|
||
|
|
||
| Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Видео ≫ Математика как форма существования мира идей в нашем сознании // Леон Тахтаджян |
Математика как форма существования мира идей в нашем сознанииЛеон Тахтаджян
Мы публикуем стенограмму и видеозапись лекции, которую в рамках проекта Публичные лекции "Полит.ру" прочел Леон Арменович Тахтаджян, доктор физико-математических наук, профессор математического факультета университета Стони Брук штата Нью-Йорк, США, ведущий научный сотрудник Международного математического института им. Л. Эйлера в Санкт-Петербурге, председатель комитета Отделения математических наук РАН по реорганизации института им. Л. Эйлера. Текст лекцииКогда Наталия Демина попросила меня прочесть в научно-популярном жанре о чем-то таком, математическом, и о математике вообще, я согласился, хотя сразу понял, что эта задача невыполнима в принципе. И поэтому, чтобы как-то потянуть время, и вообще — подумать, я предложил такое название: “Математика как форма существования”. Это название весьма туманное и допускает множество различных интерпретаций. Это во-первых. А во-вторых — оно требует родительного падежа: форма существования кого или чего.
И поэтому я предлагаю более полное название, которые пришло мне в голову дня за два до лекции: “Математика как форма существования мира идей в нашем сознании”. Вот об этом мы и поговорим в неторопливом, разговорном стиле. Я надеюсь, это будет интересно, хотя я хочу заранее извиниться перед своими коллегами, которые здесь присутствуют, потому что вряд ли они услышат что-нибудь интересное, кроме какой-нибудь там философии на мелкой воде. Но это, может быть, и простительно. Остальным, я думаю, что-то будет интересно, потому что мы увидим, что некоторые вещи, которые нам кажутся очевидными, таковыми совсем не являются. Простые вещи могут оказаться сложными, а сложные — простыми. Теперь план. Это будут четыре коротеньких рассказика. Начнем мы с чисел, потом поговорим о движении, об изменении, затем мы обсудим формы и размеры, а затем — начало и конец. В таком несколько зашифрованном стиле мы и попробуем посмотреть на математику изнутри и снаружи, причем именно как на предмет. То, о чем математики мыслят и чем живут, — об этом мы с вами сможем поговорить потом. Начнем с чисел и самого простого — цитаты. Это цитата знаменитого математика, который занимался теорией чисел и комплексным анализом, эллиптическими функциями — Леопольд Кронекер. В переводе с немецкого это звучит примерно так: Господь Бог создал целые числа, а все остальное — дело рук человеческих. И давайте в этом разделе — числа — поймем, что Кронекер имел в виду. Почему он так сказал, а не иначе. Давайте подумаем. Вообще начнем с того, что мы все это знаем еще со школы, а именно: мы знаем, что есть такие целые числа, их можно складывать и умножать, они образуют кольцо, обозначаются такой красивой буковкой Z, от целых чисел мы переходим к дробям: называются рациональные числа — поле Q, а от него — поле вещественных чисел R. Тут, конечно, можно добавить, что все это проходят в [нашей] школе, а, например, в американской дробей не знают, так что переход от Z к Q для них — нетривиальная вещь. Но для нас это будет стандартно. Мы умеем 1 делить на 2, 2 — на 3, складывать, умножать и так далее. Вещественные числа чуть-чуть посложнее. Чем отличаются рациональные числа от вещественных? Если их изображать на прямой — это одно и то же. Но, оказывается, прямая с рациональными числами имеет много пробелов — дырок. И мы их заполняем. Получается прямая, заполненная полностью. Это и есть вещественные числа. Теперь что мы еще знаем? Мы знаем, что целые числа состоят из натуральных 1, 2, 3, … нуля и отрицательных. Что мы знаем о натуральных числах? Что такое число 1, 2, 3 или 0? Как нам это определить и доказать, что, например, 2+3=5, а не 6, и вообще — что это значит? И давайте вспомним, хотя это сложно, и я сам, честно говоря, не помню, как нас учили в школе, и, честно говоря, не знаю, как учат сейчас, но, видимо, учили как-то так: есть одно яблоко, две коровы, три банана, и это складывают. Все это понимают. Но что такое две коровы и два банана? Видимо, это одно и то же, потому что есть идея числа 2. А что это такое, и почему это число записывают цифрой 2? А если, например, писать латинскими цифрами, или как-нибудь клинописью — это будет другое? Что же это такое, и как нам определить натуральные числа? Не это ли имел в виду Кронекер? Давайте подумаем. Мы знаем, нас учили в школе, что математика — это определения и аксиомы. Из этого с помощью логических рассуждений мы выводим все остальное. Значит, нам необходимы определения и аксиомы. Давайте посмотрим, как мы можем определить. Если мы будет определять методом сравнения — коровы, яблоки, апельсины, груши, то это будет непонятно: в одном климате они есть, в другом их нет, и люди это узнать никак не могут. А еще хуже обстоит дело с числом 0. Понятно, есть 0 яблок, 0 коров. Но что такое просто 0, когда нет вообще ничего? Это представить себе очень сложно, нужно иметь такую фантазию, чтобы представить чистый ноль. Даже не знаю, возможно ли это. И поэтому математики делают так: до определения чисел вводится более общая структура, называемая множеством. А именно — есть такие понятия — множества. Это некая совокупность объектов. Как это точнее определить — не спрашивайте, так как ответ сложный. Но изо всех множеств есть замечательное множество, так называемое пустое множество. Оно даже обозначается красивым символом — перечеркнутым справа налево нулем — Ø. Так оно обозначается. Это множество, в котором совсем ничего нет. И это себе представить легче: нет так нет. Вот и существует такое понятие — пустое множество. То есть оно существует, но у него нет элементов: это просто ничто. И теперь мы начинаем делать следующие вещи. Мы берем это пустое множество, и заключаем его в красивые фигурные скобки {Ø}, и получаем другое множество, в котором уже есть элемент. И именно это число элементов называем цифрой 1. Это и есть определение числа 1. Далее — продолжаем. Берем только что сделанное множество и пустое множество, объединяем их в следующий объект. Получаем множество из двух элементов. И, по определению, число 2 — это количество элементов у этого множества. Это определение не зависит ни от яблок, ни от коров, и поэтому это такая замечательная вещь.
Таким образом мы ввели понятие чисел, понятие множества. Есть такое понятие — мощность — число элементов, в данном случае. Все пока хорошо и красиво. Смотрим дальше. Мы определили натуральные числа, а дальше нам нужно ввести некие аксиомы, которые позволяют нам их складывать. Такие аксиомы вывести можно, но скучно. Они, кстати, называются именем Пеано — итальянского математика. И они задают натуральные числа. Аксиомы Пеано задают множество всех натуральных чисел, или N. Мы можем равенство 2+3=5 в этой системе аксиом доказывать. И, вроде бы, получается все замечательно: мы добились всего того, чего хотели. Но есть два вопроса, на которые хорошо было бы ответить. Первый вопрос: хватает ли нам аксиом? Если аксиом слишком мало, то мы очень мало всего можем вывести. Если их слишком много, то какие-то из них лишние, и они выводятся из других: надо их выкинуть. Но есть более сложный вопрос: то, что мы делаем, это противоречиво, или нет? Может ли такое быть, что мы при помощи одних рассуждений доказали, что 2+3=5, а при помощи других рассуждений на тысяче страниц доказали, что 2+3=6. Как же это исключить, ведь если это так, то просто ничего не имело бы смысла. И, видимо, это не так. Однако как это доказать? Но оказывается, что есть вторая теорема Геделя, о которой рассказывал А.Б. Сосинский, которая именно это и утверждает: непротиворечивость арифметики невозможно доказать средствами самой арифметики. И поэтому на вопрос “можно ли доказать, что 2+3=6?” ответа нет. Можно доказать, выходя за рамки арифметики, в другой теории. Чтобы доказать непротиворечивость той теории, нужно выйти за рамки следующей, и так далее. Довольно неприятно. Второе. Давайте поговорим о числе элементов. Сколько элементов во множестве натуральных чисел? Бесконечно. А теперь: сколько элементов во множестве вещественных чисел? Тоже бесконечно. Это одно и то же, или нет? Конечно, нет. И для этого Георг Кантор, основатель теории множеств и уроженец Санкт-Петербурга, придумал такие красивые символы для обозначения числа элементов мощности. Первая буква еврейского алфавита — Алеф. Алеф0 — это мощность натуральных чисел, а потом мы число 2 возводим в степень Алеф0 — и получаем мощность множество вещественных чисел. Как понять то, что эти множества имеют разную мощность? Это значит, что мы их считаем. Натуральные числа мы можем пересчитать: так люди считают на пальцах или деньги, некоторые умеют делать это хорошо, некоторые — не очень, но все равно все считают: 1, 2, 3… И вот множество натуральных чисел можно пересчитать. Множество четных чисел тоже можно пересчитать. Их оказывается сколько? Столько же, сколько натуральных. Это банально, это все мы знаем. Но вот оказывается, что вещественные числа пересчитать нельзя. Невозможно каждому вещественному числу приклеить ярлык с цифрами 1, 2, 3, так, чтобы у разных чисел были разные ярлыки, и чтобы все числа получили бы по ярлыку. Это не получается. Это значит, что вещественные числа несчетны. И, оказывается, их мощность, их — столько же, сколько подмножеств в множестве натуральных чисел. Поэтому 2 в степени Алеф0- это мощность множества всех подмножеств натуральных чисел. Мы можем ввести другое понятие — кардинальные числа. Их ввел Георг Кантор. И вопрос состоит вот в чем. Между этими двумя множествами — натуральных чисел и множеством вещественных чисел — есть ли промежуточное множество, которое больше первого, но меньше второго? Это так называемая континуум-гипотеза. Георг Кантор пытался ее доказывать, и это кончилось не очень хорошо для его психического состояния. Этим занимались другие люди, и только в 1963 году, если я не ошибаюсь, американский математик Пол Коэн доказал, что континуум-гипотеза не выводима в системе аксиом Цермело-Френкеля. Если изменить аксиомы одним образом, она будет верна, если другим — она будет неверна. Тем самым тоже это невыводимо. То есть становится все очень сложно и запутанно. И Кронекер, если бы он дожил до этих дней, он все бы это отрицал. Что это показывает для нас? А то, что идеи, которые существуют в мире идей, когда мы пытаемся их изобразить в нашем сознании, они как-то немножко преломляются, и возникают такие парадоксы. Поэтому это лучше оставить в стороне. И это не то, с чего мы начинали: мы начинали с очень красивой вещи — со множества натуральных чисел. А кончили чем-то таким странным. И что делать? Ответ самый простой: давайте попробуем сложить все натуральные числа. А именно — вот так. Давайте сложим 1+2+3+4, и так далее. Что мы получим — интересный вопрос, правда же? Если мы их будем складывать, то их количество будет все расти и расти. Не должно быть ничего интересного. Но если подумать действительно хорошо, а это многие знают — этому учат в 57-й школе, и уж точно в Вышке должны знать, то ответ получается такой. Первым это открыл Леонард Эйлер: если мы все это сложим и аккуратненько посчитаем, то получится число –1/12. Это сумма всех чисел натурального ряда. Получается такая замечательная формула, и теперь мы ее будет обсуждать. Давайте дальше посмотрим. Это вот так мы складываем числа, когда каждое следующее больше предыдущего на единицу. А давайте теперь спросим совсем по-глупому: что будет, если мы будем складывать единицы? Получим –½. И что же это значит? А с другой стороны, все это знают, и этому учат в физматшколах, то если мы сложим убывающие числа, так называемый гармонический ряд, то точно получим бесконечность. И вопрос: почему мы в первом случае получаем такой интересный ответ, а в третьем — такой неинтересный? Это все знал Леонард Эйлер. И интересно, что у этих формул есть такие замечательная интерпретация в стиле Кронекера. И я вам о ней расскажу. Мне о ней рассказал мой очень хороший коллега, из очень хорошего американского университета, только я не буду говорить, откуда и что, потому что вы вычислите. Эту формулу он считал в спецкурсе по своей тематике и очень ее любил. Интерпретация такова. Кстати, сейчас, я боюсь, он не может эту интерпретацию читать на лекциях в американском университете из-за политкорректности. И эту интерпретацию нужно воспринимать с долей иронии. Что значит –1/12? У этой дроби есть числитель и знаменатель, а складывать натуральные числа — дело божественное. В числителе стоит Иисус Христос, а в знаменателе 12 апостолов, как в поэме Блока «Двенадцать», а знак минус означает, что один из них предал Учителя. Это первая интерпретация. Вдохновляясь этим, я могу предложить вам интерпретацию второй формулы. Она имеет такой же смысл. Складываем единицы, это такое, более фундаментальное, ветхозаветное. В числителе единица символизирует Бога-Отца, двойка символизирует Адама и Еву, а знак минус символизирует Змея-искусителя. Такие вот интерпретации.
