труднопроизносимое название. Многомерный параллелоэдр имеет многочисленные приложения в геометрии чисел, в теории кодирования, комбинаторной геометрии и т.д. В лекции будет рассказано в первую очередь о двух замечательных теоремах Минковского о свойствах параллелоэдров, а также об открытой проблеме Вороного, которой в этом году исполнился 101 год, и кое о чем еще.
Теория графов

Андрей Райгородский

Граф как математический объект оказывается полезным во многих теоретических и практических задачах. Дело, пожалуй, в том, что сложность его структуры хорошо отвечает возможностям человеческого мозга: это структура наглядная и понятно устроенная, но, с другой стороны, достаточно богатая, чтобы улавливать многие нетривиальные явления. Если говорить о приложениях, то, конечно, сразу же на ум приходят большие сети: Интернет, карта дорог, покрытие мобильной связи и т.п. В основах поисковых машин, таких, как Yandex и Google, лежат алгоритмы на графах. Помимо computer science, графы активно используются в биоинформатике, химии, социологии. В этом курсе будут обсуждены классические задачи и некоторые недавние результаты и тенденции, например, экстремальная теория графов.

Далее >>>

∀ x, y, z

Целые точки в выпуклых многогранниках

Гаянэ Панина

Теги

Похожее