Случайные блуждания и броуновское движение

Альберт Ширяев

Часть 1

Часть 2

Часть 3

В 1827 году шотландский ботаник Роберт Браун наблюдал под микроскопом помещённую в воду крошечную крупинку цветочной пыльцы. Оказалось, что эта крупинка совершает крайне беспорядочные, зигзагообразные движения. Это движение не было связано с эффектами типа потока в жидкости, испарением, но сильно зависело от температуры.

Молекулярное объяснение этого движения было в 1905 году математически дано А. Эйнштейном, а в 1908 году экспериментально было показано, что это хаотическое движение есть результат соударений частицы с молекулами воды. Математическая теория Эйнштейна использовала вероятностно-статистические соображения. Он изучил поведение частицы в фиксированный момент времени и зависящие от времени статистические свойства большой совокупности таких частиц. Им была построена математическая теория таких движений, которые в честь Р. Брауна стали называть броуновским движением. В двадцатых-тридцатых годах прошлого века Н. Винер начал математическое изучение траекторий движения таких частиц. Им была построена теория этого движения в пространстве непрерывных функций, наделённых специальной мерой, которую теперь называют винеровской мерой.

Соударения частицы с молекулами происходит необычайно часто. Дискретный (и по времени, и по пространству) аналог этого движения (по каждой координате) может быть идеализированно представлен как случайное блуждаение

$S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n,\quad n\ge 1$ .

Именно свойства этого блуждания являются целью лекций с последующим переходом к броуновскому движению (винеровскому процессу). Применяя вероятностный подход мы вводим прежде всего основные характеристики: вероятностное пространство $(\Omega, F, P)$ , случайные величины, математические ожидания и др. Далее рассматриваются фундаментальные свойства случайных блужданий: закон больших чисел, теорема Муавра-Лапласа (центральная предельная теорема), усиленный закон больших чисел, закон повторного логарифма и др. В основном случайные блуждания будут рассматриваться для схемы Бернулли, когда случайные величины $X_i$ принимают два значения. На примерах будет показано как вероятностная комбинаторика и свойства случайных блужданий приводят к результатам, слабо поддающихся интуиции.

Материалы: Слайды (pdf, 280 KB).

Ширяев Альберт Николаевич — академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор.

Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2018
Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
25-27 июля 2018 г.

Комментарии: 0

Похожее

Марковские процессы

Александр Буфетов

Лягушка сидит в вершине квадрата и раз в десять секунд принимает решение и совершает прыжок: с вероятностью p по часовой стрелке, с вероятностью q против часовой стрелки, с вероятностью 1−p−q на месте. Через десять секунд вновь решая куда прыгнуть, лягушка принимает во внимание лишь ту вершину, в которой она находится. Таким образом, положения лягушки в различные моменты времени не независимы, однако, при фиксированном настоящем, будущее лягушки независимо от её прошлого. В честь открывшего их нашего великого соотечественника Андрея Андреевича Маркова такие системы испытаний называют цепями Маркова. Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию марковских процессов со счётным числом состояний.
Вероятность и статистика

Иван Ященко

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 24-25 июля 2004 г.
Неслучайное в случайном, или вероятностные законы случая

Александр Казанцев, Павел Яськов

Очень часто людям приходится принимать важные решения на основе вероятностных наблюдений, то есть имея знания об аналогичных процессах в прошлом. «Будет ли завтра дождь?», «Влияет ли лекарство на самочувствие больных?», «Какая будет сегодня загруженность дорог вечером?» — эти и другие подобные вопросы волнуют многих. Однако, в реальной жизни, в отличие от строгих математических моделей, исходы испытаний зависят от воли случая или от факторов, которые не были приняли во внимание. Так, например, загруженность дорог сегодня может быть намного больше, чем обычно, если погода оказалась хорошей и люди поехали на дачу. Или может показаться, что тестируемое лекарство дает намного больший эффект просто потому, что на малом количестве испытаний нам просто повезло. Как же тогда использовать знания о прошлом, если точно предсказать будущее все равно не получится?
Невероятная вероятность

