Трансцендентность и иррациональность числа Пи

Илья Щуров

Трансцендентность и иррациональность числа Пи

Математик Илья Щуров о десятичных дробях, трансцендентности и иррациональности числа $\pi$ .

Для начала нужно вспомнить, что все вещественные числа можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: у любого числа после запятой есть бесконечное количество цифр. Но, например, если число целое, то там после запятой просто будет бесконечное количество нулей, и их обычно не пишут. Если число рациональное (то есть представляется в виде дроби с целыми числителем и знаменателем), то в десятичной записи у него может стоять либо какое-то конечное количество цифр, а затем хвост из бесконечного числа нулей (например, число 1/4 записывается как 0,250000…, при этом нули обычно не пишут), либо в хвосте может повторяться какой-то блок цифр бесконечное число раз (так называемый период). Например, число 1/3 нельзя записать в виде десятичной дроби с хвостом из нулей, но зато можно в виде 0,3333… (бесконечное число троек). Еще интереснее записывается число 1/7: 0,142857142857… (блок 142857 будет повторяться бесконечно много раз). Наконец, еще бывают рациональные числа с предпериодом, то есть после запятой идет блок произвольных цифр, а затем бесконечно много раз повторяется период. Например, число 13/44 записывается в виде 0,2954545454 (здесь 29 — предпериод, а 54 — период).

Несмотря на то, что само число имеет бесконечную десятичную запись, чтобы его запомнить, достаточно иметь конечный объем памяти: нужно лишь запомнить предпериод и период, то есть конечное число цифр. Этим свойством обладают все рациональные числа.

С числом $\pi$ совсем другая история: оно иррационально, то есть не представляется в виде дроби $p/q$ и не записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Но в виде какой-то бесконечной десятичной дроби оно представляется, как и любое другое вещественное число. Значит, эта дробь является непериодической. Иррациональность числа π не очень простой факт. Он был по историческим меркам доказан совсем недавно — в 1761 году. Сейчас известно множество доказательств, но все они используют продвинутые методы математического анализа, и их трудно назвать простыми.

Гораздо проще доказать иррациональность какого-нибудь другого числа, например квадратного корня из двух. В нем тоже есть бесконечное число разных знаков после запятой, и оно в этом смысле ничем не хуже числа $\pi$ . Иррациональность этого числа была известна еще во времена Пифагора, чем довольно сильно напугала пифагорейцев: они не знали о существовании иррациональных чисел и не очень понимали, как с этим жить дальше. Поэтому для начала убили (по другой версии, всего лишь изгнали) человека, который открыл иррациональность корня из двух, — его звали Гиппас из Метапонта. По крайней мере, такова печальная легенда.

Впрочем, вернемся к числу $\pi$ . Оно является не только иррациональным, но еще и трансцендентным. Этим оно отличается от корня из двух: корень из двух $\sqrt{2}$ является решением уравнения $x^2-2=0$ , а число $\pi$ не может быть выражено таким образом, оно не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Это еще более сложный факт, и он был доказан в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.

Существует много разных способов найти число $\pi$ с любой заданной точностью. То есть, если вы хотите, вы можете вычислять последовательно цифры числа $\pi$ до тех пор, пока вам не надоест, пока у вас будет хватать компьютерных возможностей, для того чтобы оперировать такими длинными записями чисел. Научная ценность этого, впрочем, невелика: все необходимые с практической точки зрения цифры числа $\pi$ уже давно найдены. Зато можно развлечься: попытаться найти в десятичном представлении числа $\pi$ любые последовательности. Например, дату вашего рождения можно тоже поискать в числе $\pi$ , и для этого есть специальные сервисы (http://www.subidiom.com/pi/).

Впрочем, есть и множество содержательных научных вопросов, связанных с числом $\pi$ : например, интересно, является ли оно «нормальным», то есть правда ли, что цифры в десятичной записи появляются «с равной вероятностью» или какие-то цифры встречаются чаще, чем другие. Несмотря на то, что доказательство или даже опровержение нормальности $\pi$ не связано сейчас с риском для жизни автора (все-таки со времен Пифагора прогресс достигнут не только в математике), ответа на этот вопрос до сих пор нет.

Илья Щуров, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики НИУ ВШЭ
ПостНаука

Комментарии: 0

#математика #матанализ #арифметика #алгебра #основания_математики #вещественные_числа #числа #десятичные_дроби #число_Пи #трансцендентность #иррациональность #иррациональные_числа #трансцендентные_числа #Илья_Щуров

Похожее

История расширения числовой области

Жак Сезиано

За два тысячелетия произошло три важных расширения числовой области. Во-первых, около 450 г. до н.э. учёные школы Пифагора доказали существование иррациональных чисел. Их начальной целью было числовое выражение диагонали единичного квадрата. Во-вторых, в XIII-XV веках европейские учёные, решая системы линейных уравнений, допустили возможность одного отрицательного решения. И, в-третьих, в 1572 г. итальянский алгебраист Рафаэль Бомбелли использовал комплексные числа для получения действительного решения некоего кубического уравнения.
День числа Пи

