Лекцию читает Новиков Сергей Петрович, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 20 июля 2003 г.

В совместной работе с И. Дынниковым мы предложили дискретный вариант комплексного анализа, который стартует с решётки правильных треугольников на плоскости. Нам представляется, что этот подход лучше обычного подхода, использующего квадратную решётку.

Квазипериодические функции: что это такое, откуда возникают, проблемы их изучения, как появляется топология и динамические системы. Лекцию читает Новиков Сергей Петрович, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор.

Детские рисунки (dessins d'enfants) – термин, введённый Александром Гротендиком в 70-е годы прошлого века. С «детской» точки зрения этот термин означает граф, вложенный в поверхность; с взрослой – это объект, в котором закодированы различные структуры, относящиеся к далёким друг от друга областям математики. Под подсчётом детских рисунков понимается подсчёт количества детских рисунков ограниченной сложности, которая будет определена. В последние годы были получены замечательные результаты о количествах детских рисунков. Элементарная часть этих результатов будет изложена в курсе.

Рассмотрим конечный связный граф. Сколько в нем остовных деревьев — деревьев, содержащих все вершины графа? А какая их доля содержит данный набор ребер? Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию детерминантных процессов. Мы планируем обсудить недавние достижения и сформулировать нерешенные проблемы. Программа занятий: детерминанты и пфаффианы; остовные деревья; случайные матрицы; мультипликативные функционалы.

Курс представляет собой букет из трёх очень старых и трёх очень новых идей. Основной объект — число целых (т.е. с целыми координатами) точек в многограннике. Зачем нужны целые точки? Несколько примеров: многогранник Ньютона, Теорема Бриона — для начала без доказательства, просто в качестве фокуса, а также подсчёт целых метрических ленточных графов. Число целых точек в выпуклом многограннике ведёт себя как полином. Согласно конструкции, в полином, вычисляющий число целых точек, имеет смысл подставлять лишь положительные числа. Чтобы придать смысл отрицательной подстановке, нужны виртуальные многогранники. Двойственность Эрхарта и её естественное обобщение. Секрет фокуса Бриона.

Вот три тесно связанные между собой задачи, которые мы будем обсуждать: Как распрямить плотницкую линейку? Можно ли нарисовать на сфере правильно раскрашенный граф? Верна ли старая гипотеза А. Д. Александрова о характеризации сферы? Попутно будет сформулировано много задач разного уровня сложности (именно исследовательских задач, а не упражнений!). Часть из них — для умеющих и любящих программировать. В курсе будет много картинок.

Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.

Как мы узнаем, выпуклые многогранники можно складывать и перемножать между собой. Далее, выпуклые многогранники можно умножать на рациональные числа. И наконец, что несколько неожиданно, для выпуклых многогранников можно определить логарифм и экспоненту. Вооружившись этими умениями, мы построим математически богатый замечательный объект — градуированную алгебру над Q — алгебру многогранников Питера Мак Маллена. С помощью этой алгебры мы докажем теорему об f-векторе выпуклого многогранника. Эта алгебра хорошо «отражается» в теории алгебраических торических многообразий.

Некоторые комбинаторные схемы дают на выходе интересные выпуклые многогранники, имеющие отношение много к чему из современной математики. Перестановки дают пермутоэдр (перестановочный многогранник). Где он может пригодиться? (Конфигурационное пространство шарнирного многоугольника). Скобочные последовательности дают ассоциэдр (многогранник Сташефа). Зачем он нужен? («Чудесная» компактификация де Кончини–Прочезе.) Вторичный многогранник (secondary polytope Гельфанда–Капранова–Зелевинского) связан с совершенно иной комбинаторной схемой, и при этом обобщает предыдущие примеры.