Что же все это значит? Давайте посмотрим, что написал гениальный индийский математик Рамануджан в письме к своему другу и товарищу английскому математику Харди. Вот его письмо. Цитата длинная, из нее мы видим, что Рамануджан тоже открыл эту формулу. И написал своему другу. Это было сто лет назад. Он эту формулу сообщил профессору математики в Лондоне. И тот ему посоветовал хорошо проштудировать учебник матанализа, и сказал, что если Рамануджан будет и дальше такие формулы доказывать, то ему прямая дорога в психиатрическую лечебнику. Вот то, что было сказано Рамануджану. А теперь — как же все это объяснить? Это несложно. С помощью дзета-функции Римана. Это такой фундаментальный объект в математике. Функция Римана была введена математиком Леонардом Эйлером, правда для вещественных значений, это 1/1s + 1/2s + 1/3s +… Такие вещи надо говорить довольно быстро, они достаточно технические. Функция определяется таким вот рядом, который действительно сходится при вещественных значениях s>1, он расходится при s=1, и тут ничего не поделаешь, и, самое главное, аналитически продолжается на все значения s<1, и даже на все значения s, где вещественная часть меньше 1. Что это такое я объяснять не буду. Имеется замечательная связь между значениями дзета-функции при параметре s и 1–s, открытая Эйлером. Это называется функциональное уравнение. Оно связывает как правое с левым. Это замечательная, очень красивая формула. Она используется во многих областях математики, обобщается, очень далеко идет, но об этом мы говорить не будем. Мы просто скажем, что наши ряды, которые расходились, они в точности дают значения дзета-функции при s = –1 и s = 0. Используя функциональное уравнение, формулу, которую мы видели, очень легко получить ответ. Эйлер так и делал. Это вот такое объяснение того, что с нами происходит. До сих пор мы занимались сложением. Теперь займемся умножением. Что с умножением можно сделать? Тоже можно сделать много интересного. Мы знаем, что числа можно разложить на множители, что, в отличие от сложения, где есть единица, можно все получить, складывая единицу много раз, получить все натуральные числа, умножай единицу много раз — ничего не получишь. Но есть такие кирпичики — так называемые простые числа, из которых можно все получить, и все числа раскладываются на простые множители, это доказал еще Евклид, это все проходят в школе, и простых чисел бесконечно много, это Евклид тоже доказал. Его рассуждение и доказательство до сих пор служат таким образцом ясности человеческой мысли и красоты — доказательство в одну строчку. Если вы его знаете — замечательно. Если нет — я советую вам его прочесть, вы получите огромное удовольствие от этого доказательства. Поэтому здесь я его приводить не буду. А теперь о том, как пересчитать простые числа. Мы знаем, что их бесконечно много, но насколько их много? Их может быть много, как четных чисел, может быть много, как квадратов, или что-то среднее. И оказывается, что это очень сложная задача. Ей начал заниматься еще Эратосфен в древности, потом знаменитый петербургский математик Чебышев и немецкий математик Риман. И до сих пор продолжают заниматься. Формула есть, но тут очень много возникает интересных вещей, гипотеза Римана, распределение простых чисел, все очень сложно и показывает, насколько вещи могут быть и простыми, и сложными одновременно. Если мы задаем один вопрос, то мы получаем ответ в одну строчку, чуть-чуть мы изменяем формулировку, пытаемся ответить на вопрос с количественной точки зрения — и сразу наткнемся на непреодолимые сложности. Есть еще более интересный пример, тоже восходящий к Евклиду. Давайте будем просто смотреть на простые числа. И мы обнаружим, что иногда простые числа ходят парами: 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19. Они называются так: простые числа-близнецы. Если мы будем смотреть, таких чисел очень много. Можно проводить дни, анализируя таблицу простых чисел, пытаясь понять, сколько их. Есть гипотеза, что пар простых чисел бесконечно много. Это подозревал еще Евклид. Но доказать это не представляется возможным — очень сложная задача. Единственный результат, доказанный в этом году совершенно неизвестным китайским математиком, который работает в Америке, Итай Жанг, который использует очень сложный аппарат аналитической теории чисел, теорему Бомбьери-Виноградова, и очень сложные другие методы. Он доказал, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые стоят друг от друга не более, чем на 70 миллионов. А мы хотим доказать, что существует бесконечное множество пар простых чисел, которые стоят друг от друга не более, чем на 2. Точнее — ровно на 2. Вот вам пример еще одной задачи, что можно сделать с числами. Теперь давайте посмотрим большие числа. Я помню когда-то очень давно, тогда еще в Ленинградском институте Стеклова, Дмитрий Константинович Фаддеев как-то рассказывал, что вообще очень сложно представить себе большие числа: "Я могу представить себе число 1020, а если число больше, то оно очень давит". И он показывал, как ему большие числа давят на спину: он так сгибался, мол, “я ощущаю тяжесть больших чисел”. Давайте посмотрим, что же это значит, и как такое может быть. Возьмем пример из физики для разнообразия. Есть фундаментальные константы. В квантовой электродинамике их 3 штуки: заряд электрона, скорость света в вакууме и постоянная Планка. И это определяет теорию слабых взаимодействий. Теперь Стандартная модель, про которую здесь рассказывал в лекции Алексей Семихатов, уже 18 констант. И они уже не имеют такого фундаментального смысла, если эти константы подобрать, то можно описывать сильные взаимодействия. А в теории суперструн этих констант 10500. И мои знакомые физики мне объясняли, что число 10500 — число действительно очень большое. И оно очень большое не потому, что у него 500 нулей, оно очень большое потому, что это больше чем число атомов во Вселенной. Как они это посчитали — я не знаю, но утверждается именно так. Поэтому это действительно очень большое число. И тем самым в теории суперструн можно задать столько констант. А если говорить более точно — столько есть решений в уравнении для вакуума. Поэтому есть выбор между таким количеством теорий. В старые времена люди бы сказали: "Если у вас так получилось, то нужно заняться чем-то другим". Но теперь люди объясняют так: "Это отлично, давайте будем рассматривать, что есть столько различных вселенных, что вселенная не одна (по-английски это будет Universe), а их будет бесконечно много. Получается не Universe, a multiverse. И мы рассматриваем ландшафт, когда переходим от одной вселенной к другой. И люди этим занимаются. Давайте посмотрим, что же такое — Вселенная? Нам пригодится вот такое определение Вселенной, которое приведено внизу: “Наша Вселенная находится в чайнике некоего Люй Дунбиня, продающего всякую мелочь на базаре в Чаньани. Но вот что интересно: Чаньани уже несколько столетий как нет, Люй Дунбинь уже давно не сидит на тамошнем базаре, и его чайник давным-давно переплавлен, или сплющился в лепешку под землей…”. Вот это определение мы будем использовать дальше. И к этому мы еще придем. Чем оно отличается от других, мы посмотрим. Теперь давайте обсудим, что такое движение. Давайте обсудим перемены. Вообще хорошо бы дать определение движения. Вот оно: “Движение является способом существования материи”. Определение хорошее. Только немножко непонятное. И, в общем-то, циркулярное, потому что оно ничего не определяет, а просто красиво группирует слова в предложение. Давайте посмотрим на свойства движения. В чем состоят свойства движения? Свойство движения состоит в следующем: “Все куда-то торопятся, не понимая, что они уже там”. А теперь давайте посмотрим на движение как на изменения, как на перемены — и тогда мы дадим математическое определение движения. Как все помнят из матанализа, были такие понятия: переменная величина, зависимая и независимая. Была независимая переменная величина, которая изменялась независимым образом, а была зависимая величина, которая зависела от той, поэтому есть слова “движение”, “перемены”, “изменения”. Можно назвать это реформами, если хотите. Одна величина независимо реформируется, а зависимая величина реформируется через нее. Но следующее определение будет лучше. Это определение функции. Как пишут в школе: функция — y = f(x) — это всего лишь навсего отображение двух множеств. И при помощи этого простого понятия, которое выглядит очень простым, можно описать все. И, в качестве примера, может быть, не самого удачного, я выбрал тоже школьный материал. Я выбрал классическую механику. Как же нам описывать движение? Мы это быстренько пролистаем. Давайте начнем с того, как движение понимал Ньютон. Ньютон понимал движение через дифференциальные уравнения. Вот здесь написан закон Ньютона: F = ma. Вот давайте напишем закон всемирного тяготения. Почему я все это привел? Потому что всему этому учат в школе. Но в школе не учат одной вещи, над которой Ньютон думал двадцать лет, прежде чем опубликовал свой труд. В чем эта вещь состоит? Этот закон, который здесь написан, закон всемирного тяготения, он применим, когда материальные тела предполагаются точками. Они не имеют размеров. Тогда этот закон описывает все блестяще. Но если у нас есть действительно большие тела, например — планеты, как мы можем это делать? Например, у нас есть точка и шар. Давайте рассмотрим такую задачу. Основной факт теории тяготения состоит в том, что сила притяжения шара и точки получается заменой шара на его центр с массой, равной массе всего шара. Как это доказать? Несложно. Нужно взять такой тройной интеграл. В Вышке, боюсь, этому не учат, это сложно, это хорошее упражнение. Сейчас это делается в любом курсе векторного анализа. Но Ньютон на это потратил 20 лет. Поэтому свои начала натуральной философии он опубликовал не в 1666 году, а на 20 лет позже, потому что он хотел этот факт доказать, вывести. Этот факт действительно фундаментальный, с помощью этого факта можно решить все, что угодно. Практически Ньютон решил все, что можно. Ну, там его еще Эйнштейн подправил, но, в общем-то, Ньютон это решил. Давайте посмотрим, что можно решить. Давайте рассмотрим самые простые случаи. Когда ясна задача двух тел: Земля и Луна. Эта задача замечательна тем, что она решается точно, можно написать формулу, полная интегрированность. А давайте рассмотрим три тела: Земля, Луна и Солнце, задача трех тел. И, по сравнению с предыдущей задачей, эта задача совершенно другого уровня сложности. Ее можно так же просто записать дифференциальным уравнением, кто это знает. Этой задачей занимались величайшие математики: Пуанкаре, Зигель, Арнольд. Точного решения нет и быть не может. Есть только пять известных простейших решений, когда все планеты находятся на одной прямой. И это все, что известно. А как выглядит движение, например, трех тел с равными массами и переменными начальными скоростями? а выглядит примерно так. Это красиво, но непонятно. Теперь давайте поговорим немножко о формах и размерах. Форма — эта такая резиновая геометрия, научно называется топология. Когда мы можем изучать объекты в пространстве, не заботясь об их размерах. И давайте рассмотрим замкнутые формы и попробуем их классифицировать. Нульмерные формы — есть только одна — точка. Это ясно. Одномерные — это окружность. Легко. Двумерные — чуть посложнее, но очень красиво, есть сфера, есть так называемая бутылка Клейна — это поверхность неориентируемая, она засунута сама в себя. Есть бублик и крендели разного типа. Очень несложно и очень красиво. Теперь давайте рассмотрим трехмерные формы. Их, оказывается, 8 форм. Не четыре, как двумерных, а восемь. И они все описаны американским математиком Вильямом Терстоном — замечательным геометром. И уже эта классификация чрезвычайно сложна, и была недавно доказана Перельманом. А четырехмерные формы — непостижимы. Есть много результатов, но нет даже гипотезы, как есть гипотеза геометризации в числе измерений равным трем. Уже это сложно, там участвует геометрия Лобачевского, другие формы — торическая, круглая геометрия, геометрия круглой сферы и так далее. Теперь давайте перейдем к размерам. Что такое размер? Это то — когда мы мерим длины. Как мы делаем? Мы можем мерить длину, объем, площадь, и мы можем это делать либо линейкой большой, либо очень маленькой линеечкой, либо линейкой, которая меняется от точки к точке. Это называется риманова метрика. Ее придумал, как сказал бы Арнольд, Пифагор. Ну, а Риман написал вот такую красивую формулу, я даже не буду пояснять, в ней участвует вот такая буква — тоже красивая — gij, называется метрический тензор. Эту форму пишут везде именно по причине ее необычайной красоты. Как-то она всех завораживает своим очень элегантным видом. И этот метрический тензор, который меняется от точки к точке, точнее, может меняться, он задает все размеры. С его помощью мы можем измерять расстояния, площади, объемы и прочие вещи. Еще Риман, уже не Пифагор, точно не Пифагор, а точнее — Гаусс ввел понятие кривизны, когда поверхность бывает плоская как стол, бывает искривлена, как сфера, а бывает наоборот. И это описывается так называемым тензором кривизны Римана. Таким объектом с четырьмя индексами, тоже его очень любят писать. И есть такой тензор Риччи, тоже объект с двумя индексами. Эти понятия — это некоторые количественные характеристики, которые позволяют нам описывать свойство искривленности данной геометрической формы. Они все выражаются через Риманову метрику, через вот этот метрический тензор gij. Есть такие очень красивые формулы. Всему этому также учат в курсе дифференциальной геометрии. Объект, который занимается размерами, называется дифференциальная геометрия. Тензор Риччи хорош тем, что он участвует в уравнениях Эйнштейна. Например, уравнения Эйнштейна для вакуума описывают всевозможные типы метрик. Можно сказать, всевозможные типы вселенной. Тензор Риччи, заданный метрикой, пропорционален метрическому тензору. Коэффициент пропорциональности и есть так называемая космологическая постоянная. Она маленькая или 0 — это неизвестно. И это — вопрос. Теперь о том, как формы и размеры связаны. Если посмотреть на это, то на первый взгляд кажется, что это совершенно разные вещи. Именно поэтому это и науки разные — топология и риманова геометрия. А оказывается, и это был такой замечательный пример единства математики, он говорит, например, что для изучения форм нам нужно использовать размеры. Давайте немножко об этом поговорим. А именно — вернемся к классификации трехмерных форм. Это чисто топологическая задача — гипотеза Пуанкаре. Для решения этой задачи Ричард Гамильтон из Колумбийского университета придумал такой поток Риччи, который до этого еще использовали физики. В частности — Александр Поляков использовал его, потом американский физик Дан Фридан , и это некое уравнение, которое встречается в квантовой теории поля, оно говорит следующее. Я попробую сказать его словами. Оно говорит, что мы рассматриваем метрики, метрические тензоры, которые зависят от времени. И зависимость от времени такова, что частная производная по времени, то, что стоит в левой части — изменение этого тензора, пропорционально с коэффициентом –2 (но это условно, коэффициент) тензору Риччи в той же метрике. Причем вначале метрика задана. И это такое очень интересное уравнение, которое называется нелинейным уравнением параболического типа. И эти уравнения тоже изучали ленинградские, петербургские математики. Ольга Александровна Ладыженская и Нина Николаевна Уральцева. Я, пользуясь случаем, их фамилии здесь упоминаю. И, кстати, Перельман и Гамильтон используют их результаты. И что же мы делаем? Получается следующая очень интересная вещь. Это то, что называется “запускается поток Риччи”. На заданной трехмерной форме задается произвольная метрика, и запускается это уравнение, запускается поток. Это уравнение имеет решение, Поток идет до какой-то точки, до какого-то момента времени, когда он наталкивается на сингулярность и останавливается. И на этом, казалось бы, теория кончается. Это то место, где остановился Гамильтон. Перельман научился запускать очень хитрым образом, перезапускать этот поток так, что он идет дальше до следующей сингулярности, и за конечное или бесконечное число шагов он приходит к предельной форме, одной из тех восьми, которые классифицировал Терстон. И здесь мы видим, что для решения чисто типологической задачи надо привлекать методы совсем из другой области, из области нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. И когда такой подход был предложен впервые Гамильтоном, топологи были очень возмущены: “Нельзя. Нужно соблюдать пуризм. Топологические задачи должны решаться только топологическими методами”. Но, как мы убеждаемся, и это блестящий пример — доказательство гипотезы Пуанкаре и геометризация Терстона решаются с помощью очень тяжелых аналитических методов. У нас сейчас в Институте Эйлера происходит программа, которая называется “Когомологии в математике и физике”, в рамках которой делал доклад Джон Морган — один из авторов книги про доказательство гипотезы Пуанкаре. Я вам очень рекомендую его доклад посмотреть. Он висит на сайте. Морган там все очень хорошо и подробно рассказывает. Для нас это просто иллюстрация. Мы поговорили про формы и размеры. И давайте в оставшееся время обсудим про начало и конец. Быстренько — потому что здесь я выбрал такие темы, к которым я имею некое отношение, и на их примере хотел бы проиллюстрировать то, насколько в простых вещах содержатся сложные.
