Число В вершин, число Р ребер и число Г граней выпуклого многогранника связаны соотношением В−Р+Г=2. Легко сообразить, что это широко известное утверждение не имеет прямого отношения к выпуклости: если на боку выпуклого многогранника сделать вмятину, то он перестанет быть выпуклым, а количество вершин, ребер и граней сохранится. В то же время для совершенно произвольного многогранника теорема неверна.
Если на сфере определена гладкая функция, то ее критические точки (точки, где производные равны нулю, то есть точки, в окрестности которых функция меняется медленнее обычного) бывают, в простейшем случае, трех типов — локальные минимумы, локальные максимумы и седла (точки, в окрестности которых график функции выглядит как горный перевал). Количество X максимумов, количество N минимумов и количество S седел связаны соотношением X−S+N=2. Если сделать на сфере вмятину или просто заменить сферу эллипсоидом, это соотношение сохранится. Но на произвольной поверхности формула неверна.
В данном курсе мы выясним, в каких именно случаях эти утверждения верны и почему на самом деле это — одна и та же теорема. Также мы разберемся, как выглядят аналогичные утверждения для других поверхностей, и не только для поверхностей (а, например, для графов или для многомерной сферы).
Величина, стоящая в правой части этих и подобных утверждений, называется эйлеровой характеристикой.
Бурман Юрий Михайлович, кандидат физико-математических наук.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20-23 июля 2012 г.
Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.
Детские рисунки (dessins d'enfants) – термин, введённый Александром Гротендиком в 70-е годы прошлого века. С «детской» точки зрения этот термин означает граф, вложенный в поверхность; с взрослой – это объект, в котором закодированы различные структуры, относящиеся к далёким друг от друга областям математики. Под подсчётом детских рисунков понимается подсчёт количества детских рисунков ограниченной сложности, которая будет определена. В последние годы были получены замечательные результаты о количествах детских рисунков. Элементарная часть этих результатов будет изложена в курсе.