Лекция начнется с демонстрации недавно обнаруженной серии физических экспериментов с проволочном контуром, который моделирует узлы (т.е. гладкие замкнутые кривые в пространстве). Оказывается, что этот контур — очень умный: он во многих случаях умеет распутывать тривиальный узел в круглую окружность, выполнять т.н. движения Рейдемейстера, движения Маркова, фокус Уитни, и всегда минимизирует т.н. индекс Уитни. Для узлов, которые можно нарисовать с небольшим числом скрещиваний, умный проволочный контур механически, почти мгновенно принимает определенные «нормальные формы», однозначно определенные топологическим типом начального положения узла. Все названные выше понятия очень просты и будут попутно определены. Будет определен некий инвариант («скрученность узла») и (c его помощью) доказана теорема С. Матвеева о классификации «плоских неузлов».

Во второй части лекции будет рассмотрен один из красивейших подходов к изучению математической теории узлов, основанный на использовании т.н. «энергии узлов» — узел снабжается функционалом энергии и отслеживается, как его положение в пространстве меняется при стремлении энергии к локальному минимуму. Положение узла, при котором достигается минимум энергии, называется «нормальной формой узла» (относительно данного функционала энергии). Для понимания этой теории требуется достаточно сложный математический аппарат (за пределами знаний подавляющей части участников школы), поэтому мы не будем вдаваться в соответствующую теорию, но продемонстрируем компьютерные эксперименты (мультфильмы) показывающие эволюцию узла при стремлении к минимуму «энергии Мёбиуса» (наиболее популярному функционалу энергии).

Сосинский Алексей Брониславович, кандидат физико-математических наук.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20 июля 2010 г.