Дополнительное пояснение к некоторым моментам выпуска для тех, кто, возможно, заинтересовался какими-то тонкостями или что-то недопонял.



Проблема актуальной и потенциальной бесконечности, обычно можно встретить как одну из первых проблем в философии математики. Эти вопросы обсуждались древнегреческими философами и математиками, и затем эта тема наследовалась европейскими учеными.
Однако, может быть не понятно, чем отличается потенциальная от актуальной бесконечности. Потенциальная бесконечность для древних греков весьма естественное понятие.
Проще всего пояснить это на примере.
Какое самое большое натуральное число? Такого числа, как вы знаете, не существует. Что легко показать. Возьмем какое-нибудь число, например, гугол — единица с сотней нулей, или 10^100. Это очень большое число. Самое ли оно большое? Да, нет, прибавим 1 и это будет большее число. Какое-бы безумно огромное число мы не взяли, вроде числа Грэма, всегда можно прибавить единицу и получить больше. Именно это свойство и называется «потенциальная бесконечность». С этой позиции вы, как бы, не имеете бесконечность чисел, но всегда можете получить большее число.
Актуальная же бесконечность, это все множество натуральных чисел в целом. Или бесконечно большая величина. То есть то, что мы обычно понимаем под бесконечностью буквально.


Понятие множество на самом деле неопределимое. Это понятие аналогично понятиям «точка» или «прямая» в геометрии Евклида, или «сила» в механике Ньютона, т.е. понятие определяемое из аксиом. Такие понятия — это необходимость, поскольку нельзя все слова определять через слова, в какой-то момент слова закончатся. Именно для того, чтобы подвести основания под все определения в теории, создаются аксиоматики.
Понятие «множество» в современном понимании задается аксиоматикой ZFC или иной аксиоматикой. Но для более простого понимания, достаточно просто знать, что это некая совокупность чего угодно. Самым простым множеством является пустое множество - в котором нет элементов. Также понятно, что такое множество единственное.


Мощность для множеств — это, как понятие «длина» для вектора. Потому ее изображают часто как модуль «|  |». Это ключевая характеристика множеств и основное понятие, введенное Кантором. Понятно, что мощности всех конечных множеств будут 0, 1, 2, 3, и так далее, из множества всех натуральных чисел. Но как же мощности бесконечных чисел? Кантор для них ввел так называемые «кардинальные числа», которые как бы представляют разные мощности бесконечных множеств.

Для их обозначения он использовал букву иврита — алеф. Например, алеф нуль

Алеф ноль

Это мощность множества натуральных чисел, то есть мощность счётных множеств. Далее, следующая мощность — это алеф один, потом алеф два и так далее. Примечательно, что неизвестно, какое из алефов обозначает мощность континуальных множеств, относительно множества действительных чисел. Потому его обозначают часто просто, как алеф. Континуум гипотеза, обсуждаемая далее в ролике - это предположение, что алеф равно алеф один. Но, как уже говорилось, континуум гипотеза недоказуема, поэтому континуум может быть как алеф один, так и, например, алеф два.

Кардинальные числа тесно связаны с ординальными числами, числами которые вместо мощности отвечают за порядок. Об этом есть немного в видео Vsauce [https://youtu.be/vlIA0ujw8lI]. Для тех кто хочет почитать об этом более научно, есть Колмогоров и Фомин [Элементы теории функций и теории функции. — А. Н. Колмогоров С.В. Фомин., Гл. 1,§ 4].

Взаимно-однозначное отображение или же биекция это функция с очень важным значением в математике. Что это такое? Это функция из множества А во множество B, которая отображает разные элементы A в разные элементы B. При этом отображение действует в любой элемент из B. То есть любой элемент из B имеет «прообраз» в A.
Эти свойства, вместе с определением функции, т. е. с тем что функция не отображает из одного в несколько, образуют ту самую картинку стрелочек от одного к другому.

Биекция

В рассказе о диагональном аргументе есть несколько «но».

Во первых перевод действительных чисел в двоичную систему необязателен, и делается авторами обычно чтобы более наглядно было построение «отрицания диагонали». Мы просто меняем 0 на 1, а 1 на 0. Можно действительные числа не преобразовывать в двоичную форму, и менять цифры в диагонали просто с текущего на любую другую.

Второй более важный момент, это совпадающие числа. Так как этот факт далеко не всем известен, и его объяснение требует дополнительного времени и усилий, это в видео не упоминается вообще. Дело в том, что некоторые среди действительных чисел имеют два вида записи через действительную дробь. А именно это числа вида 0.99999… и 1.0000000…. То есть числа оканчивающиеся на периодическую девятку и периодический ноль. Число 0.4567999999… в точности равно 0.456800000… При переводе в двоичную систему, это образует пары равных чисел навроде: 0.1111111…. = 1.0000000…
Это следствие построения десятичных дробей, и увы в нашем случае это весьма мешает строгому выводу. Ведь мы предполагаем, что если запись не совпадает хотя бы в одной цифре, то это два разных действительных числа, что на самом деле не всегда так.