Александр Буфетов

Традиция отмечать неофициальный день числа Пи зародилась в Соединенных Штатах почти 30 лет назад, когда известный американский физик Ларри Шоу обратил внимание на то, что 14 марта совпадает с первыми тремя цифрами знаменитой "архимедовой константы" — 3,14. На следующий год, с подачи Шоу, в этот день посетителей музея начали угощать пирогами (из-за сходного звучания слов "пирог" и "Пи" английском языке "pi" — "pie"), после чего к ежегодному отмечанию этой даты постепенно присоединились физики и математики со всего мира.
Трансцендентные числа

Алексей Белов

Всем говорят в школе, что число π иррационально и даже — трансцендентно, т. е. не является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Имеется изящное и вполне элементарное доказательство Эрмита иррациональности числа π (требующее только знания интегрирования по частям — понимания как вычислить интеграл ∫ x^k sin(x)dx в пределах от a до b). Наша цель — доказательство теоремы Линдемана–Веерштрасса (если α_i линейно независимые над Q алгебраические числа, то e^(α_i) алгебраически независимы), а также теоремы Гельфонда (если числа α ≠ 0,1; β ∉ Q алгебраические, то αβ есть число трансцендентное).
Числа, множества, операции

Валерий Опойцев

Комплексные числа: Как возникают и что обеспечивают. Как введение «странных» объектов проливает свет на реальные проблемы. Теория вещественных чисел: Пополнение прямой. Сечения Дедекинда. Зачем это нужно. Системы счисления: Что говорил Плутарх. Позиционная запись чисел. Десятичная система, двоичная. Игра «Ним» на шахматной доске. Двоичный выигрывающий алгоритм. Множества и операции: Наивная теория множеств. Сходство и различия с арифметическими операциями. Булевы структуры. Какими моделями их можно наполнять. Как эти модели перекликаются. Математическая индукция: Аксиома Пеано. Механизм индукции. Примеры.
Почему минус на минус дает плюс?

Почему минус один умножить на минус один равно плюс один? Почему минус один умножить на плюс один равно минус один? Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.
Рациональные приближения действительных чисел

Виктор Клепцын

Действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными. А насколько хорошим может быть такое приближение – в сравнении с его сложностью? Например, оборвав десятичную запись числа x на k-й цифре после запятой, мы получим приближение x≈a/10^k с ошибкой порядка 1/10^k. И вообще, зафиксировав знаменатель q у приближающей дроби, мы точно можем получить приближение с ошибкой порядка 1/q. А можно ли сделать лучше? Знакомое всем приближение π≈22/7 даёт ошибку порядка 1/1000 – то есть явно сильно лучше, чем можно было бы ожидать. А почему? Повезло ли нам, что у π такое приближение есть? Оказывается, что для любого иррационального числа есть бесконечно много дробей p/q, приближающих его лучше, чем 1/q^2. Это утверждает теорема Дирихле – и мы начнём курс с её немного нестандартного доказательства.
История понятия числовой прямой

Галина Синкевич

Понятие числовой прямой сформировалось в конце XIX — начале XX веков. Мы рассмотрим этапы развития этого понятия в работах М. Штифеля (1544 г.), Галилея (1633 г.), Эйлера (1748 г.), Ламберта (1766 г.), Больцано (1830-е гг.), Мере (1869, 1872 гг.), Кантора (1872г.), Гейне (1872 г.), Дедекинда (1872 г.) и Вейерштрасса (с 1861 по 1885 гг).
Числа и многочлены

Проскуряков И. В.

Целью этой книги является строгое определение чисел, многочленов и алгебраических дробей и обоснование их свойств, уже известных из школы, а не ознакомление читателя с новыми свойствами. Поэтому читатель не найдет здесь новых для него фактов (за исключением, быть может, некоторых свойств, действительных и комплексных чисел), но узнает, как доказываются вещи, хорошо ему известные, начиная с «дважды два — четыре» и кончая правилами действий с многочленами и алгебраическими дробями. Зато читатель познакомится с рядом общих понятий, играющих в алгебре основную роль.
Математика как форма существования мира идей в нашем сознании

Леон Тахтаджян

Это будут четыре коротеньких рассказика. Начнем мы с чисел, потом поговорим о движении, об изменении, затем мы обсудим формы и размеры, а затем — начало и конец. В таком несколько зашифрованном стиле мы и попробуем посмотреть на математику изнутри и снаружи, причем именно как на предмет. То, о чем математики мыслят и чем живут, — об этом мы с вами сможем поговорить потом. Мы увидим, что некоторые вещи, которые нам кажутся очевидными, таковыми совсем не являются. Простые вещи могут оказаться сложными, а сложные — простыми.
Понятие числа от Евдокса до Клиффорда

Владлен Тиморин

Математик Владлен Тиморин о преимуществах комплексных чисел, кватернионах Гамильтона, восьмимерных числах Кэли и о разнообразии чисел в геометрии.

Далее >>>

∀ x, y, z

Трансцендентность и иррациональность числа Пи

Илья Щуров

Теги

Похожее