Идея такая. Давайте начнем с самой простой вещи — с начала. Давайте начнем с колеса. Я даже здесь картинку нашел, которое это колесо изображает. Колесо круглое. Но здесь, правда, оно не совсем круглое, оно имеет спицы, ось, имеет обод. Рассмотрим идеальное колесо, то есть окружность. И есть для него такой очень хороший математический символ — S1. Окружность замечательна тем, что она абсолютно круглая. И что это значит? Это значит, что ее можно катить саму по себе. Ее можно вращать — на этом основана вся наша цивилизация, начиная с античных времен, и до наших дней. Колесо вращается, и есть группа вращения колеса. И это то же самое, что и само колесо. Почему? Потому что точки на колесе задаются углами. Мы можем его повернуть на любой угол. Повернем два раза — сложим углы. Получаются группы. То, что называется математикой группы. И эта группа в частности обозначается то же самое, как группа — SO(2), и это группа U(1), или S1. Это все одно и то же, просто смотреть на это можно как на красивые буквы. Казалось бы, колесо вращается само по себе. Но оказывается, с ним можно делать еще более интересные вещи. А именно — можно рассматривать такие преобразования колеса, где мы все точки поворачиваем на разные углы. Берем точку на колесе, повернули еще чуть-чуть, Другую точку — на другой угол, с одним условием — точки не могут друг на друга наезжать и колесо не должно сплющиться. Если точки были достаточно близки, то при этом преобразовании они тоже останутся близкими. То есть мы рассматриваем то, что называется группой всех диффеоморфизмов окружностей, если точки очень близко друг к другу, а если они не очень близко, но, тем не менее, находятся под контролем, то мы это называем группой квазисимметрических гомеоморфизмов окружностей. И одна группа обозначается буквой Diff от слова диффеоморфизм — это такие преобразования окружностей в себя, которые точки не склеивают, и близкие переводят в близкие, а совсем близкие — в совсем близкие, а совсем-совсем близкие в совсем-совсем близкие. А гомеоморфизм — просто близкие в близкие и с неким условием контроля над ними. И мы получаем такие группы, которые содержат группу вращений — самые простые преобразования, в качестве того, что называется подгруппой. Теперь мы можем рассмотреть следующие однородные пространства. Берем, как бы факторизуем группу по подгруппе. Иногда мы получаем группу, иногда — нет, но в любом случае получаем то, что называется в математике однородным пространством. И оказывается эти пространства, которые произошли от колеса, это все мы изучаем структуру колеса. Они обладают целым рядом замечательных свойств. Во-первых, это бесконечномерные, это многообразие с бесконечным числом измерений, они комплексные, то есть там есть комплексная структура. Есть такие комплексные числа, которые тоже проходят в школе, вообще должны проходить, я не знаю, что сейчас проходят в школе. И они над полем комплексных чисел. Такие замечательные бесконечномерные многообразия. И они содержат в себе целый мир. А именно, например, это многообразие. Когда мы берем группу квазисимметрических гомеоморфизмов окружности и факторизуем по S1, то оно содержит в себе все многообразие всех замкнутых двумерных форм. Говоря более формальным языком, оно содержит все пространства модулей римановых поверхностей. Все так называемые пространства Тейхмюллера, где содержатся все возможные деформации двумерных поверхностей. Компактных, некомпактных — все на свете. Причем содержатся в бесконечном количестве раз. Это пространство имеет связь с вакуумами теории струн и так далее. Вот так из колеса мы получаем объекты высшей размерности. Следующий пример тоже будет несложный. Это будет струнная математика. Давайте займемся на минуту струнной математикой. Что это значит? Струнная математика — это картинка справа. Слева — это обычная картинка, когда летят электрон и позитрон, сталкиваются, аннигилируют — и получается фотон. А справа — то же самое, но уже летают не частицы, а колечки. Когда колечки сталкиваются, получается такая фигура, которую называют панталоны. И струнная математика занимается тем, что изучает такие картинки. Оказывается, что изучение таких картинок приводит к необычайным успехам во всех науках. Я хочу просто перечислить. Начнем с подхода Александра Полякова, замечательного физика из института Ландау, который сейчас работает в Принстонском университете. Это интегралы по случайным метрикам, это связь с классическими работами Клейна и Пуанкаре, алгебраическая геометрия пространств модулей и так далее. Дальше. Есть еще так называемые критические струны, не будем об этом говорить — это уже геометрия Калаби-Яу, К3-поверхности. Потом есть струны в размерности меньше единицы и матричные модели. Это связано с теорией интегрируемых систем, вроде уравнения Кортевега — де Фриза, которые описывают волны на мелкой воде. О них рассказывал В.Е. Захаров. Есть еще квантовые интегрированные системы, инварианты узлов, теория Черна-Саймонса — все это связано со струнной математикой. Тем самым хоть струнная физика дает нам 10500 возможных миров, для математики 10500 — это очень много задач и примеров, которыми люди и занимаются. И, наконец, давайте рассмотрим корреляционные функции. Что это такое, я даже не буду пытаться определять. Только скажу, что это такие функции, которые содержат всю информацию обо всем. В смысле, что есть у вас физическая теория, некая квантовая теория, в которой есть поля — я обозначил их буквами Х, Ψ. Мы вычисляем средние неких операторов, задаваемые неким континуальным интегралом. Основная цель математики — это изучение корреляционных функций, в явном или в неявном виде, например, знаменитые инварианты Дональдсона четырехмерных многообразий. Эти корреляционные функции — в некой топологической квантовой теории поля, а что делает настоящая квантовая теория поля? Ее корреляционные функции описывают мир, который мы видим или который дан нам в ощущениях, как говорили классики, а другие говорили: который как бы дан нам в ощущениях, то есть мы не знаем, как на самом деле, но они точно описывают. И вот эти корреляционные функции, если мы верим в существование фундаментальной квантовой теории поля, в них записана, закодирована вся возможная информация — как математическая, так и физическая, в частности, наша с вами беседа — это должно быть закодировано. Вопрос — где это закодировано, можно сказать так, что это, может, закодировано, записано, на горизонте событий черной дыры, а может быть на крышке чайника Люй Дуньбиня. Обсуждение лекцииБорис Долгин Спасибо большое. Да, математика действительно вечная. Я не в полной мере уверен, что присутствующие поняли смысл доказательства, уже не теологического или квазитеологического, а математического- почему сумма единиц, например, равна минус одной второй, может быть, дообьяснение нужно, математическое.
Леон Тахтаджян: Правильно, математически доказать — это просто регуляризация, конечно, ряд равен бесконечности, но мы используем регуляризацию при помощи дзета-функции Римана, как было написано, сумма единиц — это значение дзета-функции Римана в точке 0. Если посчитать, то получится –1/2 в точности. Значение суммы натуральных чисел — это дзета от –1, и она связана с дзета от 2, а дзета от 2 это π2/6 , и по функциональному уравнению получается –1/12 Борис Долгин: То есть в правой части этого равенства мы видим не число в том смысле, в которой мы бы этого ожидали. Леон Тахтаджян: В этом вся фишка. Вопрос из зала: Должно ли содержать общество математиков, чистых математиков, не преподавателей, и сколько их должно быть, учитывая, что Эйнштейн работал в патентном бюро? Леон Тахтаджян: Это очень хороший вопрос. Ответ на него такой: Леон Тахтаджян: Я имел в виду мир идей по Платону. Но тут могут быть разные точки зрения, многие математики — сторонники платоновского взгляда на мир, а многие — нет. Виктор Красовский: Я издал книжечку, маленькую, пародии на математику, грубо говоря. Я сам писатель, имею мехматовское образование. В книге этой исследуются проблемы, которые приводят к тому, что необходимо понять — хотя бы с помощью математики, — что такое сознание. Физика — это следствие моделей математики. Попытка в течение 10 лет выработать какой-то аппарат описания сознания, я пытался это сделать, обращался к аппарату математики и так далее. Получилась, так сказать, пародия, потому что точного решения этому нет, естественно, и все заканчивается на религии. Я пришел к тому, что существует понятие "материнство Духа", то есть Дух из Троицы является той самой занозой, которая дает нам возможность существовать. Борис Долгин: Вопрос в чем? Простите… Виктор Красовский, продолжение вопроса из зала: Вопрос в том, чтобы получить ответ на этот вопрос. Я указал свой адрес, и просьба написать вкратце, в какую лечебницу мне обращаться, или еще что-нибудь. Борис Долгин: У нас еще обязательно будут психологи-практики, в какой-то момент мы обязательно вопрос о лечебнице зададим, спасибо. Не знаю, насколько наш сегодняшний лектор готов консультировать в этой области. Леон Тахтаджян: Боюсь, что пока не готов. Наташа, вопрос из зала: У меня есть такая мысль, что математики делают то, что не нужно, хорошо, а инженеры делают то, что нужно, но плохо. Я имею в виду, что если за всем что-то видеть, смотря на единицу, думать об аксиомах, на этом можно остановиться, как вы считаете? В высокой науке в какой момент надо останавливаться и начинать какие-то реальные задачи решать? Борис Долгин: Простите, правильно ли я понял ваш вопрос, что познание мира — это не реальная задача, это общемифическая задача, а реальная — это только понять, как закрутить винтик в гайку? Наташа, продолжение вопроса из зала: Винтики тоже нужно закручивать. Борис Долгин: Нужно. Но я спрашиваю: только эта ли реальная задача? Наташа, продолжение вопроса из зала: Вопрос, когда мы подходим к задаче закручивания винтика, в какой момент надо остановиться и не забыть про винтик? Борис Долгин: Никто же и не забывает. Факультет-то называется матмех, не просто мат, но еще и мех, то есть никто о винтиках не забывает, наверное. Леон Тахтаджян: Есть другая поговорка: математик — это тот,кто любую вещь делает лучше, даже закручивает гайки, так что.. Владимир, вопрос из зала: Несколько раз было в науке, что совершенно абстрактные математические модели находили применение в физике, можно вспомнить геометрию Лобачевского, операторную теорию и так далее. Если говорить вообще, то как вы считаете, любимая математическая модель, которая строго доказала свое право на существование, она должна иметь отражение в реальном мире, или же это совершенно потусторонняя вещь, и никаких выходов на физику не будет? Борис Долгин: Вы спрашиваете об отражении или о применении? Владимир, продолжение вопроса из зала: О том, у всех ли моделей должна существовать какая-то реальная подоплека , хотя бы исходя из того, что мозг, который это все придумывает, он-то объект материального мира? Борис Долгин: Значит, подоплека уже есть, если мозг — объект… впрочем, не хочу отнимать хлеб у нашего лектора. Леон Тахтаджян: Это зависит от того, что понимать под реальным миром, правда же? На самом деле, если серьезно, то возможно, что все математические теории и модели когда-то люди будут применять. Пример такой из теории антикоммутирующих чисел, теории Грассмана, был такой немецкий математик Грассман, который ввел так называемые исчисления Грассмана, а сейчас это называется фермионы. Суперматематика, антикоммутирующие переменные, это стало одним из главных направлений в математике, применяется в геометрии, физике, а в ХIX веке Грассмана даже травили, и он влачил довольно жалкое существование. Вот такой пример. Сказать точно невозможно. Если бы у вас был хрустальный такой шар, в который можно было бы заглянуть, но у нас его нет. Игорь, вопрос из зала: Мне кажется, в основе лежит ощущение понимания… Борис Долгин: В основе чего? Простите. Игорь, продолжение вопроса из зала: В основе происходящего — например, в основе математики или любой попытки сформулировать что угодно, математика — это процесс перевода непонятно чего в информацию, создание формы. Этот процесс работает, если мы ощущаем понимание; нет понимания — язык бессмыслен становится. Вы согласны? Леон Тахтаджян: Я согласен с тем, что если нет понимания, то язык бессмыслен. Борис Долгин: Но понимание — штука субъективная; если некий математический труд не понятен персонально некоторым, человеку, который не обладает достаточным образованием, от этого он не становится бессмысленным? если существуют другие люди, которые его понимают. Игорь, продолжение вопроса из зала: Вопрос-таки, что такое понимание? Леон Тахтаджян: Могу привести пример, про Дмитрия Константиновича Фаддеева, просто я у него учился, когда был на матмехе. Он нам читал лекции, замечательный алгебраист. Вот он где-то во время войны придумал такое понятие когомологии групп, специальное понятие. Когда я его спросили: "Сколько людей, как ты думаешь, это поймут в мире", — он сказал: "Не знаю, человек 5, может быть". А сейчас это одно из фундаментальных понятий в математике, когомологии групп. Наталия Демина: У меня 2 вопроса. Леон Тахтаджян: По Перельману очень просто: я его знаю, так, но я его очень давно не видел, поэтому ничего сказать не могу. Борис Долгин: Может быть вопрос задан в более общей форме. Вы знаете довольно много математиков, бывает ли с ними так, когда математика для них перестает быть формой существования? Леон Тахтаджян: Бывает, а потом снова становится формой существования. Борис Долгин: Что касается Института Эйлера, может быть, вы расскажете о замысле, а потом ответите почему? Леон Тахтаджян: Хорошо, да, на самом деле я даже могу рассказать кратенько об истории Института Эйлера, как это все начиналось. Это все начиналось еще очень давно, еще в то незапамятное время, где-то середина 1985 года и тогда уже, в то время, тогдашнее правительство и коммунистическая партия уделяли огромное внимание развитию математики. Было знаменитое постановление ЦК КПСС о развитии математики в Советском Союзе, как потом выяснилось, я знаю людей, которые его готовили. Предполагалось, на самом деле, очень много хороших вещей, одна из них это было создание международного математического института, с целью, чтобы туда приезжали зарубежные ученые, из Америки, из Западной Европы, из Японии, потому что, как все мы прекрасно помним (а кто-то и не помнит), что в советское время очень сложно было поехать на конференцию, и вообще даже встретиться со своими коллегами. И вот такая идея как бы реализовалась, этот институт решили делать в Ленинграде, Людвиг Фаддеев был его директором, и все было замечательно. Где-то к 90-му году он начал функционировать, но, к сожалению, ситуация резко изменилась в обратную сторону, пару лет были конференции, а потом он перестал существовать, и, более того, в середине 90-х годов мафиозные структуры пытались этот институт как собственность забрать себе. Тогда Петербуржское отделение Института Стеклова, Фаддеев, Стекловка в Москве приложили массу усилий, чтобы институт спасти и отбить. Это удалось, институт остался в Академии наук, это была тяжелая борьба, потому что те люди имели некую поддержку. Его потом присоединили к петербуржскому Институту Стеклова, и там летом довольно активная жизнь идет, устраивают конференции. Но, в общем-то, идея была не про это, возрождение Института Эйлера — это была некая такая мечта, как обратно возродить российскую математику до того уровня, как она была в 1985 году, можно ли это сделать или нет. Поначалу это казалось невозможным, но потом выяснилось сильное впечатление, в частности на меня, на Людвига Фаддеева, у нас еще есть третий человек, который этим занимается, Самсон Шаташвили, физик-теоретик из Дублина, произвела сильное впечатление система мегагрантов, первых, когда получили Стас Смирнов, Борис Дубровин, Федор Богомолов, и нам казалось, что это действительно некое такое новое движение. И мы поняли, что, конечно, вещь замечательная, но сама идея этих мегагрантов странная, что они даются на 2 года, а что делать потом? Хорошо, их продлят, у вас будут студенты, аспиранты, постдоки, а куда они дальше пойдут? как все это будет спланировано? Это было непонятно. У нас возникла идея использовать существующий Институт Эйлера как некую новую вещь, на его примере смоделировать вот такие центры, как Институт в Принстоне высших исследований, Институт высших исследований под Парижем, в Бюр-сюр-Иветт. Создать такой институт, в котором были бы постоянные профессора, может, не совсем постоянные, на 3-4 месяца, например, были и постдоки, были бы аспиранты, а самое главное, там все время приезжали бы люди, и возрождалась бы математическая жизнь и в Петербурге, и в Москве. Чтобы, например, студенты от Стаса Смирнова из его лаборатории Чебышева потом приходили работать в Институт Эйлера, студенты Института Эйлера, работали бы потом в лаборатории Чебышева и так далее. Это была идея сделать институт Эйлера катализатором, из которого выросло бы что-то большее. Если будут еще вопросы, я готов ответить. Не хочу занимать все ваше время таким рассказами. Борис Долгин: Вообще-то, как живет у нас наука и образование — это тоже такая вполне классическая наша тема, поэтому это совершенно не случайно занятое время. Вопрос из зала. Владимир: Скажите, та задача, которую решил Перельман, — это одна из 23 Проблем Гильберта, которые были сформулированы 100 с чем-то лет назад, 1904, что ли, год? Сейчас у математиков есть программа на будущее, области, в которых будут прорывы, в которых есть нерешенные проблемы, по каким направлением это будет двигаться еще 100 лет вперед?