Альберт Ширяев, Всеволод Макеев, Алексей Семихатов

На грани безумия

Теория вероятностей — один из важнейших разделов математики, занимающийся изучением случайных явлений и выявлением их закономерностей. Эта теория возникла ещё в средние века, благодаря выдающимся учёным: Блезу Паскалю и Пьеру Ферма, которые провели математический анализ азартных игр. Едва появившись, она во мгновение ока вызвала к себе неподдельный интерес учёных и быстро проникла в научный мир, став его неотъемлемой частью. Какие законы управляют случаем?
Иллюзия закономерности: почему случайность кажется неестественной

Наши представления о случайном, закономерном и невозможном часто расходятся с данными статистики и теории вероятностей. В книге «Несовершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью» американский физик и популяризатор науки Леонард Млодинов рассказывает о том, почему случайные алгоритмы выглядят так странно, в чем подвох «рандомной» тасовки песен на IPod и от чего зависит удача биржевого аналитика.
Основания теории вероятностей и колмогоровская сложность

Александр Шень

Природа статистических законов вызывала споры с самого рождения теории вероятностей и продолжает их вызывать. Эти философские споры привели к рождению интересной математической теории: алгоритмической теории вероятностей и информации, которая — в отличие от классической — пытается дать определение индивидуального случайного объекта. Мы обсудим основные понятия этой теории и их связь с основаниями и парадоксами теории вероятностей. Об этом в публичной лекции математика Александра Шеня, кандидата физико-математических наук, старшего научный сотрудник Лаборатории теории передачи информации и управления ИППИ РАН.
Термодинамика

Валерий Опойцев

Идеальный газ. Уравнение состояния газа. Взаимосвязь давления, температуры и объёма. Механизмы рождения макропараметров в рамках «молекулярного бильярда». Первое начало термодинамики как закон сохранения энергии. Вывод уравнения Бернулли. Энтропия и второе начало термодинамики. Тепловые машины и цикл Карно. Энтропия информационная. Энтропия как неопределённость. Аксиоматический подход к определению энтропии. Принцип максимума энтропии. Подход статистической физики за пределами термодинамики.
Кинетическая теория Больцмана

Владимир Аристов

На какие вопросы отвечает теория Больцмана и какова была её судьба? Легко ли утверждались кинетические представления о веществе в физике? Какую роль в науке сыграло статистическое понятие энтропии? Наконец, что может предложить теория Больцмана сегодня? Об уравнении Больцмана, полемике Больцмана с Махом и современных приложениях кинетической теории рассказывает доктор физико-математических наук, сотрудник Вычислительного центра РАН Владимир Аристов.
«К гадалке не ходи…»

Михаил Раскин

Вероника сидит в комнате. На улице дождь. Вероника ставит ТеХ и смотрит фехтование. Ей многое интересно. Когда закончится дождь? Не повисла ли установка ТеХа? Будет ли следующая атака по корпусу или по маске? Конечно, чтобы узнать ответ наверняка, Веронике придётся подождать. Двое физиков порождают случайный шум. Один ищет радиочастоту, где сигнал не портит помехи, его соседка водит счётчиком Гейгера. Есть много ситуаций, когда знание, происходящего не позволяет нам предсказывать дальнейшее. Я постараюсь объяснить, откуда (и как по-разному) они берутся.
Случайно существующие объекты (вероятностные доказательства существования)

Михаил Раскин

Иногда мы хотим доказать, что какой-нибудь объект существует. Разумеется, можно медленно и методично объект построить. Но это что-то делать надо, а хочется получить кое-что задаром. Поэтому мы просто возьмём случайный объект и заметим, что он подходит с ненулевой вероятностью. Это позволяет избежать занудной конструкции. Заодно можно спрятать в доказательстве незаметную ошибку. Для понимания курса нужно будет знать определение независимых событий. Понимать, что это такое, не обязательно, всё равно в ходе курса такое понимание (или только его иллюзию?) можно будет утратить.

Далее >>>

∀ x, y, z

Случайные блуждания и броуновское движение

Альберт Ширяев

Теги

Похожее