Математик Александра Скрипченко о биллиарде как динамической системе, рациональных углах и теореме Пуанкаре.

В лекции будет сказано, что такое узлы (и их родственники — зацепления, косы, ленты), но вместо соответствующих теорий, будут рассказаны некоторые яркие «внешние» применения этих понятий, т. е. приложения к другим наукам. А именно: Индекс зацепления двух кривых и электромагнетизм; Перестройки по заузленным лентам и опровержения первоначального варианта его знаменитой гипотезы; Косы и оправдание существования позитрона (и вообще антимира); Заузленные ДНК; Простейшее зацепление и расслоение Хопфа.

Будет рассказано, что такое математическая теория узлов и зачем нужны их инварианты. Задача (трехмерная) о классификации узлов будет сведена к чисто комбинаторной двумерной задаче с помощью изящного инструмента — операций Райдемайстера. Затем будет показано, как вычисляется знаменитый инвариант узлов — полином Александера–Конвея. Будет построен (со всеми доказательствами) еще более знаментый инвариант узлов — полином Джонса, за который в 1992 году австралийский математик Воан Джонс получил медаль Фильдса. Это будет сделано с помощью т.н. скобки Кауфмана, т.е. с помощью соображений, тесно связанных со статистической физикой. Мы научимся вычислять этот полином и докажем ряд его свойств.

Простое двумерное периодическое движение вязкой жидкости может стать хаотическим, что приведёт к эффективному перемешиванию. Эксперименты и компьютерное моделирование проясняют механизм этого явления.

Вам, возможно, доводилось испытывать странные физические ощущения в скоростных лифтах: когда лифт трогается вверх (или тормозит при движении вниз), вас придавливает к полу, и вам кажется, что вы на мгновение потяжелели; а в момент торможения при движении вверх (или старта при движении вниз) пол лифта буквально уходит у вас из-под ног. Сами, возможно, того не сознавая, вы испытываете при этом на себе действие принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс. Когда лифт трогается вверх, он движется с ускорением, которое приплюсовывается к ускорению свободного падения в неинерциальной (движущейся с ускорением) системе отсчета, связанной с лифтом, и ваш вес увеличивается. Однако, как только лифт набрал «крейсерскую скорость», он начинает двигаться равномерно, «прибавка» в весе исчезает, и ваш вес возвращается к привычному для вас значению. Таким образом, ускорение производит тот же эффект, что и гравитация.

Аристотель и Галилей о падении тел. Силы трения. Скольжение и качение. Статика, кинематика. Векторная природа сил и скоростей. Сложение и разложение. Независимость действий и движений. Сохранение количества движения. Момент силы и момент импульса. Гироскопы. Скамейка Жуковского. Вращательное движение. Момент силы и момент импульса в плоском варианте вращения. Вращение твёрдого тела и момент инерции. Работа, энергия, законы сохранения. Неинерциальные системы и силы. Центробежный эффект. Сила Кориолиса. Задача Эйнштейна о чаинках. Атмосферное давление. Законы Паскаля и Архимеда. Парадокс Архимеда.

Движение физического тела в одном измерении не зависит от его движения в двух других измерениях. Например, траектория полета пушечного ядра представляет собой совокупность двух независимых траекторий движения: равномерного движения по горизонтали со скоростью, приданной ядру пушкой, и равноускоренного движения по вертикали под воздействием земного притяжения.

Закон квадрата — куба представляет собой следующий принцип: если объект пропорционально (то есть с помощью преобразования подобия) увеличивается (уменьшается) в размере, его новый объём будет пропорционален кубу масштабирующего коэффициента, а новая площадь его поверхности — пропорциональна квадрату масштабирующего коэффициент. Этот закон находит своё применение в технике и биомеханике.

Вводные понятия. Цель физики. Базовые принципы и понятия. Понятие пространства-времени. Принципы симметрии пространства-времени. Динамический принцип. Действие. Функция Лагранжа. Уравнения Эйлера–Лагранжа. Законы сохранения. Теорема Нетер. Энергия, импульс, момент. Задача Кеплера. Модели. Гамильтонов формализм. Отображение Лежандра. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона. Скобка Пуассона. Инвариантная формулировка механики.

Галилео Галилей относится к числу людей, прославившихся совсем не тем, за что им следовало бы пользоваться заслуженной славой. Все помнят, как этого итальянского естествоиспытателя в конце жизни подвергли суду инквизиции по подозрению в ереси и заставили отречься от убеждения, что Земля вращается вокруг Солнца. На самом же деле, этот судебный процесс на развитие науки практически не повлиял — в отличие от ранее проделанных Галилеем опытов и сделанных им на основании этих опытов выводов, которые фактически предопределили дальнейшее развитие механики как раздела физической науки