Леон Тахтаджян: Да. По-моему, Перельман решил не Проблему Гильберта, а Проблему тысячелетия Клея, это Институт Клея, это не Проблема Гильберта. Там есть еще 7 или 8 проблем. Гипотезе Пуанкаре, по-моему, 100 лет, гипотезе Римана больше, другой гипотезе меньше, есть проблема массы в полях Янга-Миллса, она совсем свежая, есть проблема P NP формальной логики, есть гипотеза Берча-Суиннертона Дайера, проблем много, так что еще есть, чем заниматься. Вопрос из зала. Сергей: В вашем рассказе всегда упоминалась связь между математикой и физикой. Я биолог. Физики занимаются красивыми, простыми вещами, биологи занимаются очень сложными и очень мутными вещами, сложными системами, например, такими, как взаимодействие и взаимоотношение между генотипом и фенотипом, где мутным и запутанным образом переходит одно в другое. Как вы думаете, какая роль математики может быть в решении этих проблем? Проблем некрасивых наук: биология, социология, экономика, может быть, даже. Борис Долгин: Почему же они некрасивые? Сергей, продолжение вопроса из зала: Они занимаются мутными вещами. Леон Тахтаджян: Знаете, ваш вопрос очень интересный, на него люди давно пытались дать ответ, например вот Эрвин Шрёдингер, физик, основатель квантовой теории, даже написал книжку про жизнь с точки зрения физики, но это было не очень, видимо, глубоко. Ответ такой, что это действительно очень сложные системы, и поэтому такое прямое применение таких математических методов, таких вот стандартных, довольно бессмысленно, хотя математика и фундаментальная наука, но нужно применять уже какие-то методы специальные, как например Больцман, в молекулярной теории газов, он же не использовал механику, он вывел свое уравнение Больцмана. Видимо, что-то такое, может быть, и имело бы смысл в биологии, что-то в таком стиле, может быть. Очень нетривиальная и глубокая задача, просто формальное применение математики абсолютно… нужно что-то новое, и глубокое. Сергей, продолжение вопроса из зала: Я ничего не понимаю в математике, кроме того, что это очень все красиво, то что вы рассказываете, но вот по моей части, там, допустим, генетике, приходится социологией заниматься, там есть тенденции искусственного усложнения, есть такие люди, которым просто очень важно, чтобы их никто не понимал, и они выглядели очень умно. Все-таки мы сможем когда-нибудь формализовать хотя бы названное взаимоотношение между генотипом и фенотипом, мне не кажется это сложным? Борис Долгин: Может быть, это не совсем к нашему сегодняшнему гостю… Сергей, продолжение вопроса из зала: Это же как религия, им приходится отвечать на все. Тогда такой вопрос, зачем вы этим занимаетесь? Это что, приносит какое-то большое удовольствие? Или большие деньги за это платят, или великий геополитический пиар? Мне просто показалось, что это красиво прежде всего. И последний вопрос, вы рассказывали про Институт Эйлера, в истории интересной математики он же не был постоянным? Всегда как-то пульсировал… Леон Тахтаджян: Попробую ответить на два последних вопроса. Зачем занимаются математикой, я могу ответить за себя только, и то как бы сложно, просто мне нравится очень это, поэтому занимаюсь, даже у меня никогда мысли не было заниматься чем-то другим. А почему другие занимаются математикой, я не могу ответить. Может, им тоже нравится, и красиво, и не обсуждается даже, настолько как бы это очевидно и ясно. Но, с другой стороны, вы правы, что видно, например, когда вы видите студента или аспиранта, то вы можете сказать сразу, он будет заниматься или ему не стоит заниматься математикой. Это как-то видно, а как это можно почувствовать, сложно определить. Борис Долгин: Есть еще вопрос, чем вы его завлекаете в математику, что вы ему показываете такого, или школьнику, чтобы заинтересовался математикой, может быть, это тоже то, из-за чего занимаются математикой? Леон Тахтаджян: И да, и нет. Пожалуй, завлекать не надо, это в Америке сейчас так делается кампания, что действительно, надо людей завлекать, по-моему, и раньше, и сейчас такой специальной кампании нет в России. Люди сами знали, что они хотят заниматься математикой. Борис Долгин: Ну почему же, были же в школе книги, которые завлекали, книги занимательных задач? Леон Тахтаджян: Но люди же их искали специально, не книги искали людей, а люди искали книги. Так завлекать — это странно, ничего не получится, человек должен сам к этому прийти. Борис Долгин: Обычно если есть увлеченный учитель, у него бывают увлеченные ученики; если его нет, то ученики вообще не могут узнать о том, что математика — это красиво. Леон Тахтаджян: Это правда, нужно показать, один раз открыть глаза, а дальше уже не важно. По поводу Института Эйлера — я, конечно, плохо знаю историю математики, но, разумеется, были времена, когда где-то математики вообще не существовало, как вот где-то в Европе, в Средние века, там было в очень зачаточном виде, или процветала, как в античности, или как сейчас, будем надеяться. Вопрос из зала. Андрей: Ваша лекция заявлена как "Математика как форма существования", мне интересно вот что — эта форма существования как изменилась, грубо говоря, Гильбертом и Геделем, между определенностью и неопределенностью, между ХIX веком и XX-м? Стало лучше в каком либо смысле, или хуже? интересно, менее интересно? Леон Тахтаджян: Очень интересный вопрос. Попробую ответить на него так, это даже где-то было написано, что Гедель изгнал математиков из рая, в каком-то смысле. А что дальше… вот вам ответ. Вопрос из зала. Константин: Скажите пожалуйста, вот вы теорию Галуа изучали? Знаете? Понимаете ее? И можете ее донести публично для слушателей? Леон Тахтаджян: На все вопросы — да. Донести публично сложно, по- настоящему донести до слушателя — это талант, дар, и это очень сложно, я бы не взялся. Вопрос из зала. Владимир: Если можно, в продолжение этого вопроса, человека рядом со мной. Вот это изгнание из рая математики в XX веке, как вы считаете, это следствие какого-то недостаточного знания пока, каких-то скрытых вещей, которые еще не открыты, или это принципиальная невозможность вообще иметь какие-то строгие системы, снизу доверху, как хотел Гильберт построить? Леон Тахтаджян: Очень сложный вопрос. Мне так кажется, что это просто какие-то несовершенства в нас, скорее, эти идеи преломляются в нас, так как-то чуть-чуть с интерференцией накладываются друг на друга — и что-то у нас такое не получается. Вопрос из зала: Можно спросить о наболевшем, о реформе Академии наук, вы сейчас находитесь в России, что коллеги ваши говорят, математики, хотят ли уехать или, наоборот, считают, что надо переждать? Что вы думаете об этой реформе? Леон Тахтаджян: Это очень важный вопрос, и я постараюсь ответить на него очень четко и ясно. Я думаю ровно то, что вот, знаете, было такое, очень много институтов РАН сделали заявление, оно было недавно принято на общих собраниях институтов. Потом академики-секретари многих отделений — математических наук, физических наук и других, — там 7 или 8 академиков-секретарей, они написали такое обращение к президенту Российской Федерации, и я просто в ответ на ваш вопрос хочу сказать: я полностью с этими высказываниями [согласен] — вот то, что я бы сказал. Повторять не буду, а просто, так сказать, отошлю к источнику. А что молодые думают, как — ситуация на сегодняшний день не очень хорошая. Разумеется, никто не знает, как это все будет происходить, но если это будет происходить так, как это все задумано и как написано в проектах, которые общедоступны, то боюсь, что мы не увидим через 10 лет математики в России. Вопрос из зала. Вениамин: Для раскрытия темы своей лекции вы выбрали 4 раздела. Я бы хотел спросить, был бы еще какой-то 5-й раздел, который вы могли бы рекомендовать для самостоятельного изучения? Леон Тахтаджян: Я выбрал 4, потом понял, что даже и это, может быть, много. Можно выбрать и 5, и 6, это функция времени: когда я готовился, я выбрал одни разделы, если бы готовился год назад или через год, может быть, выбрал бы другие разделы. Поэтому не могу вам сказать. Я выбрал то, что мне нравится, и, конечно, последний раздел — это действительно интересно. Реплика из зала. Лев: Тут на самом деле все выяснилось, для чего это делалось, но — я, конечно, на 100% не уверен, что я прав, — но мне кажется, что будущее будет ровно обратным. Борис Долгин: То есть математика будет?
Лев, продолжение вопроса из зала: Обязательно. Наука и, в частности, математика получит такой пинок под зад, что будет развиваться подпольно, если Ливанов останется. Борис Долгин: Ну да, есть такая интересная точка зрения, что многие сферы человеческой жизни нормально развиваются только тогда, когда их начинают запрещать. Леон Тахтаджян: Это правда. Если человека поставить в тяжелые условия, он будет как-то больше мобилизоваться и лучше работать, это правда. Но все-таки не хотелось бы, чтобы все общество поставили в такие условия, чтобы все лучше работали, очень не хотелось бы. Борис Долгин: Я бы, может, спросил вот о чем: как бы вы определили свою область занятий? Что вам как исследователю интересно в математике? Леон Тахтаджян: Мне интересна связь с физикой, точнее, с квантовой теорией, и интересно, как методы квантовой теории работают в совсем далеких областях. Формально то, чем я занимаюсь, можно назвать математической физикой, но это очень условное понятие, разные люди вкладывают в это разный смысл, а вот именно это — применение методов квантовой физики к классическим задачам математики, к новым или к старым, — вот это, я считаю, одно из самых красивых, что может быть. То есть вот Арнольд говорил как-то, что математика — это часть физики, а может, физика — часть математики, а может, это одно и то же, не знаю. Борис Долгин: Да, кстати, по-моему, выделял себя похожим каким-то образом Владимир Евгеньевич Захаров: видимо, это некоторая такая.. близость школ, в общем, какая-то близость. Вопрос из зала. Андрей: Вы упоминали теорию струн, квантовую теорию, на мой взгляд, наверное, справедливо будет сказать, что основные трудности теорий, которые претендуют на звание теорий всего — это именно громоздкость и сложность математического аппарата, который они используют. Есть такое выражение, что все гениальное просто. Вы допускаете, что, может быть, где-то математический аппарат неверен, может быть, его стоит как-то поменять, упростить? Борис Долгин: Зачем??? Зачем ломать то, что работает? Андрей, продолжение вопроса из зала: Может, как-то по-другому все устроено, проще? может быть, существует другое развитие математики, не то, которое есть сейчас? И еще вопрос, главный, какая, на ваш взгляд, теория всего наиболее состоятельна? Леон Тахтаджян: Давайте попробую ответить на второй вопрос. Во-первых, теории всего не существует. Теория струн претендует — раньше претендовала — на теорию всего, но таковой она не является, потому что она не имеет экспериментального подтверждения и ни одного предсказания. То, что это очень интересная теория, в которой есть 10500 разных вариантов, это ее не умаляет, но действительно ли эта теория описывает физический мир, это большой вопрос. Борис Долгин: Вы знаете, вообще, когда к нам приходит статьи или предложения от людей, которые говорят, что они, наконец, разработали теорию всего, обычно мы их на этом и посылаем. Вопрос из зала. Владимир: Известный факт, что патентные бюро не принимают проекты вечного двигателя просто с порога, хотя, насколько я помню физику, последние сомнения в законе сохранения энергии были при слабом распаде, по-моему, нейтрино, когда не могли обнаружить, было сомнение, но не у патентных проверенных! Борис Долгин: Это же не значит, что все, что хотят, речь идет о конкретных выкладках, но, собственно, смысл высказывания был совсем другой, он заключался в том, что мы не знаем, какому объекту в известной нам Вселенной эти выкладки соответствуют, корректно ли они сделаны. Владимир, продолжение вопроса из зала: Один из моих преподавателей, физик по образованию, говорил, что есть формула, по которой можно вычислить ценность любой науки и любой теории. Эта формула состоит из того, что сначала мы считаем число величин, которые мы должны ввести, чтобы сформулировать эту теорию, а потом вычитаем из него число величин, которые она объясняет, — и тогда мы получаем положительное число или отрицательное. Если нам нужно больше находить величин, чем она дает на выходе, то ее ценность даже меньше нуля, и вот таких вот теорий, у которых вообще нет предсказаний, те же суперструны, что это, извините? Леон Тахтаджян: Тут есть несколько ответов по поводу теории струн, раз уж мы об этом заговорили. Как было сказано, это очень красивая математика, поэтому математики, особенно геометры, алгебраические геометры, очень любят теорию струн за ее различные математические предсказания, которые получаются на совершенно эвристическом уровне, а потом математики это доказывают совершенно строго и используют совершенно другие методы. И когда впервые такие предсказания появились, математики были потрясены, что — вот интуиция другого типа. Так что теория струн многими воспринимается как математика, но сами, естественно, люди, которые ее разрабатывают, — это физики, физики-теоретики, и им бы хотелось получить экспериментальное подтверждение. Из теории струн есть много следствий, в частности — суперсимметрия, которая предполагает, что у каждой частицы есть суперпартнер, то есть частица с аналогичными свойствами, но с другой, грубо говоря, четностью, и так далее. Были большие надежды, что это все проверится на Большом адронном коллайдере, пока это не проявилось. Раньше люди бы считали, что — ну хорошо, предсказания теории не сбылись, значит, будем заниматься другой наукой. А есть другая точка зрения — люди говорят, что просто энергии недостаточно, дайте нам более мощный коллайдер, и так далее. Так они бы вам ответили, что у них все правильно, энергии недостаточно для подтверждения теории. Имеет ли такая теория право на существование? Пожалуй, да, но нужно ли строить коллайдер с мощностью на несколько порядков больше? Не знаю. Вопрос из зала. Маша: Вы сейчас сказали про мощности, вот в физике, например, можно сослаться на отсутствие достаточных мощностей, а в математике мы имеем дело только с миром идей и человеческим мозгом. Как вы считаете, насколько математика вообще конечна, насколько она исчерпаема? то есть она в итоге стремится закончить описание реальности, или здесь как в искусстве — она будет существовать, будут существовать новые вопросы, пока человек живет в мире? Леон Тахтаджян: Я думаю, верно последнее — как в искусстве. Борис Долгин: Я бы, может, еще попросил отрефлексировать такую предпосылку вопроса, даже явно, можно сказать, высказанного, что математику по большому счету ничего не нужно, разве только довольно заметная часть математики которая называется "Сomputer Science", требует некоторой техники, мощностей, то есть разве математику ничего не нужно? Леон Тахтаджян: Ну вот, например, для машины Тьюринга ничего не нужно, только иметь бесконечную ленту — вот и вся мощность. Мы публикуем стенограмму и видеозапись лекции, которую в рамках проекта Публичные лекции "Полит.ру" прочел Леон Арменович Тахтаджян, доктор физико-математических наук, профессор математического факультета университета Стони Брук штата Нью-Йорк, США, ведущий научный сотрудник Международного математического института им. Л. Эйлера в Санкт-Петербурге, председатель комитета Отделения математических наук РАН по реорганизации института им. Л. Эйлера. Текст лекцииКогда Наталия Демина попросила меня прочесть в научно-популярном жанре о чем-то таком, математическом, и о математике вообще, я согласился, хотя сразу понял, что эта задача невыполнима в принципе. И поэтому, чтобы как-то потянуть время, и вообще — подумать, я предложил такое название: “Математика как форма существования”. Это название весьма туманное и допускает множество различных интерпретаций. Это во-первых. А во-вторых — оно требует родительного падежа: форма существования кого или чего.
