Часть 1

Часть 2

Лягушка сидит в вершине квадрата и раз в десять секунд принимает решение и совершает прыжок: с вероятностью p по часовой стрелке, с вероятностью q против часовой стрелки, с вероятностью 1−p−q на месте. Через десять секунд вновь решая куда прыгнуть, лягушка принимает во внимание лишь ту вершину, в которой она находится. Таким образом, положения лягушки в различные моменты времени не независимы, однако, при фиксированном настоящем, будущее лягушки независимо от её прошлого. В честь открывшего их нашего великого соотечественника Андрея Андреевича Маркова такие системы испытаний называют цепями Маркова.

Пусть теперь лягушка принимает решения непрерывно и прыгает тогда, когда ей вздумается. Мы приходим к более трудному объекту — марковскому процессу с непрерывным временем. Теория таких процессов активно разрабатывалась на протяжении всего двадцатого века; фундаментальный вклад в их исследование внёс Андрей Николаевич Колмогоров. Ключевые вопросы, однако, и по сей день остаются открытыми.

Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию марковских процессов со счётным числом состояний.

Помимо представления об исчислении бесконечно малых в объёме курса средней школы, никаких предварительных знаний не требуется, и курс наш доступен школьникам.

Программа курса:
Пушкин и Марков. Марковское свойство, уравнение Колмогорова–Чепмэна.
Марковские процессы с непрерывным временем.
Уравнения Колмогорова.
Теорема Карлина-Макгрегора.

Буфетов Александр Игоревич, доктор физико-математических наук.

Летняя школа «Современная математика», посвященная памяти Виталия Арнольда
г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
20-23 июля 2017 г.