Будет рассказано, что такое математическая теория узлов и зачем нужны их инварианты. Задача (трехмерная) о классификации узлов будет сведена к чисто комбинаторной двумерной задаче с помощью изящного инструмента — операций Райдемайстера. Затем будет показано, как вычисляется знаменитый инвариант узлов — полином Александера–Конвея. Будет построен (со всеми доказательствами) еще более знаментый инвариант узлов — полином Джонса, за который в 1992 году австралийский математик Воан Джонс получил медаль Фильдса. Это будет сделано с помощью т.н. скобки Кауфмана, т.е. с помощью соображений, тесно связанных со статистической физикой. Мы научимся вычислять этот полином и докажем ряд его свойств.

Лекция начнется с демонстрации недавно обнаруженной серии физических экспериментов с проволочном контуром, который моделирует узлы (т.е. гладкие замкнутые кривые в пространстве). Оказывается, что этот контур — очень умный: он во многих случаях умеет распутывать тривиальный узел в круглую окружность, выполнять т.н. движения Рейдемейстера, движения Маркова, фокус Уитни, и всегда минимизирует т.н. индекс Уитни. Во второй части лекции будет рассмотрен один из красивейших подходов к изучению математической теории узлов, основанный на использовании т.н. «энергии узлов».

В лекции будут обсуждаться примеры сингулярных (особых) мыльных пленок, натянутых на проволочные контуры сложной формы (узлы, каркас куба и тетраэдра, и др.) Будут проводится демонстрации соответствующих экспериментов с проволоками и мыльным растворам, и на экране будут показаны фотографии и компьютерная графика изображений результатов. Оказывается, что на пленках возникают только два тина особенностей — так называемые “тройные линии” и “шестикрылые бабочки”, удивительным образом совпадающие с особенностями “специальных спайнов” (играющих ключевую роль в работах С. Матвеева и его школы по классификации трехмерных многообразий). Цель лекции — привлечь внимание слушателей к созданию (пока еще не существующей) математической теории сингулярных минимальных поверхностей.

Математик Александра Скрипченко о эффективных алгоритмах, представлениях лорда Кельвина и движениях Рейдемейстера.

Число В вершин, число Р ребер и число Г граней выпуклого многогранника связаны соотношением В−Р+Г=2. Легко сообразить, что это широко известное утверждение не имеет прямого отношения к выпуклости: если на боку выпуклого многогранника сделать вмятину, то он перестанет быть выпуклым, а количество вершин, ребер и граней сохранится. В то же время для совершенно произвольного многогранника теорема неверна. В данном курсе мы выясним, в каких именно случаях эти утверждения верны и почему на самом деле это — одна и та же теорема. Также мы разберемся, как выглядят аналогичные утверждения для других поверхностей, и не только для поверхностей (а, например, для графов или для многомерной сферы).

Квазипериодические функции: что это такое, откуда возникают, проблемы их изучения, как появляется топология и динамические системы. Лекцию читает Новиков Сергей Петрович, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор.

Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.

Детские рисунки (dessins d'enfants) – термин, введённый Александром Гротендиком в 70-е годы прошлого века. С «детской» точки зрения этот термин означает граф, вложенный в поверхность; с взрослой – это объект, в котором закодированы различные структуры, относящиеся к далёким друг от друга областям математики. Под подсчётом детских рисунков понимается подсчёт количества детских рисунков ограниченной сложности, которая будет определена. В последние годы были получены замечательные результаты о количествах детских рисунков. Элементарная часть этих результатов будет изложена в курсе.

В алгоритмической теории информации колмогоровская сложность объекта (такого, как текст) есть мера вычислительных ресурсов, необходимых для точного определения этого объекта. Колмогоровская сложность также известна как описательная сложность, сложность Колмогорова — Хайтина, стохастическая сложность, алгоритмическая энтропия или алгоритмическая сложность.

Один из важнейших понятий механики и теоретической физики — понятие конфигурационного пространства механической системы — почему-то остается неизвестным не только школьникам, но и большинству студентов-математиков. В лекции рассмотрен очень простой, но весьма содержательный класс механических систем — плоские шарнирные механизмы с двумя степенями свободы. Мы обнаружим, что в «общем случае» их конфигурационные пространства суть двумерные поверхности, и постараемся понять — какие именно. (Здесь имеются окончательные результаты десятилетней давности Димы Звонкина.) Далее обсуждаются нерешенные математические задачи, связанные с шарнирными механизмами. (В том числе две гипотезы, а точнее — недоказанные теоремы, американского математика Билла Тёрстона.)