И поэтому я предлагаю более полное название, которые пришло мне в голову дня за два до лекции: “Математика как форма существования мира идей в нашем сознании”. Вот об этом мы и поговорим в неторопливом, разговорном стиле. Я надеюсь, это будет интересно, хотя я хочу заранее извиниться перед своими коллегами, которые здесь присутствуют, потому что вряд ли они услышат что-нибудь интересное, кроме какой-нибудь там философии на мелкой воде. Но это, может быть, и простительно. Остальным, я думаю, что-то будет интересно, потому что мы увидим, что некоторые вещи, которые нам кажутся очевидными, таковыми совсем не являются. Простые вещи могут оказаться сложными, а сложные — простыми. Теперь план. Это будут четыре коротеньких рассказика. Начнем мы с чисел, потом поговорим о движении, об изменении, затем мы обсудим формы и размеры, а затем — начало и конец. В таком несколько зашифрованном стиле мы и попробуем посмотреть на математику изнутри и снаружи, причем именно как на предмет. То, о чем математики мыслят и чем живут, — об этом мы с вами сможем поговорить потом. Начнем с чисел и самого простого — цитаты. Это цитата знаменитого математика, который занимался теорией чисел и комплексным анализом, эллиптическими функциями — Леопольд Кронекер. В переводе с немецкого это звучит примерно так: Господь Бог создал целые числа, а все остальное — дело рук человеческих. И давайте в этом разделе — числа — поймем, что Кронекер имел в виду. Почему он так сказал, а не иначе. Давайте подумаем. Вообще начнем с того, что мы все это знаем еще со школы, а именно: мы знаем, что есть такие целые числа, их можно складывать и умножать, они образуют кольцо, обозначаются такой красивой буковкой Z, от целых чисел мы переходим к дробям: называются рациональные числа — поле Q, а от него — поле вещественных чисел R. Тут, конечно, можно добавить, что все это проходят в [нашей] школе, а, например, в американской дробей не знают, так что переход от Z к Q для них — нетривиальная вещь. Но для нас это будет стандартно. Мы умеем 1 делить на 2, 2 — на 3, складывать, умножать и так далее. Вещественные числа чуть-чуть посложнее. Чем отличаются рациональные числа от вещественных? Если их изображать на прямой — это одно и то же. Но, оказывается, прямая с рациональными числами имеет много пробелов — дырок. И мы их заполняем. Получается прямая, заполненная полностью. Это и есть вещественные числа. Теперь что мы еще знаем? Мы знаем, что целые числа состоят из натуральных 1, 2, 3, … нуля и отрицательных. Что мы знаем о натуральных числах? Что такое число 1, 2, 3 или 0? Как нам это определить и доказать, что, например, 2+3=5, а не 6, и вообще — что это значит? И давайте вспомним, хотя это сложно, и я сам, честно говоря, не помню, как нас учили в школе, и, честно говоря, не знаю, как учат сейчас, но, видимо, учили как-то так: есть одно яблоко, две коровы, три банана, и это складывают. Все это понимают. Но что такое две коровы и два банана? Видимо, это одно и то же, потому что есть идея числа 2. А что это такое, и почему это число записывают цифрой 2? А если, например, писать латинскими цифрами, или как-нибудь клинописью — это будет другое? Что же это такое, и как нам определить натуральные числа? Не это ли имел в виду Кронекер? Давайте подумаем. Мы знаем, нас учили в школе, что математика — это определения и аксиомы. Из этого с помощью логических рассуждений мы выводим все остальное. Значит, нам необходимы определения и аксиомы. Давайте посмотрим, как мы можем определить. Если мы будет определять методом сравнения — коровы, яблоки, апельсины, груши, то это будет непонятно: в одном климате они есть, в другом их нет, и люди это узнать никак не могут. А еще хуже обстоит дело с числом 0. Понятно, есть 0 яблок, 0 коров. Но что такое просто 0, когда нет вообще ничего? Это представить себе очень сложно, нужно иметь такую фантазию, чтобы представить чистый ноль. Даже не знаю, возможно ли это. И поэтому математики делают так: до определения чисел вводится более общая структура, называемая множеством. А именно — есть такие понятия — множества. Это некая совокупность объектов. Как это точнее определить — не спрашивайте, так как ответ сложный. Но изо всех множеств есть замечательное множество, так называемое пустое множество. Оно даже обозначается красивым символом — перечеркнутым справа налево нулем — Ø. Так оно обозначается. Это множество, в котором совсем ничего нет. И это себе представить легче: нет так нет. Вот и существует такое понятие — пустое множество. То есть оно существует, но у него нет элементов: это просто ничто. И теперь мы начинаем делать следующие вещи. Мы берем это пустое множество, и заключаем его в красивые фигурные скобки {Ø}, и получаем другое множество, в котором уже есть элемент. И именно это число элементов называем цифрой 1. Это и есть определение числа 1. Далее — продолжаем. Берем только что сделанное множество и пустое множество, объединяем их в следующий объект. Получаем множество из двух элементов. И, по определению, число 2 — это количество элементов у этого множества. Это определение не зависит ни от яблок, ни от коров, и поэтому это такая замечательная вещь.
Таким образом мы ввели понятие чисел, понятие множества. Есть такое понятие — мощность — число элементов, в данном случае. Все пока хорошо и красиво. Смотрим дальше. Мы определили натуральные числа, а дальше нам нужно ввести некие аксиомы, которые позволяют нам их складывать. Такие аксиомы вывести можно, но скучно. Они, кстати, называются именем Пеано — итальянского математика. И они задают натуральные числа. Аксиомы Пеано задают множество всех натуральных чисел, или N. Мы можем равенство 2+3=5 в этой системе аксиом доказывать. И, вроде бы, получается все замечательно: мы добились всего того, чего хотели. Но есть два вопроса, на которые хорошо было бы ответить. Первый вопрос: хватает ли нам аксиом? Если аксиом слишком мало, то мы очень мало всего можем вывести. Если их слишком много, то какие-то из них лишние, и они выводятся из других: надо их выкинуть. Но есть более сложный вопрос: то, что мы делаем, это противоречиво, или нет? Может ли такое быть, что мы при помощи одних рассуждений доказали, что 2+3=5, а при помощи других рассуждений на тысяче страниц доказали, что 2+3=6. Как же это исключить, ведь если это так, то просто ничего не имело бы смысла. И, видимо, это не так. Однако как это доказать? Но оказывается, что есть вторая теорема Геделя, о которой рассказывал А.Б. Сосинский, которая именно это и утверждает: непротиворечивость арифметики невозможно доказать средствами самой арифметики. И поэтому на вопрос “можно ли доказать, что 2+3=6?” ответа нет. Можно доказать, выходя за рамки арифметики, в другой теории. Чтобы доказать непротиворечивость той теории, нужно выйти за рамки следующей, и так далее. Довольно неприятно. Второе. Давайте поговорим о числе элементов. Сколько элементов во множестве натуральных чисел? Бесконечно. А теперь: сколько элементов во множестве вещественных чисел? Тоже бесконечно. Это одно и то же, или нет? Конечно, нет. И для этого Георг Кантор, основатель теории множеств и уроженец Санкт-Петербурга, придумал такие красивые символы для обозначения числа элементов мощности. Первая буква еврейского алфавита — Алеф. Алеф0 — это мощность натуральных чисел, а потом мы число 2 возводим в степень Алеф0 — и получаем мощность множество вещественных чисел. Как понять то, что эти множества имеют разную мощность? Это значит, что мы их считаем. Натуральные числа мы можем пересчитать: так люди считают на пальцах или деньги, некоторые умеют делать это хорошо, некоторые — не очень, но все равно все считают: 1, 2, 3… И вот множество натуральных чисел можно пересчитать. Множество четных чисел тоже можно пересчитать. Их оказывается сколько? Столько же, сколько натуральных. Это банально, это все мы знаем. Но вот оказывается, что вещественные числа пересчитать нельзя. Невозможно каждому вещественному числу приклеить ярлык с цифрами 1, 2, 3, так, чтобы у разных чисел были разные ярлыки, и чтобы все числа получили бы по ярлыку. Это не получается. Это значит, что вещественные числа несчетны. И, оказывается, их мощность, их — столько же, сколько подмножеств в множестве натуральных чисел. Поэтому 2 в степени Алеф0- это мощность множества всех подмножеств натуральных чисел. Мы можем ввести другое понятие — кардинальные числа. Их ввел Георг Кантор. И вопрос состоит вот в чем. Между этими двумя множествами — натуральных чисел и множеством вещественных чисел — есть ли промежуточное множество, которое больше первого, но меньше второго? Это так называемая континуум-гипотеза. Георг Кантор пытался ее доказывать, и это кончилось не очень хорошо для его психического состояния. Этим занимались другие люди, и только в 1963 году, если я не ошибаюсь, американский математик Пол Коэн доказал, что континуум-гипотеза не выводима в системе аксиом Цермело-Френкеля. Если изменить аксиомы одним образом, она будет верна, если другим — она будет неверна. Тем самым тоже это невыводимо. То есть становится все очень сложно и запутанно. И Кронекер, если бы он дожил до этих дней, он все бы это отрицал. Что это показывает для нас? А то, что идеи, которые существуют в мире идей, когда мы пытаемся их изобразить в нашем сознании, они как-то немножко преломляются, и возникают такие парадоксы. Поэтому это лучше оставить в стороне. И это не то, с чего мы начинали: мы начинали с очень красивой вещи — со множества натуральных чисел. А кончили чем-то таким странным. И что делать? Ответ самый простой: давайте попробуем сложить все натуральные числа. А именно — вот так. Давайте сложим 1+2+3+4, и так далее. Что мы получим — интересный вопрос, правда же? Если мы их будем складывать, то их количество будет все расти и расти. Не должно быть ничего интересного. Но если подумать действительно хорошо, а это многие знают — этому учат в 57-й школе, и уж точно в Вышке должны знать, то ответ получается такой. Первым это открыл Леонард Эйлер: если мы все это сложим и аккуратненько посчитаем, то получится число –1/12. Это сумма всех чисел натурального ряда. Получается такая замечательная формула, и теперь мы ее будет обсуждать. Давайте дальше посмотрим. Это вот так мы складываем числа, когда каждое следующее больше предыдущего на единицу. А давайте теперь спросим совсем по-глупому: что будет, если мы будем складывать единицы? Получим –½. И что же это значит? А с другой стороны, все это знают, и этому учат в физматшколах, то если мы сложим убывающие числа, так называемый гармонический ряд, то точно получим бесконечность. И вопрос: почему мы в первом случае получаем такой интересный ответ, а в третьем — такой неинтересный? Это все знал Леонард Эйлер. И интересно, что у этих формул есть такие замечательная интерпретация в стиле Кронекера. И я вам о ней расскажу. Мне о ней рассказал мой очень хороший коллега, из очень хорошего американского университета, только я не буду говорить, откуда и что, потому что вы вычислите. Эту формулу он считал в спецкурсе по своей тематике и очень ее любил. Интерпретация такова. Кстати, сейчас, я боюсь, он не может эту интерпретацию читать на лекциях в американском университете из-за политкорректности. И эту интерпретацию нужно воспринимать с долей иронии. Что значит –1/12? У этой дроби есть числитель и знаменатель, а складывать натуральные числа — дело божественное. В числителе стоит Иисус Христос, а в знаменателе 12 апостолов, как в поэме Блока «Двенадцать», а знак минус означает, что один из них предал Учителя. Это первая интерпретация. Вдохновляясь этим, я могу предложить вам интерпретацию второй формулы. Она имеет такой же смысл. Складываем единицы, это такое, более фундаментальное, ветхозаветное. В числителе единица символизирует Бога-Отца, двойка символизирует Адама и Еву, а знак минус символизирует Змея-искусителя. Такие вот интерпретации.
