Рациональные приближения действительных чисел

Виктор Клепцын

Часть 1

Часть 2

Часть 3

Действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными. А насколько хорошим может быть такое приближение – в сравнении с его сложностью? Например, оборвав десятичную запись числа $x$ на $k$ -й цифре после запятой, мы получим приближение $x\approx a/10^k$ с ошибкой порядка $1/10^k$ . И вообще, зафиксировав знаменатель $q$ у приближающей дроби, мы точно можем получить приближение с ошибкой порядка $1/q$ (точно не больше $1/2q$ , и в среднем $1/4q$ ). А можно ли сделать лучше?

Знакомое всем приближение $\pi\approx 22/7$ даёт ошибку порядка $1/1000$ – то есть явно сильно лучше, чем можно было бы ожидать. А почему? Повезло ли нам, что у $\pi$ такое приближение есть? Оказывается, что для любого иррационального числа есть бесконечно много дробей $p/q$ , приближающих его лучше, чем $1/q^2$ . Это утверждает теорема Дирихле – и мы начнём курс с её немного нестандартного доказательства.

А именно, мы посмотрим на ряды Фарея – выписанные по возрастанию несократимые дроби со знаменателем, не превосходящим данного числа. Оказывается, что они удовлетворяют нескольким совершенно удивительным свойствам: например, каждое из них это «сумма двоечника» (числитель с числителем, знаменатель со знаменателем) своих соседей. Из свойств рядов Фарея мы и выведем теорему Дирихле.

Программа курса:

Ряды Фарея, их свойства. Теорема Дирихле о приближаемости.
Цепные дроби, их свойства. Их связь с рядами Фарея, второе доказательство теоремы Дирихле.
Не-приближаемость алгебраических чисел, явный пример трансцендентного числа.
Зиккурат Дженкинса–Ноймана, два его описания и теорема о самоподобии множества его вершин.

Материалы к лекциям: [pdf, 140 KB]

Клепцын Виктор Алексеевич

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна.
20-24 июля 2014 г.

Комментарии: 0

Похожее

Трансцендентность и иррациональность числа Пи

Илья Щуров

Математик Илья Щуров о десятичных дробях, трансцендентности и иррациональности числа Пи.
История понятия числовой прямой

Галина Синкевич

Понятие числовой прямой сформировалось в конце XIX — начале XX веков. Мы рассмотрим этапы развития этого понятия в работах М. Штифеля (1544 г.), Галилея (1633 г.), Эйлера (1748 г.), Ламберта (1766 г.), Больцано (1830-е гг.), Мере (1869, 1872 гг.), Кантора (1872г.), Гейне (1872 г.), Дедекинда (1872 г.) и Вейерштрасса (с 1861 по 1885 гг).
Трансцендентные числа

Алексей Белов

Всем говорят в школе, что число π иррационально и даже — трансцендентно, т. е. не является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Имеется изящное и вполне элементарное доказательство Эрмита иррациональности числа π (требующее только знания интегрирования по частям — понимания как вычислить интеграл ∫ x^k sin(x)dx в пределах от a до b). Наша цель — доказательство теоремы Линдемана–Веерштрасса (если α_i линейно независимые над Q алгебраические числа, то e^(α_i) алгебраически независимы), а также теоремы Гельфонда (если числа α ≠ 0,1; β ∉ Q алгебраические, то αβ есть число трансцендентное).
Истина и красота. Всемирная история симметрии

Иэн Стюарт

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Числа, множества, операции

Валерий Опойцев

Комплексные числа: Как возникают и что обеспечивают. Как введение «странных» объектов проливает свет на реальные проблемы. Теория вещественных чисел: Пополнение прямой. Сечения Дедекинда. Зачем это нужно. Системы счисления: Что говорил Плутарх. Позиционная запись чисел. Десятичная система, двоичная. Игра «Ним» на шахматной доске. Двоичный выигрывающий алгоритм. Множества и операции: Наивная теория множеств. Сходство и различия с арифметическими операциями. Булевы структуры. Какими моделями их можно наполнять. Как эти модели перекликаются. Математическая индукция: Аксиома Пеано. Механизм индукции. Примеры.
Удивительный комплексный мир

Дмитрий Аносов

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 16-18 июля 2002 г.
Динамические системы и бифуркации

Виктор Клепцын

Лекцию читает Клепцын Виктор Алексеевич. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 29 июля 2017 г.
Проблемы Гильберта

Виктор Клепцын

8 августа 1900 года Давид Гильберт сделал на Втором Математическом конгрессе доклад, представив слушателям ставший с тех пор знаменитым список проблем столетия. За прошедшие сто с лишним лет большая их часть была решена – и, что важнее, в ходе их решения появились новые сюжеты и новое понимание. Я собираюсь затронуть несколько из них и обсудить, в каком контексте они формулировались и куда продвинулось наше понимание за эти сто лет. Этот курс предполагается обзорным и адресованным школьникам (в частности, он не предполагает предварительных сведений).
Вероятность пробоя на треугольной решетке — и при чем тут дискретный комплексный анализ

Виктор Клепцын

Рассмотрим прямоугольник, составленный из маленьких правильных шестиугольных плиток. Подкинем для каждой из этих плиток монетку, и, если выпадет орел, объявим ее открытой, а иначе закрытой. С какой вероятностью от левого края прямоугольника до правого можно дойти путем, проходящим только по открытым плиткам? Этим и многими другими схожими вопросами занимается теория протекания. Ответ на вопрос о вероятности пробоя дается (на первый взгляд пугающей) формулой Карди, предсказанной им в 1991 г. из соображений конформной теории поля. Строго эта формула — в гораздо более приятно выглядящей переформулировке Л. Карлесона — была доказана лишь десять лет спустя С. К. Смирновым в его работах 2001-го года (одних из тех, за которые в 2010-м он получил премию Филдса). В нашем курсе мы, хоть и не в деталях, обсудим доказательство этой формулы — опирающееся на такую удивительную вещь, как дискретный комплексный анализ.
День числа Пи

Александр Буфетов

Традиция отмечать неофициальный день числа Пи зародилась в Соединенных Штатах почти 30 лет назад, когда известный американский физик Ларри Шоу обратил внимание на то, что 14 марта совпадает с первыми тремя цифрами знаменитой "архимедовой константы" — 3,14. На следующий год, с подачи Шоу, в этот день посетителей музея начали угощать пирогами (из-за сходного звучания слов "пирог" и "Пи" английском языке "pi" — "pie"), после чего к ежегодному отмечанию этой даты постепенно присоединились физики и математики со всего мира.

Далее >>>

∀ x, y, z

Рациональные приближения действительных чисел

Виктор Клепцын

Теги

Похожее