Часть 1

Часть 2

Часть 3

Часть 4

Все мы знаем, что математика доказывает импликации. Другими словами, мы доказываем не то, что какое-то утверждение верно, а то, что оно следует из принятых нами аксиом. Но при этом часто недооценивается, насколько сильно можно поменять набор аксиом.

Одно из базовых понятий математики, на которых видна степень условности выбора конкретного набора аксиом — понятие множества. Сначала оно казалось совершенно очевидным. К сожалению, этот подход привёл к противоречиям. После этого стали развиваться разные способы работать со множествами не приходя к парадоксам.

Понятие множества используется во многих разделах математики, из-за чего работать со множествами обычно учат постепенно, по кусочкам добавляя факты как естественные и самоочевидные основы, пока не получится теория, носящая имя ZFC. Из-за этого часто оказывается заметён под ковёр тот факт, что ZFC лишь один из возможных вариантов и что замена оснований теории множеств совсем не обязана рушить другие разделы математики. Курс будет посвящён рассказу о том, что может быть проблемой при пользовании какой-то аксиоматикой и сколь разнообразны варианты.

В курсе простые вещи будут доказываться, а сложные — приниматься на веру; так будет сделано не только для того, чтобы легче обманывать легковерных участников, но и для того, чтобы показать связи между далеко разбросанными темами без чтения по каждой семестрового курса.

Предварительные требования будут изменены в соответствии со знаниями и интересами аудитории; я надеюсь, что обозначения →, ∀, ∨, ∈, ∈, ∪, … всё же всем знакомы и привычны настолько, что ошибочно кажутся понятными.

Планируемая программа курса:

1. Пятый постулат геометрии как пример оспаривавшейся аксиомы. Что такое «на самом деле» и есть ли правда? Как сравнивать непротиворечивость.
   
2. Наивная теория множеств: вопросы с двумя противоречащими ответами и вопросы без ответов. Гипотеза континуума.
   
3. Скользкая дорожка: что и насколько мы можем определить, и что из этого нам понадобится ещё до того, как мы поймём слово «определение»? Почему важно, что же такое натуральные числа: PA и Q, или сколько надо для аксиоматизации понятия аксиомы.
   
4. Что такое ZFC и откуда в её названии каждая из букв. Естественность и неестественность того, во что мы хотим поверить.
   
5. Тонкая настройка: что такое аксиома выбора, можно ли от неё отказаться наполовину и что нам за это будет.
   
6. С головой в омут: теория типов, теория множеств «New Foundations» и их варианты. Как ввести множество всех множеств без парадоксов и можно ли вводить правила по мере надобности, а не сразу списком.
   
7. Опять к тому, зачем всё это: что надо математике от теории множеств и всякая ли теория множеств может это дать? Как замаскировать вопрос по теории множеств под вопрос по математике.
   
8. Конкретность моделей и иллюзии высшего порядка: как заменить познаваемое, хотя и непознанное, на что-то, о чём нельзя даже сказать.
   
9. Далее везде: ординалы, числа и числа Конвея, или почему каждый шаг в построении математики можно пройти по-разному.

Раскин Михаил Александрович.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
22-29 июля 2013 г.