Что же все это значит? Давайте посмотрим, что написал гениальный индийский математик Рамануджан в письме к своему другу и товарищу английскому математику Харди. Вот его письмо. Цитата длинная, из нее мы видим, что Рамануджан тоже открыл эту формулу. И написал своему другу. Это было сто лет назад. Он эту формулу сообщил профессору математики в Лондоне. И тот ему посоветовал хорошо проштудировать учебник матанализа, и сказал, что если Рамануджан будет и дальше такие формулы доказывать, то ему прямая дорога в психиатрическую лечебнику. Вот то, что было сказано Рамануджану. А теперь — как же все это объяснить? Это несложно. С помощью дзета-функции Римана. Это такой фундаментальный объект в математике. Функция Римана была введена математиком Леонардом Эйлером, правда для вещественных значений, это 1/1s + 1/2s + 1/3s +… Такие вещи надо говорить довольно быстро, они достаточно технические. Функция определяется таким вот рядом, который действительно сходится при вещественных значениях s>1, он расходится при s=1, и тут ничего не поделаешь, и, самое главное, аналитически продолжается на все значения s<1, и даже на все значения s, где вещественная часть меньше 1. Что это такое я объяснять не буду. Имеется замечательная связь между значениями дзета-функции при параметре s и 1–s, открытая Эйлером. Это называется функциональное уравнение. Оно связывает как правое с левым. Это замечательная, очень красивая формула. Она используется во многих областях математики, обобщается, очень далеко идет, но об этом мы говорить не будем. Мы просто скажем, что наши ряды, которые расходились, они в точности дают значения дзета-функции при s = –1 и s = 0. Используя функциональное уравнение, формулу, которую мы видели, очень легко получить ответ. Эйлер так и делал. Это вот такое объяснение того, что с нами происходит. До сих пор мы занимались сложением. Теперь займемся умножением. Что с умножением можно сделать? Тоже можно сделать много интересного. Мы знаем, что числа можно разложить на множители, что, в отличие от сложения, где есть единица, можно все получить, складывая единицу много раз, получить все натуральные числа, умножай единицу много раз — ничего не получишь. Но есть такие кирпичики — так называемые простые числа, из которых можно все получить, и все числа раскладываются на простые множители, это доказал еще Евклид, это все проходят в школе, и простых чисел бесконечно много, это Евклид тоже доказал. Его рассуждение и доказательство до сих пор служат таким образцом ясности человеческой мысли и красоты — доказательство в одну строчку. Если вы его знаете — замечательно. Если нет — я советую вам его прочесть, вы получите огромное удовольствие от этого доказательства. Поэтому здесь я его приводить не буду. А теперь о том, как пересчитать простые числа. Мы знаем, что их бесконечно много, но насколько их много? Их может быть много, как четных чисел, может быть много, как квадратов, или что-то среднее. И оказывается, что это очень сложная задача. Ей начал заниматься еще Эратосфен в древности, потом знаменитый петербургский математик Чебышев и немецкий математик Риман. И до сих пор продолжают заниматься. Формула есть, но тут очень много возникает интересных вещей, гипотеза Римана, распределение простых чисел, все очень сложно и показывает, насколько вещи могут быть и простыми, и сложными одновременно. Если мы задаем один вопрос, то мы получаем ответ в одну строчку, чуть-чуть мы изменяем формулировку, пытаемся ответить на вопрос с количественной точки зрения — и сразу наткнемся на непреодолимые сложности. Есть еще более интересный пример, тоже восходящий к Евклиду. Давайте будем просто смотреть на простые числа. И мы обнаружим, что иногда простые числа ходят парами: 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19. Они называются так: простые числа-близнецы. Если мы будем смотреть, таких чисел очень много. Можно проводить дни, анализируя таблицу простых чисел, пытаясь понять, сколько их. Есть гипотеза, что пар простых чисел бесконечно много. Это подозревал еще Евклид. Но доказать это не представляется возможным — очень сложная задача. Единственный результат, доказанный в этом году совершенно неизвестным китайским математиком, который работает в Америке, Итай Жанг, который использует очень сложный аппарат аналитической теории чисел, теорему Бомбьери-Виноградова, и очень сложные другие методы. Он доказал, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые стоят друг от друга не более, чем на 70 миллионов. А мы хотим доказать, что существует бесконечное множество пар простых чисел, которые стоят друг от друга не более, чем на 2. Точнее — ровно на 2. Вот вам пример еще одной задачи, что можно сделать с числами. Теперь давайте посмотрим большие числа. Я помню когда-то очень давно, тогда еще в Ленинградском институте Стеклова, Дмитрий Константинович Фаддеев как-то рассказывал, что вообще очень сложно представить себе большие числа: "Я могу представить себе число 1020, а если число больше, то оно очень давит". И он показывал, как ему большие числа давят на спину: он так сгибался, мол, “я ощущаю тяжесть больших чисел”. Давайте посмотрим, что же это значит, и как такое может быть. Возьмем пример из физики для разнообразия. Есть фундаментальные константы. В квантовой электродинамике их 3 штуки: заряд электрона, скорость света в вакууме и постоянная Планка. И это определяет теорию слабых взаимодействий. Теперь Стандартная модель, про которую здесь рассказывал в лекции Алексей Семихатов, уже 18 констант. И они уже не имеют такого фундаментального смысла, если эти константы подобрать, то можно описывать сильные взаимодействия. А в теории суперструн этих констант 10500. И мои знакомые физики мне объясняли, что число 10500 — число действительно очень большое. И оно очень большое не потому, что у него 500 нулей, оно очень большое потому, что это больше чем число атомов во Вселенной. Как они это посчитали — я не знаю, но утверждается именно так. Поэтому это действительно очень большое число. И тем самым в теории суперструн можно задать столько констант. А если говорить более точно — столько есть решений в уравнении для вакуума. Поэтому есть выбор между таким количеством теорий. В старые времена люди бы сказали: "Если у вас так получилось, то нужно заняться чем-то другим". Но теперь люди объясняют так: "Это отлично, давайте будем рассматривать, что есть столько различных вселенных, что вселенная не одна (по-английски это будет Universe), а их будет бесконечно много. Получается не Universe, a multiverse. И мы рассматриваем ландшафт, когда переходим от одной вселенной к другой. И люди этим занимаются. Давайте посмотрим, что же такое — Вселенная? Нам пригодится вот такое определение Вселенной, которое приведено внизу: “Наша Вселенная находится в чайнике некоего Люй Дунбиня, продающего всякую мелочь на базаре в Чаньани. Но вот что интересно: Чаньани уже несколько столетий как нет, Люй Дунбинь уже давно не сидит на тамошнем базаре, и его чайник давным-давно переплавлен, или сплющился в лепешку под землей…”. Вот это определение мы будем использовать дальше. И к этому мы еще придем. Чем оно отличается от других, мы посмотрим. Теперь давайте обсудим, что такое движение. Давайте обсудим перемены. Вообще хорошо бы дать определение движения. Вот оно: “Движение является способом существования материи”. Определение хорошее. Только немножко непонятное. И, в общем-то, циркулярное, потому что оно ничего не определяет, а просто красиво группирует слова в предложение. Давайте посмотрим на свойства движения. В чем состоят свойства движения? Свойство движения состоит в следующем: “Все куда-то торопятся, не понимая, что они уже там”. А теперь давайте посмотрим на движение как на изменения, как на перемены — и тогда мы дадим математическое определение движения. Как все помнят из матанализа, были такие понятия: переменная величина, зависимая и независимая. Была независимая переменная величина, которая изменялась независимым образом, а была зависимая величина, которая зависела от той, поэтому есть слова “движение”, “перемены”, “изменения”. Можно назвать это реформами, если хотите. Одна величина независимо реформируется, а зависимая величина реформируется через нее. Но следующее определение будет лучше. Это определение функции. Как пишут в школе: функция — y = f(x) — это всего лишь навсего отображение двух множеств. И при помощи этого простого понятия, которое выглядит очень простым, можно описать все. И, в качестве примера, может быть, не самого удачного, я выбрал тоже школьный материал. Я выбрал классическую механику. Как же нам описывать движение? Мы это быстренько пролистаем. Давайте начнем с того, как движение понимал Ньютон. Ньютон понимал движение через дифференциальные уравнения. Вот здесь написан закон Ньютона: F = ma. Вот давайте напишем закон всемирного тяготения. Почему я все это привел? Потому что всему этому учат в школе. Но в школе не учат одной вещи, над которой Ньютон думал двадцать лет, прежде чем опубликовал свой труд. В чем эта вещь состоит? Этот закон, который здесь написан, закон всемирного тяготения, он применим, когда материальные тела предполагаются точками. Они не имеют размеров. Тогда этот закон описывает все блестяще. Но если у нас есть действительно большие тела, например — планеты, как мы можем это делать? Например, у нас есть точка и шар. Давайте рассмотрим такую задачу. Основной факт теории тяготения состоит в том, что сила притяжения шара и точки получается заменой шара на его центр с массой, равной массе всего шара. Как это доказать? Несложно. Нужно взять такой тройной интеграл. В Вышке, боюсь, этому не учат, это сложно, это хорошее упражнение. Сейчас это делается в любом курсе векторного анализа. Но Ньютон на это потратил 20 лет. Поэтому свои начала натуральной философии он опубликовал не в 1666 году, а на 20 лет позже, потому что он хотел этот факт доказать, вывести. Этот факт действительно фундаментальный, с помощью этого факта можно решить все, что угодно. Практически Ньютон решил все, что можно. Ну, там его еще Эйнштейн подправил, но, в общем-то, Ньютон это решил. Давайте посмотрим, что можно решить. Давайте рассмотрим самые простые случаи. Когда ясна задача двух тел: Земля и Луна. Эта задача замечательна тем, что она решается точно, можно написать формулу, полная интегрированность. А давайте рассмотрим три тела: Земля, Луна и Солнце, задача трех тел. И, по сравнению с предыдущей задачей, эта задача совершенно другого уровня сложности. Ее можно так же просто записать дифференциальным уравнением, кто это знает. Этой задачей занимались величайшие математики: Пуанкаре, Зигель, Арнольд. Точного решения нет и быть не может. Есть только пять известных простейших решений, когда все планеты находятся на одной прямой. И это все, что известно. А как выглядит движение, например, трех тел с равными массами и переменными начальными скоростями? а выглядит примерно так. Это красиво, но непонятно. Теперь давайте поговорим немножко о формах и размерах. Форма — эта такая резиновая геометрия, научно называется топология. Когда мы можем изучать объекты в пространстве, не заботясь об их размерах. И давайте рассмотрим замкнутые формы и попробуем их классифицировать. Нульмерные формы — есть только одна — точка. Это ясно. Одномерные — это окружность. Легко. Двумерные — чуть посложнее, но очень красиво, есть сфера, есть так называемая бутылка Клейна — это поверхность неориентируемая, она засунута сама в себя. Есть бублик и крендели разного типа. Очень несложно и очень красиво. Теперь давайте рассмотрим трехмерные формы. Их, оказывается, 8 форм. Не четыре, как двумерных, а восемь. И они все описаны американским математиком Вильямом Терстоном — замечательным геометром. И уже эта классификация чрезвычайно сложна, и была недавно доказана Перельманом. А четырехмерные формы — непостижимы. Есть много результатов, но нет даже гипотезы, как есть гипотеза геометризации в числе измерений равным трем. Уже это сложно, там участвует геометрия Лобачевского, другие формы — торическая, круглая геометрия, геометрия круглой сферы и так далее. Теперь давайте перейдем к размерам. Что такое размер? Это то — когда мы мерим длины. Как мы делаем? Мы можем мерить длину, объем, площадь, и мы можем это делать либо линейкой большой, либо очень маленькой линеечкой, либо линейкой, которая меняется от точки к точке. Это называется риманова метрика. Ее придумал, как сказал бы Арнольд, Пифагор. Ну, а Риман написал вот такую красивую формулу, я даже не буду пояснять, в ней участвует вот такая буква — тоже красивая — gij, называется метрический тензор. Эту форму пишут везде именно по причине ее необычайной красоты. Как-то она всех завораживает своим очень элегантным видом. И этот метрический тензор, который меняется от точки к точке, точнее, может меняться, он задает все размеры. С его помощью мы можем измерять расстояния, площади, объемы и прочие вещи. Еще Риман, уже не Пифагор, точно не Пифагор, а точнее — Гаусс ввел понятие кривизны, когда поверхность бывает плоская как стол, бывает искривлена, как сфера, а бывает наоборот. И это описывается так называемым тензором кривизны Римана. Таким объектом с четырьмя индексами, тоже его очень любят писать. И есть такой тензор Риччи, тоже объект с двумя индексами. Эти понятия — это некоторые количественные характеристики, которые позволяют нам описывать свойство искривленности данной геометрической формы. Они все выражаются через Риманову метрику, через вот этот метрический тензор gij. Есть такие очень красивые формулы. Всему этому также учат в курсе дифференциальной геометрии. Объект, который занимается размерами, называется дифференциальная геометрия. Тензор Риччи хорош тем, что он участвует в уравнениях Эйнштейна. Например, уравнения Эйнштейна для вакуума описывают всевозможные типы метрик. Можно сказать, всевозможные типы вселенной. Тензор Риччи, заданный метрикой, пропорционален метрическому тензору. Коэффициент пропорциональности и есть так называемая космологическая постоянная. Она маленькая или 0 — это неизвестно. И это — вопрос. Теперь о том, как формы и размеры связаны. Если посмотреть на это, то на первый взгляд кажется, что это совершенно разные вещи. Именно поэтому это и науки разные — топология и риманова геометрия. А оказывается, и это был такой замечательный пример единства математики, он говорит, например, что для изучения форм нам нужно использовать размеры. Давайте немножко об этом поговорим. А именно — вернемся к классификации трехмерных форм. Это чисто топологическая задача — гипотеза Пуанкаре. Для решения этой задачи Ричард Гамильтон из Колумбийского университета придумал такой поток Риччи, который до этого еще использовали физики. В частности — Александр Поляков использовал его, потом американский физик Дан Фридан , и это некое уравнение, которое встречается в квантовой теории поля, оно говорит следующее. Я попробую сказать его словами. Оно говорит, что мы рассматриваем метрики, метрические тензоры, которые зависят от времени. И зависимость от времени такова, что частная производная по времени, то, что стоит в левой части — изменение этого тензора, пропорционально с коэффициентом –2 (но это условно, коэффициент) тензору Риччи в той же метрике. Причем вначале метрика задана. И это такое очень интересное уравнение, которое называется нелинейным уравнением параболического типа. И эти уравнения тоже изучали ленинградские, петербургские математики. Ольга Александровна Ладыженская и Нина Николаевна Уральцева. Я, пользуясь случаем, их фамилии здесь упоминаю. И, кстати, Перельман и Гамильтон используют их результаты. И что же мы делаем? Получается следующая очень интересная вещь. Это то, что называется “запускается поток Риччи”. На заданной трехмерной форме задается произвольная метрика, и запускается это уравнение, запускается поток. Это уравнение имеет решение, Поток идет до какой-то точки, до какого-то момента времени, когда он наталкивается на сингулярность и останавливается. И на этом, казалось бы, теория кончается. Это то место, где остановился Гамильтон. Перельман научился запускать очень хитрым образом, перезапускать этот поток так, что он идет дальше до следующей сингулярности, и за конечное или бесконечное число шагов он приходит к предельной форме, одной из тех восьми, которые классифицировал Терстон. И здесь мы видим, что для решения чисто типологической задачи надо привлекать методы совсем из другой области, из области нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. И когда такой подход был предложен впервые Гамильтоном, топологи были очень возмущены: “Нельзя. Нужно соблюдать пуризм. Топологические задачи должны решаться только топологическими методами”. Но, как мы убеждаемся, и это блестящий пример — доказательство гипотезы Пуанкаре и геометризация Терстона решаются с помощью очень тяжелых аналитических методов. У нас сейчас в Институте Эйлера происходит программа, которая называется “Когомологии в математике и физике”, в рамках которой делал доклад Джон Морган — один из авторов книги про доказательство гипотезы Пуанкаре. Я вам очень рекомендую его доклад посмотреть. Он висит на сайте. Морган там все очень хорошо и подробно рассказывает. Для нас это просто иллюстрация. Мы поговорили про формы и размеры. И давайте в оставшееся время обсудим про начало и конец. Быстренько — потому что здесь я выбрал такие темы, к которым я имею некое отношение, и на их примере хотел бы проиллюстрировать то, насколько в простых вещах содержатся сложные.