Как это можно исправить? самый простой способ не переводить в двоичную систему, а пользоваться обычной записью. После получения диагонали, все кроме единицы меняем на 1. А если попадается 1, то меняем на 2. Тогда число получится только из 1 и 2. Что в записи не будет иметь ни 0 ни 9, а значит и не будет одним из перечисленных совпадающих чисел.
Можно также пойти другим путем. Если мы получили некое лишнее число, в двоичной записи, это означает как минимум, что записи действительных чисел — множество больше чем натуральные числа. Числа вида 0.1111111… = 1.0000000… рациональные, что значит их не более чем натуральных. Если мы предположим, что чисел действительных счетное число, то записей их в двоичном виде должно быть тоже счетное. Что противоречит выводу диагонального аргумента. Данный вывод более мудреный, потому я думаю понятнее будет первое.



Рассел на самом деле открыл свой парадокс в попытке решить парадокс Кантора, о том что нет множества всех множеств. В результате пришел к своему парадоксу.
И тот и другой парадокс строят множества, существование которых вызывает противоречия. Может возникнуть вопрос, а почему просто не сказать что их не существует? Проблема в том, что основным правилом наивной теории множеств было существование всех множеств задаваемых логическим правилом. Поэтому по сути предоставления «несуществующих» множеств означает противоречие в началах наивной теории множеств.
Парадокс Рассела легко переходит в логику, если использовать предикаты с саморефлексией. По сути предикат в логике первого порядка представляет собой тоже некое «любое логическое правило». Это и позволяет перевести одно в другое.
Интересно, что Цермело утверждал, что нашел этот парадокс независимо раньше Рассела, о чем сказал Гильберту. Гильберт же в свою очередь подтверждал это и указывал, что он об этом догадался еще раньше… [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086081900021]



Как уже говорилось Брауэр и интуиционисты считали, что закон исключенного третьего не обязательно работает на бесконечных множествах. Может быть непонятно, почему конкретно математикам кажется, что бесконечность как-то влияет на результаты.
Если строить аналогии, то известны случаи когда продолжение какой-то операции до бесконечности может давать контр-интуитивный ответ, который казалось бы вообще никак не может получится. Хороший пример это бесконечные суммы, или ряды.
Классическая теория рядов — это теория о том как складывать бесконечно, однако, для практических целей часто надо складывать такие ряды, которые по этой теории «расходятся». Поэтому математики бились над новым более продвинутым понятием бесконечной суммы, и в итоге Рамануджан ввел настолько продвинутое определение, которое позволило сложить натуральные числа
И получить –1/12. Весьма странное число, не являющееся ни натуральным, ни даже целым. Этот пример, показывает как привычные казалось бы законы суммы на бесконечности могут изменяться до неузнаваемости.

Аналогичный случай с рядом
Казалось бы есть только два варианта суммы на любом шаге: 0 и 1, но на бесконечности мы получаем третий вариант 1/2.

Видимо, нечто похожее Брауэр имел ввиду о законе исключенного третьего.


Первым следствием аксиомы выбора — является, как уже было сказано теорема Цермело: любое множество можно вполне упорядочить.

В видео говорилось, что значит «вполне» и «упорядочить», однако, надо сказать, что это упрощение. По крайне мере, за определение слова «упорядочить» взято на самом деле определение «линейно упорядочить». Что впрочем на суть не влияет.

Сложность упорядочивания множества действительных чисел, конечно, не в задании этого линейного порядка, а именно в том, что стоит за словом «вполне». То есть, то что относительного такого заданного порядка в любом непустом подмножестве есть минимальный элемент.
Например, если взять отрезок [0,1], то минимальный элемент в нем существует и это 0. Но, если взять интервал (0,1), то минимального элемента здесь не существует. Интервал включает, все числа большие 0 и меньшие 1, но не включая сами 0 и 1. Если взять какое-то безумно маленькое, но не нулевое число, например: 0.00000000000000000000000000000001, всегда можно добавить еще нолик, получив число меньше, но все еще больше нуля. Это бесконечная плотность, не позволяет понять каким образом устроить порядок во множестве действительных чисел, чтобы вообще во всех подмножествах был минимум.

Эта теорема кроме всего прочего, является основной так называемого «нестандартного анализа». Это теория по сути эквивалентная математическому анализу, но построенная на изначальных принципах Лейбница — на существовании бесконечно малых величин. Если у нас уже есть аксиома выбора, а с ней и теорема Цермело, то мы можем просто воспользоваться следствием сказав, что раз действительные числа можно вполне упорядочить, то давайте минимум назовём тем самым бесконечно-малым числом, больше нуля но меньше любого другого, конечного. Так с помощью теоремы Цермело и немного общей алгебры можно построить вариант матанализа по Лейбницу, без понятия предела.