Идея такая. Давайте начнем с самой простой вещи — с начала. Давайте начнем с колеса. Я даже здесь картинку нашел, которое это колесо изображает. Колесо круглое. Но здесь, правда, оно не совсем круглое, оно имеет спицы, ось, имеет обод. Рассмотрим идеальное колесо, то есть окружность. И есть для него такой очень хороший математический символ — S1. Окружность замечательна тем, что она абсолютно круглая. И что это значит? Это значит, что ее можно катить саму по себе. Ее можно вращать — на этом основана вся наша цивилизация, начиная с античных времен, и до наших дней. Колесо вращается, и есть группа вращения колеса. И это то же самое, что и само колесо. Почему? Потому что точки на колесе задаются углами. Мы можем его повернуть на любой угол. Повернем два раза — сложим углы. Получаются группы. То, что называется математикой группы. И эта группа в частности обозначается то же самое, как группа — SO(2), и это группа U(1), или S1. Это все одно и то же, просто смотреть на это можно как на красивые буквы. Казалось бы, колесо вращается само по себе. Но оказывается, с ним можно делать еще более интересные вещи. А именно — можно рассматривать такие преобразования колеса, где мы все точки поворачиваем на разные углы. Берем точку на колесе, повернули еще чуть-чуть, Другую точку — на другой угол, с одним условием — точки не могут друг на друга наезжать и колесо не должно сплющиться. Если точки были достаточно близки, то при этом преобразовании они тоже останутся близкими. То есть мы рассматриваем то, что называется группой всех диффеоморфизмов окружностей, если точки очень близко друг к другу, а если они не очень близко, но, тем не менее, находятся под контролем, то мы это называем группой квазисимметрических гомеоморфизмов окружностей. И одна группа обозначается буквой Diff от слова диффеоморфизм — это такие преобразования окружностей в себя, которые точки не склеивают, и близкие переводят в близкие, а совсем близкие — в совсем близкие, а совсем-совсем близкие в совсем-совсем близкие. А гомеоморфизм — просто близкие в близкие и с неким условием контроля над ними. И мы получаем такие группы, которые содержат группу вращений — самые простые преобразования, в качестве того, что называется подгруппой. Теперь мы можем рассмотреть следующие однородные пространства. Берем, как бы факторизуем группу по подгруппе. Иногда мы получаем группу, иногда — нет, но в любом случае получаем то, что называется в математике однородным пространством. И оказывается эти пространства, которые произошли от колеса, это все мы изучаем структуру колеса. Они обладают целым рядом замечательных свойств. Во-первых, это бесконечномерные, это многообразие с бесконечным числом измерений, они комплексные, то есть там есть комплексная структура. Есть такие комплексные числа, которые тоже проходят в школе, вообще должны проходить, я не знаю, что сейчас проходят в школе. И они над полем комплексных чисел. Такие замечательные бесконечномерные многообразия. И они содержат в себе целый мир. А именно, например, это многообразие. Когда мы берем группу квазисимметрических гомеоморфизмов окружности и факторизуем по S1, то оно содержит в себе все многообразие всех замкнутых двумерных форм. Говоря более формальным языком, оно содержит все пространства модулей римановых поверхностей. Все так называемые пространства Тейхмюллера, где содержатся все возможные деформации двумерных поверхностей. Компактных, некомпактных — все на свете. Причем содержатся в бесконечном количестве раз. Это пространство имеет связь с вакуумами теории струн и так далее. Вот так из колеса мы получаем объекты высшей размерности. Следующий пример тоже будет несложный. Это будет струнная математика. Давайте займемся на минуту струнной математикой. Что это значит? Струнная математика — это картинка справа. Слева — это обычная картинка, когда летят электрон и позитрон, сталкиваются, аннигилируют — и получается фотон. А справа — то же самое, но уже летают не частицы, а колечки. Когда колечки сталкиваются, получается такая фигура, которую называют панталоны. И струнная математика занимается тем, что изучает такие картинки. Оказывается, что изучение таких картинок приводит к необычайным успехам во всех науках. Я хочу просто перечислить. Начнем с подхода Александра Полякова, замечательного физика из института Ландау, который сейчас работает в Принстонском университете. Это интегралы по случайным метрикам, это связь с классическими работами Клейна и Пуанкаре, алгебраическая геометрия пространств модулей и так далее. Дальше. Есть еще так называемые критические струны, не будем об этом говорить — это уже геометрия Калаби-Яу, К3-поверхности. Потом есть струны в размерности меньше единицы и матричные модели. Это связано с теорией интегрируемых систем, вроде уравнения Кортевега — де Фриза, которые описывают волны на мелкой воде. О них рассказывал В.Е. Захаров. Есть еще квантовые интегрированные системы, инварианты узлов, теория Черна-Саймонса — все это связано со струнной математикой. Тем самым хоть струнная физика дает нам 10500 возможных миров, для математики 10500 — это очень много задач и примеров, которыми люди и занимаются. И, наконец, давайте рассмотрим корреляционные функции. Что это такое, я даже не буду пытаться определять. Только скажу, что это такие функции, которые содержат всю информацию обо всем. В смысле, что есть у вас физическая теория, некая квантовая теория, в которой есть поля — я обозначил их буквами Х, Ψ. Мы вычисляем средние неких операторов, задаваемые неким континуальным интегралом. Основная цель математики — это изучение корреляционных функций, в явном или в неявном виде, например, знаменитые инварианты Дональдсона четырехмерных многообразий. Эти корреляционные функции — в некой топологической квантовой теории поля, а что делает настоящая квантовая теория поля? Ее корреляционные функции описывают мир, который мы видим или который дан нам в ощущениях, как говорили классики, а другие говорили: который как бы дан нам в ощущениях, то есть мы не знаем, как на самом деле, но они точно описывают. И вот эти корреляционные функции, если мы верим в существование фундаментальной квантовой теории поля, в них записана, закодирована вся возможная информация — как математическая, так и физическая, в частности, наша с вами беседа — это должно быть закодировано. Вопрос — где это закодировано, можно сказать так, что это, может, закодировано, записано, на горизонте событий черной дыры, а может быть на крышке чайника Люй Дуньбиня. Обсуждение лекцииБорис Долгин Спасибо большое. Да, математика действительно вечная. Я не в полной мере уверен, что присутствующие поняли смысл доказательства, уже не теологического или квазитеологического, а математического- почему сумма единиц, например, равна минус одной второй, может быть, дообьяснение нужно, математическое.
Леон Тахтаджян: Правильно, математически доказать — это просто регуляризация, конечно, ряд равен бесконечности, но мы используем регуляризацию при помощи дзета-функции Римана, как было написано, сумма единиц — это значение дзета-функции Римана в точке 0. Если посчитать, то получится –1/2 в точности. Значение суммы натуральных чисел — это дзета от –1, и она связана с дзета от 2, а дзета от 2 это π2/6 , и по функциональному уравнению получается –1/12 Борис Долгин: То есть в правой части этого равенства мы видим не число в том смысле, в которой мы бы этого ожидали. Леон Тахтаджян: В этом вся фишка. Вопрос из зала: Должно ли содержать общество математиков, чистых математиков, не преподавателей, и сколько их должно быть, учитывая, что Эйнштейн работал в патентном бюро? Леон Тахтаджян: Это очень хороший вопрос. Ответ на него такой: Леон Тахтаджян: Я имел в виду мир идей по Платону. Но тут могут быть разные точки зрения, многие математики — сторонники платоновского взгляда на мир, а многие — нет. Виктор Красовский: Я издал книжечку, маленькую, пародии на математику, грубо говоря. Я сам писатель, имею мехматовское образование. В книге этой исследуются проблемы, которые приводят к тому, что необходимо понять — хотя бы с помощью математики, — что такое сознание. Физика — это следствие моделей математики. Попытка в течение 10 лет выработать какой-то аппарат описания сознания, я пытался это сделать, обращался к аппарату математики и так далее. Получилась, так сказать, пародия, потому что точного решения этому нет, естественно, и все заканчивается на религии. Я пришел к тому, что существует понятие "материнство Духа", то есть Дух из Троицы является той самой занозой, которая дает нам возможность существовать. Борис Долгин: Вопрос в чем? Простите… Виктор Красовский, продолжение вопроса из зала: Вопрос в том, чтобы получить ответ на этот вопрос. Я указал свой адрес, и просьба написать вкратце, в какую лечебницу мне обращаться, или еще что-нибудь. Борис Долгин: У нас еще обязательно будут психологи-практики, в какой-то момент мы обязательно вопрос о лечебнице зададим, спасибо. Не знаю, насколько наш сегодняшний лектор готов консультировать в этой области. Леон Тахтаджян: Боюсь, что пока не готов. Наташа, вопрос из зала: У меня есть такая мысль, что математики делают то, что не нужно, хорошо, а инженеры делают то, что нужно, но плохо. Я имею в виду, что если за всем что-то видеть, смотря на единицу, думать об аксиомах, на этом можно остановиться, как вы считаете? В высокой науке в какой момент надо останавливаться и начинать какие-то реальные задачи решать? Борис Долгин: Простите, правильно ли я понял ваш вопрос, что познание мира — это не реальная задача, это общемифическая задача, а реальная — это только понять, как закрутить винтик в гайку? Наташа, продолжение вопроса из зала: Винтики тоже нужно закручивать. Борис Долгин: Нужно. Но я спрашиваю: только эта ли реальная задача? Наташа, продолжение вопроса из зала: Вопрос, когда мы подходим к задаче закручивания винтика, в какой момент надо остановиться и не забыть про винтик? Борис Долгин: Никто же и не забывает. Факультет-то называется матмех, не просто мат, но еще и мех, то есть никто о винтиках не забывает, наверное. Леон Тахтаджян: Есть другая поговорка: математик — это тот,кто любую вещь делает лучше, даже закручивает гайки, так что.. Владимир, вопрос из зала: Несколько раз было в науке, что совершенно абстрактные математические модели находили применение в физике, можно вспомнить геометрию Лобачевского, операторную теорию и так далее. Если говорить вообще, то как вы считаете, любимая математическая модель, которая строго доказала свое право на существование, она должна иметь отражение в реальном мире, или же это совершенно потусторонняя вещь, и никаких выходов на физику не будет? Борис Долгин: Вы спрашиваете об отражении или о применении? Владимир, продолжение вопроса из зала: О том, у всех ли моделей должна существовать какая-то реальная подоплека , хотя бы исходя из того, что мозг, который это все придумывает, он-то объект материального мира? Борис Долгин: Значит, подоплека уже есть, если мозг — объект… впрочем, не хочу отнимать хлеб у нашего лектора. Леон Тахтаджян: Это зависит от того, что понимать под реальным миром, правда же? На самом деле, если серьезно, то возможно, что все математические теории и модели когда-то люди будут применять. Пример такой из теории антикоммутирующих чисел, теории Грассмана, был такой немецкий математик Грассман, который ввел так называемые исчисления Грассмана, а сейчас это называется фермионы. Суперматематика, антикоммутирующие переменные, это стало одним из главных направлений в математике, применяется в геометрии, физике, а в ХIX веке Грассмана даже травили, и он влачил довольно жалкое существование. Вот такой пример. Сказать точно невозможно. Если бы у вас был хрустальный такой шар, в который можно было бы заглянуть, но у нас его нет. Игорь, вопрос из зала: Мне кажется, в основе лежит ощущение понимания… Борис Долгин: В основе чего? Простите. Игорь, продолжение вопроса из зала: В основе происходящего — например, в основе математики или любой попытки сформулировать что угодно, математика — это процесс перевода непонятно чего в информацию, создание формы. Этот процесс работает, если мы ощущаем понимание; нет понимания — язык бессмыслен становится. Вы согласны? Леон Тахтаджян: Я согласен с тем, что если нет понимания, то язык бессмыслен. Борис Долгин: Но понимание — штука субъективная; если некий математический труд не понятен персонально некоторым, человеку, который не обладает достаточным образованием, от этого он не становится бессмысленным? если существуют другие люди, которые его понимают. Игорь, продолжение вопроса из зала: Вопрос-таки, что такое понимание? Леон Тахтаджян: Могу привести пример, про Дмитрия Константиновича Фаддеева, просто я у него учился, когда был на матмехе. Он нам читал лекции, замечательный алгебраист. Вот он где-то во время войны придумал такое понятие когомологии групп, специальное понятие. Когда я его спросили: "Сколько людей, как ты думаешь, это поймут в мире", — он сказал: "Не знаю, человек 5, может быть". А сейчас это одно из фундаментальных понятий в математике, когомологии групп. Наталия Демина: У меня 2 вопроса. Леон Тахтаджян: По Перельману очень просто: я его знаю, так, но я его очень давно не видел, поэтому ничего сказать не могу. Борис Долгин: Может быть вопрос задан в более общей форме. Вы знаете довольно много математиков, бывает ли с ними так, когда математика для них перестает быть формой существования? Леон Тахтаджян: Бывает, а потом снова становится формой существования. Борис Долгин: Что касается Института Эйлера, может быть, вы расскажете о замысле, а потом ответите почему? Леон Тахтаджян: Хорошо, да, на самом деле я даже могу рассказать кратенько об истории Института Эйлера, как это все начиналось. Это все начиналось еще очень давно, еще в то незапамятное время, где-то середина 1985 года и тогда уже, в то время, тогдашнее правительство и коммунистическая партия уделяли огромное внимание развитию математики. Было знаменитое постановление ЦК КПСС о развитии математики в Советском Союзе, как потом выяснилось, я знаю людей, которые его готовили. Предполагалось, на самом деле, очень много хороших вещей, одна из них это было создание международного математического института, с целью, чтобы туда приезжали зарубежные ученые, из Америки, из Западной Европы, из Японии, потому что, как все мы прекрасно помним (а кто-то и не помнит), что в советское время очень сложно было поехать на конференцию, и вообще даже встретиться со своими коллегами. И вот такая идея как бы реализовалась, этот институт решили делать в Ленинграде, Людвиг Фаддеев был его директором, и все было замечательно. Где-то к 90-му году он начал функционировать, но, к сожалению, ситуация резко изменилась в обратную сторону, пару лет были конференции, а потом он перестал существовать, и, более того, в середине 90-х годов мафиозные структуры пытались этот институт как собственность забрать себе. Тогда Петербуржское отделение Института Стеклова, Фаддеев, Стекловка в Москве приложили массу усилий, чтобы институт спасти и отбить. Это удалось, институт остался в Академии наук, это была тяжелая борьба, потому что те люди имели некую поддержку. Его потом присоединили к петербуржскому Институту Стеклова, и там летом довольно активная жизнь идет, устраивают конференции. Но, в общем-то, идея была не про это, возрождение Института Эйлера — это была некая такая мечта, как обратно возродить российскую математику до того уровня, как она была в 1985 году, можно ли это сделать или нет. Поначалу это казалось невозможным, но потом выяснилось сильное впечатление, в частности на меня, на Людвига Фаддеева, у нас еще есть третий человек, который этим занимается, Самсон Шаташвили, физик-теоретик из Дублина, произвела сильное впечатление система мегагрантов, первых, когда получили Стас Смирнов, Борис Дубровин, Федор Богомолов, и нам казалось, что это действительно некое такое новое движение. И мы поняли, что, конечно, вещь замечательная, но сама идея этих мегагрантов странная, что они даются на 2 года, а что делать потом? Хорошо, их продлят, у вас будут студенты, аспиранты, постдоки, а куда они дальше пойдут? как все это будет спланировано? Это было непонятно. У нас возникла идея использовать существующий Институт Эйлера как некую новую вещь, на его примере смоделировать вот такие центры, как Институт в Принстоне высших исследований, Институт высших исследований под Парижем, в Бюр-сюр-Иветт. Создать такой институт, в котором были бы постоянные профессора, может, не совсем постоянные, на 3-4 месяца, например, были и постдоки, были бы аспиранты, а самое главное, там все время приезжали бы люди, и возрождалась бы математическая жизнь и в Петербурге, и в Москве. Чтобы, например, студенты от Стаса Смирнова из его лаборатории Чебышева потом приходили работать в Институт Эйлера, студенты Института Эйлера, работали бы потом в лаборатории Чебышева и так далее. Это была идея сделать институт Эйлера катализатором, из которого выросло бы что-то большее. Если будут еще вопросы, я готов ответить. Не хочу занимать все ваше время таким рассказами. Борис Долгин: Вообще-то, как живет у нас наука и образование — это тоже такая вполне классическая наша тема, поэтому это совершенно не случайно занятое время. Вопрос из зала. Владимир: Скажите, та задача, которую решил Перельман, — это одна из 23 Проблем Гильберта, которые были сформулированы 100 с чем-то лет назад, 1904, что ли, год? Сейчас у математиков есть программа на будущее, области, в которых будут прорывы, в которых есть нерешенные проблемы, по каким направлением это будет двигаться еще 100 лет вперед?
Леон Тахтаджян: Да. По-моему, Перельман решил не Проблему Гильберта, а Проблему тысячелетия Клея, это Институт Клея, это не Проблема Гильберта. Там есть еще 7 или 8 проблем. Гипотезе Пуанкаре, по-моему, 100 лет, гипотезе Римана больше, другой гипотезе меньше, есть проблема массы в полях Янга-Миллса, она совсем свежая, есть проблема P NP формальной логики, есть гипотеза Берча-Суиннертона Дайера, проблем много, так что еще есть, чем заниматься. Вопрос из зала. Сергей: В вашем рассказе всегда упоминалась связь между математикой и физикой. Я биолог. Физики занимаются красивыми, простыми вещами, биологи занимаются очень сложными и очень мутными вещами, сложными системами, например, такими, как взаимодействие и взаимоотношение между генотипом и фенотипом, где мутным и запутанным образом переходит одно в другое. Как вы думаете, какая роль математики может быть в решении этих проблем? Проблем некрасивых наук: биология, социология, экономика, может быть, даже. Борис Долгин: Почему же они некрасивые? Сергей, продолжение вопроса из зала: Они занимаются мутными вещами. Леон Тахтаджян: Знаете, ваш вопрос очень интересный, на него люди давно пытались дать ответ, например вот Эрвин Шрёдингер, физик, основатель квантовой теории, даже написал книжку про жизнь с точки зрения физики, но это было не очень, видимо, глубоко. Ответ такой, что это действительно очень сложные системы, и поэтому такое прямое применение таких математических методов, таких вот стандартных, довольно бессмысленно, хотя математика и фундаментальная наука, но нужно применять уже какие-то методы специальные, как например Больцман, в молекулярной теории газов, он же не использовал механику, он вывел свое уравнение Больцмана. Видимо, что-то такое, может быть, и имело бы смысл в биологии, что-то в таком стиле, может быть. Очень нетривиальная и глубокая задача, просто формальное применение математики абсолютно… нужно что-то новое, и глубокое. Сергей, продолжение вопроса из зала: Я ничего не понимаю в математике, кроме того, что это очень все красиво, то что вы рассказываете, но вот по моей части, там, допустим, генетике, приходится социологией заниматься, там есть тенденции искусственного усложнения, есть такие люди, которым просто очень важно, чтобы их никто не понимал, и они выглядели очень умно. Все-таки мы сможем когда-нибудь формализовать хотя бы названное взаимоотношение между генотипом и фенотипом, мне не кажется это сложным? Борис Долгин: Может быть, это не совсем к нашему сегодняшнему гостю… Сергей, продолжение вопроса из зала: Это же как религия, им приходится отвечать на все. Тогда такой вопрос, зачем вы этим занимаетесь? Это что, приносит какое-то большое удовольствие? Или большие деньги за это платят, или великий геополитический пиар? Мне просто показалось, что это красиво прежде всего. И последний вопрос, вы рассказывали про Институт Эйлера, в истории интересной математики он же не был постоянным? Всегда как-то пульсировал… Леон Тахтаджян: Попробую ответить на два последних вопроса. Зачем занимаются математикой, я могу ответить за себя только, и то как бы сложно, просто мне нравится очень это, поэтому занимаюсь, даже у меня никогда мысли не было заниматься чем-то другим. А почему другие занимаются математикой, я не могу ответить. Может, им тоже нравится, и красиво, и не обсуждается даже, настолько как бы это очевидно и ясно. Но, с другой стороны, вы правы, что видно, например, когда вы видите студента или аспиранта, то вы можете сказать сразу, он будет заниматься или ему не стоит заниматься математикой. Это как-то видно, а как это можно почувствовать, сложно определить. Борис Долгин: Есть еще вопрос, чем вы его завлекаете в математику, что вы ему показываете такого, или школьнику, чтобы заинтересовался математикой, может быть, это тоже то, из-за чего занимаются математикой? Леон Тахтаджян: И да, и нет. Пожалуй, завлекать не надо, это в Америке сейчас так делается кампания, что действительно, надо людей завлекать, по-моему, и раньше, и сейчас такой специальной кампании нет в России. Люди сами знали, что они хотят заниматься математикой. Борис Долгин: Ну почему же, были же в школе книги, которые завлекали, книги занимательных задач? Леон Тахтаджян: Но люди же их искали специально, не книги искали людей, а люди искали книги. Так завлекать — это странно, ничего не получится, человек должен сам к этому прийти. Борис Долгин: Обычно если есть увлеченный учитель, у него бывают увлеченные ученики; если его нет, то ученики вообще не могут узнать о том, что математика — это красиво. Леон Тахтаджян: Это правда, нужно показать, один раз открыть глаза, а дальше уже не важно. По поводу Института Эйлера — я, конечно, плохо знаю историю математики, но, разумеется, были времена, когда где-то математики вообще не существовало, как вот где-то в Европе, в Средние века, там было в очень зачаточном виде, или процветала, как в античности, или как сейчас, будем надеяться. Вопрос из зала. Андрей: Ваша лекция заявлена как "Математика как форма существования", мне интересно вот что — эта форма существования как изменилась, грубо говоря, Гильбертом и Геделем, между определенностью и неопределенностью, между ХIX веком и XX-м? Стало лучше в каком либо смысле, или хуже? интересно, менее интересно? Леон Тахтаджян: Очень интересный вопрос. Попробую ответить на него так, это даже где-то было написано, что Гедель изгнал математиков из рая, в каком-то смысле. А что дальше… вот вам ответ. Вопрос из зала. Константин: Скажите пожалуйста, вот вы теорию Галуа изучали? Знаете? Понимаете ее? И можете ее донести публично для слушателей? Леон Тахтаджян: На все вопросы — да. Донести публично сложно, по- настоящему донести до слушателя — это талант, дар, и это очень сложно, я бы не взялся. Вопрос из зала. Владимир: Если можно, в продолжение этого вопроса, человека рядом со мной. Вот это изгнание из рая математики в XX веке, как вы считаете, это следствие какого-то недостаточного знания пока, каких-то скрытых вещей, которые еще не открыты, или это принципиальная невозможность вообще иметь какие-то строгие системы, снизу доверху, как хотел Гильберт построить? Леон Тахтаджян: Очень сложный вопрос. Мне так кажется, что это просто какие-то несовершенства в нас, скорее, эти идеи преломляются в нас, так как-то чуть-чуть с интерференцией накладываются друг на друга — и что-то у нас такое не получается. Вопрос из зала: Можно спросить о наболевшем, о реформе Академии наук, вы сейчас находитесь в России, что коллеги ваши говорят, математики, хотят ли уехать или, наоборот, считают, что надо переждать? Что вы думаете об этой реформе? Леон Тахтаджян: Это очень важный вопрос, и я постараюсь ответить на него очень четко и ясно. Я думаю ровно то, что вот, знаете, было такое, очень много институтов РАН сделали заявление, оно было недавно принято на общих собраниях институтов. Потом академики-секретари многих отделений — математических наук, физических наук и других, — там 7 или 8 академиков-секретарей, они написали такое обращение к президенту Российской Федерации, и я просто в ответ на ваш вопрос хочу сказать: я полностью с этими высказываниями [согласен] — вот то, что я бы сказал. Повторять не буду, а просто, так сказать, отошлю к источнику. А что молодые думают, как — ситуация на сегодняшний день не очень хорошая. Разумеется, никто не знает, как это все будет происходить, но если это будет происходить так, как это все задумано и как написано в проектах, которые общедоступны, то боюсь, что мы не увидим через 10 лет математики в России. Вопрос из зала. Вениамин: Для раскрытия темы своей лекции вы выбрали 4 раздела. Я бы хотел спросить, был бы еще какой-то 5-й раздел, который вы могли бы рекомендовать для самостоятельного изучения? Леон Тахтаджян: Я выбрал 4, потом понял, что даже и это, может быть, много. Можно выбрать и 5, и 6, это функция времени: когда я готовился, я выбрал одни разделы, если бы готовился год назад или через год, может быть, выбрал бы другие разделы. Поэтому не могу вам сказать. Я выбрал то, что мне нравится, и, конечно, последний раздел — это действительно интересно. Реплика из зала. Лев: Тут на самом деле все выяснилось, для чего это делалось, но — я, конечно, на 100% не уверен, что я прав, — но мне кажется, что будущее будет ровно обратным. Борис Долгин: То есть математика будет?
Лев, продолжение вопроса из зала: Обязательно. Наука и, в частности, математика получит такой пинок под зад, что будет развиваться подпольно, если Ливанов останется. Борис Долгин: Ну да, есть такая интересная точка зрения, что многие сферы человеческой жизни нормально развиваются только тогда, когда их начинают запрещать. Леон Тахтаджян: Это правда. Если человека поставить в тяжелые условия, он будет как-то больше мобилизоваться и лучше работать, это правда. Но все-таки не хотелось бы, чтобы все общество поставили в такие условия, чтобы все лучше работали, очень не хотелось бы. Борис Долгин: Я бы, может, спросил вот о чем: как бы вы определили свою область занятий? Что вам как исследователю интересно в математике? Леон Тахтаджян: Мне интересна связь с физикой, точнее, с квантовой теорией, и интересно, как методы квантовой теории работают в совсем далеких областях. Формально то, чем я занимаюсь, можно назвать математической физикой, но это очень условное понятие, разные люди вкладывают в это разный смысл, а вот именно это — применение методов квантовой физики к классическим задачам математики, к новым или к старым, — вот это, я считаю, одно из самых красивых, что может быть. То есть вот Арнольд говорил как-то, что математика — это часть физики, а может, физика — часть математики, а может, это одно и то же, не знаю. Борис Долгин: Да, кстати, по-моему, выделял себя похожим каким-то образом Владимир Евгеньевич Захаров: видимо, это некоторая такая.. близость школ, в общем, какая-то близость. Вопрос из зала. Андрей: Вы упоминали теорию струн, квантовую теорию, на мой взгляд, наверное, справедливо будет сказать, что основные трудности теорий, которые претендуют на звание теорий всего — это именно громоздкость и сложность математического аппарата, который они используют. Есть такое выражение, что все гениальное просто. Вы допускаете, что, может быть, где-то математический аппарат неверен, может быть, его стоит как-то поменять, упростить? Борис Долгин: Зачем??? Зачем ломать то, что работает? Андрей, продолжение вопроса из зала: Может, как-то по-другому все устроено, проще? может быть, существует другое развитие математики, не то, которое есть сейчас? И еще вопрос, главный, какая, на ваш взгляд, теория всего наиболее состоятельна? Леон Тахтаджян: Давайте попробую ответить на второй вопрос. Во-первых, теории всего не существует. Теория струн претендует — раньше претендовала — на теорию всего, но таковой она не является, потому что она не имеет экспериментального подтверждения и ни одного предсказания. То, что это очень интересная теория, в которой есть 10500 разных вариантов, это ее не умаляет, но действительно ли эта теория описывает физический мир, это большой вопрос. Борис Долгин: Вы знаете, вообще, когда к нам приходит статьи или предложения от людей, которые говорят, что они, наконец, разработали теорию всего, обычно мы их на этом и посылаем. Вопрос из зала. Владимир: Известный факт, что патентные бюро не принимают проекты вечного двигателя просто с порога, хотя, насколько я помню физику, последние сомнения в законе сохранения энергии были при слабом распаде, по-моему, нейтрино, когда не могли обнаружить, было сомнение, но не у патентных проверенных! Борис Долгин: Это же не значит, что все, что хотят, речь идет о конкретных выкладках, но, собственно, смысл высказывания был совсем другой, он заключался в том, что мы не знаем, какому объекту в известной нам Вселенной эти выкладки соответствуют, корректно ли они сделаны. Владимир, продолжение вопроса из зала: Один из моих преподавателей, физик по образованию, говорил, что есть формула, по которой можно вычислить ценность любой науки и любой теории. Эта формула состоит из того, что сначала мы считаем число величин, которые мы должны ввести, чтобы сформулировать эту теорию, а потом вычитаем из него число величин, которые она объясняет, — и тогда мы получаем положительное число или отрицательное. Если нам нужно больше находить величин, чем она дает на выходе, то ее ценность даже меньше нуля, и вот таких вот теорий, у которых вообще нет предсказаний, те же суперструны, что это, извините? Леон Тахтаджян: Тут есть несколько ответов по поводу теории струн, раз уж мы об этом заговорили. Как было сказано, это очень красивая математика, поэтому математики, особенно геометры, алгебраические геометры, очень любят теорию струн за ее различные математические предсказания, которые получаются на совершенно эвристическом уровне, а потом математики это доказывают совершенно строго и используют совершенно другие методы. И когда впервые такие предсказания появились, математики были потрясены, что — вот интуиция другого типа. Так что теория струн многими воспринимается как математика, но сами, естественно, люди, которые ее разрабатывают, — это физики, физики-теоретики, и им бы хотелось получить экспериментальное подтверждение. Из теории струн есть много следствий, в частности — суперсимметрия, которая предполагает, что у каждой частицы есть суперпартнер, то есть частица с аналогичными свойствами, но с другой, грубо говоря, четностью, и так далее. Были большие надежды, что это все проверится на Большом адронном коллайдере, пока это не проявилось. Раньше люди бы считали, что — ну хорошо, предсказания теории не сбылись, значит, будем заниматься другой наукой. А есть другая точка зрения — люди говорят, что просто энергии недостаточно, дайте нам более мощный коллайдер, и так далее. Так они бы вам ответили, что у них все правильно, энергии недостаточно для подтверждения теории. Имеет ли такая теория право на существование? Пожалуй, да, но нужно ли строить коллайдер с мощностью на несколько порядков больше? Не знаю. Вопрос из зала. Маша: Вы сейчас сказали про мощности, вот в физике, например, можно сослаться на отсутствие достаточных мощностей, а в математике мы имеем дело только с миром идей и человеческим мозгом. Как вы считаете, насколько математика вообще конечна, насколько она исчерпаема? то есть она в итоге стремится закончить описание реальности, или здесь как в искусстве — она будет существовать, будут существовать новые вопросы, пока человек живет в мире? Леон Тахтаджян: Я думаю, верно последнее — как в искусстве. Борис Долгин: Я бы, может, еще попросил отрефлексировать такую предпосылку вопроса, даже явно, можно сказать, высказанного, что математику по большому счету ничего не нужно, разве только довольно заметная часть математики которая называется "Сomputer Science", требует некоторой техники, мощностей, то есть разве математику ничего не нужно? Леон Тахтаджян: Ну вот, например, для машины Тьюринга ничего не нужно, только иметь бесконечную ленту — вот и вся мощность.
ТегиПохожее
|
Целью этой книги является строгое определение чисел, многочленов и алгебраических дробей и обоснование их свойств, уже известных из школы, а не ознакомление читателя с новыми свойствами. Поэтому читатель не найдет здесь новых для него фактов (за исключением, быть может, некоторых свойств, действительных и комплексных чисел), но узнает, как доказываются вещи, хорошо ему известные, начиная с «дважды два — четыре» и кончая правилами действий с многочленами и алгебраическими дробями. Зато читатель познакомится с рядом общих понятий, играющих в алгебре основную роль.
Эта книга предназначена для широкого круга читателей, желающих узнать больше об окружающем нас мире и о самих себе. Автор, известный ученый и популяризатор науки, с необычайной ясностью и глубиной объясняет устройство Вселенной, тайны квантового мира и генетики, эволюцию жизни и показывает важность математики для познания всей природы и человеческого разума в частности.
Корректно ответить на этот вопрос нельзя, поскольку числовой ряд не имеет верхнего предела. Так, к любому числу достаточно всего лишь прибавить единицу, чтобы получить число ещё большее. Хотя сами числа бесконечны, собственных названий у них не так уж и много, так как большинство из них довольствуются именами, составленными из чисел меньших. Понятно, что в конечном наборе чисел, которых человечество наградило собственным именем, должно быть какое-то наибольшее число. Но как оно называется и чему оно равно? Давайте же, попробуем в этом разобраться и заодно узнать, насколько большие числа придумали математики.
Уверены ли вы, что точно представляете себе бесконечность? Харизматичный математик Джеймс запросто убедит вас в обратном.
Почему минус один умножить на минус один равно плюс один? Почему минус один умножить на плюс один равно минус один? Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.
Парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.| Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Видео ≫ Математика как форма существования мира идей в нашем сознании // Леон Тахтаджян |
|
[time: 10 ms; queries: 7]
15 Ноя 2024 07:00:22 GMT+3 |