Теория меры является по сути результатом обобщения понятия интеграла. Собственно интеграл Лебега, про который можно встретить очень много математических мемчиков, является обобщением обычного интеграла, или интеграла Римана, проделанного с помощью абстрактного понятия меры. Мера задается произвольно на множествах, так чтобы сохранились некоторые свойства, характерные для объёмов. Одно из важнейших свойств счётная аддитивность — то есть мера объединения счётного числа множеств, равна сумме мер этих множеств. Измеримость означает наличие меры у множества. На первый взгляд при построении казалось, что мера есть у любого множества, по крайне мере, если представлять эти множества как-то геометрически, однако, Джузеппе Витали представил пример неизмеримого множества с помощью той самой аксиомы выбора.
В целом эта теория является углубленным изучением обычного математического анализа, особенный интерес в котором является понятия непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости. На самом деле в своей основе теория базировалась на теории множеств, и была одним из важнейших фактором принятия канторовской теории.



На самом деле оба результата в теоремах Гёделя связаны, то есть независимость непротиворечивости напрямую связано с неполнотой. Гёдель получил, что формула содержательно утверждающая непротиворечивость формальной системы — есть та самая формула недоказуемая в рамках самой аксиоматики.

Маленькая ремарка состоит в том, что теоремы очень плотно связаны с всё теми же парадоксами теории множеств. В «стандартной интерпретации» можно вывести, что если некое А — недоказуемая формула, то А оказывается равным высказыванию «формула А — недоказуема», что сильно походит на рефлексивные парадоксы вроде лжеца или Рассела. Может показаться, что это порочный круг, и он нарушает какие-то правила, однако, это не так. Во первых формула невыводима. Во вторых то, чему она равна получается лишь в последствии и так сказать «по воле случая».

Теперь об ограничениях теорем Гёделя. Они работают для формальных систем первого порядка. Это аксиоматики устроенные по типу арифметики, обычно аксиоматизируемые с помощью бесконечного набора аксиом, который записывается как конечная «схема» по которой строится весь набор аксиом. (ZFC имеет на самом деле в развернутом виде ту же структуру, и можно свести ее непротиворечивость к непротиворечивости арифметики). Аксиоматики другого типа естественно к теореме не подходят. Однако, к сожалению основные математические теории именно такие.

Второе ограничение применимости это конечность доказательств, и вообще интуиционистские принципы метаматематики. Гёдель следовал программе Гильберта, и предполагал, например, что нечто доказано, если можно провести конечную логическую символьную цепочку преобразований. Бесконечные из такого вывода выкинуты. Возможно все проблемы с полнотой исчезают при допущении бесконечных преобразований. «Но» состоит в том, что бесконечность всегда добавляет некой неопределенности и неинтуитивности в выводах. И вообще вся метаматематика была придумана, чтобы закрыть вопросы бесконечности конечными рассуждениями. Что, как видно, не вышло.

Добавив возможность «трансфинитной индукции» — бесконечных доказательств, записав это как аксиому в логику первого порядка, в 1936 году Герхардом Генценом была доказана непротиворечивость арифметики. Однако, с неполнотой так и не удалось справится.


Аксиома выбора — является одним из спорных моментов ZFC, настолько, что математики постоянно выделяют выводы, которые построены на ней. Поэтому эту аксиому часто пытаются заменить на более приемлемые, со стороны авторов.

Изначальным самым простым вариантом «ограничения силы» аксиомы выбора — была так называемая «счётная аксиома выбора». В ней вместо любой совокупности любых множеств, выбор можно сделать только в счётной совокупности любых множеств. Эта аксиома также не допускает удвоение шара Банаха-Тарского и другие контринтуитивные вещи.
Из нее следует большинство теорем анализа, но теория множеств оказывается довольно ограниченной в средствах.
Упомянутая в ролике AD — аксиома детерминированности, есть более сильная аксиома, из нее аксиома счетного выбора следует. Поэтому я предпочел упомянуть в ролике именно её.

Как строится аксиома детерминированности? Она строится на теории игр. Дано некое множество последовательностей натуральных чисел А. И есть два игрока, что выбирают поочередно натуральные числа. Причем игра длится бесконечно — формируя некую бесконечную последовательность. Если эта последовательность часть этого А, то выиграл первый игрок, нет — то второй.

Суть в том, есть ли четкий алгоритм выигрыша у какого-то из игроков. Если такой алгоритм существует хотя бы у одного, то множество А — детерминировано, нет, тогда такое множество не удовлетворяет аксиоме детерминированности.


Если хочется узнать больше о кризисе оснований, и истории математики, то советую прочитать «Утрата определенности» Мориса Клайна. Множество исторических фактов касающихся истории парадоксов и проблем с непротиворечивостью в ролике базировались на этом произведении. Книга не требует особого математического образования.
Неплохой также является книга Френкеля, одного из участников событий, — Френкель А.А., Бар-Хиллел И «Основания теории множеств». Книга уже настоящий математический трактат, но с вкраплениями истории и пояснений о разногласиях внутри математического сообщества.
По математике и основании теории множеств можно прочитать Колмогоров А.Н. и Фомин С.В. «Элементы теории функций и функционального анализа». Там же можно найти сведения о теории меры, и вообще множество различных основных фактов математики.