В теории множеств есть несколько известных вопросов о том, следует ли из некоторых аксиом другая аксиома (или гипотеза; аксиома — это просто гипотеза, которой пользуется подавляющее большинство). Как и в других областях математики, недоказуемость можно продемонстрировать с помощью модели, в которой верны предположения, но не верна гипотеза. Для построения одного из самых известных таких примеров, модели теории множеств, в которой есть промежуточная мощность между мощностями натурального ряда и вещественной прямой, Коэн разработал метод вынуждения.

При развитии теории множеств, на которой базируется вся современная математика, возникали парадоксы. Например, парадокс брадобрея, формулируемый следующим образом: «Бреет ли себя брадобрей, если он бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет?» В брошюре рассказывается о том, как теория множеств обходится с подобными ситуациями, а также о других парадоксах, в том числе возникающих при рассмотрении аксиомы выбора. В частности, вы узнаете, как из одного апельсина сделать два. Приведены задачи, самостоятельное решение которых поможет читателю более полно разобраться в материале. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.

Основные понятия, операции над множествами, тождества, свойства дополнения, правило Де Моргана, свойства симметрической разности; отображение (функция), факторотображение, отношение эквивалентности, парадокс брадобрея; упорядоченные множества, минимальный, наименьший, максимальный и наибольший элементы в упорядоченном множестве, мажоранта и миноранта; аксиома выбора, вполне упорядоченное множество.

Парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.

Все мы знаем, что математика доказывает импликации. Другими словами, мы доказываем не то, что какое-то утверждение верно, а то, что оно следует из принятых нами аксиом. Но при этом часто недооценивается, насколько сильно можно поменять набор аксиом. Одно из базовых понятий математики, на которых видна степень условности выбора конкретного набора аксиом – понятие множества. Сначала оно казалось совершенно очевидным. К сожалению, этот подход привёл к противоречиям. После этого стали развиваться разные способы работать со множествами не приходя к парадоксам. Понятие множества используется во многих разделах математики, из-за чего работать со множествами обычно учат постепенно, по кусочкам добавляя факты как естественные и самоочевидные основы, пока не получится теория, носящая имя ZFC. Из-за этого часто оказывается заметён под ковёр тот факт, что ZFC лишь один из возможных вариантов и что замена оснований теории множеств совсем не обязана рушить другие разделы математики. Курс будет посвящён рассказу о том, что может быть проблемой при пользовании какой-то аксиоматикой и сколь разнообразны варианты. Предварительные требования будут изменены в соответствии со знаниями и интересами аудитории; я надеюсь, что обозначения →, ∀, ∨, ∈, ∈, ∪, … всё же всем знакомы и привычны настолько, что ошибочно кажутся понятными.

Уверены ли вы, что точно представляете себе бесконечность? Харизматичный математик Джеймс запросто убедит вас в обратном.

Когда у меня в руках оказалась старая картонная папка, я был уже уверен, что в ней не вырезки из газет о «царице полей» кукурузе. И совершенно не удивился тому, что моя уверенность оправдалась. В папке находились рукописи или, точнее, черновики двух статей — «Принципы семиотической термодинамики», «Отказ от исключения» — и целая пачка других, для прочтения которых потребуется еще много усилий. Ни имени автора, ни даты написания на листках не было. Вероятнее всего, папку забыл кто-то из «дикарей» прошлых лет. Не имея возможности объясниться с автором, я решил предложить вашему вниманию свой вариант расшифровки одной из этих до крайности небрежно написанных неудобочитаемым почерком статей.

Если в качестве значений переменных разрешается брать только элементы носителя, язык называют элементарным языком, или языком первого порядка. Если же в качестве значений переменных разрешается брать также функции и отношения, язык называют языком второго порядка. Выразительные возможности языков первого порядка довольно ограничены. Например, на языке первого порядка можно сообщить, что носитель содержит ровно 17 элементов, но невозможно выразить его конечность. На языке второго порядка выразить конечность носителя возможно. Возникает совершенно естественное недоумение: а зачем тогда пользоваться языками первого порядка с их бедными выразительными средствами, не лучше ли пользоваться языками второго порядка?

В стандартной интерпретации гёделева неразрешимая формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в системе S. Таким образом, A является аналогом парадокса лжеца. Рассуждения Гёделя в целом очень похожи на парадокс Ришара. Более того, для доказательства существования невыводимых утверждений может быть использован любой семантический парадокс.

Всякая надежда на создание единой математической теории, амбициозного проекта, который был предложен математиком Давидом Гильбертом в 19 веке и продолжил существовать, поддерживаемый многими, в 20 столетии, рухнула. Основы математики были далеко не столь надежными, как того хотел бы Гильберт. А Гëдель своими теоремами ясно продемонстрировал, что любая система аксиом, какой бы обширной она ни была, уязвима для возникновения невосполнимых пробелов. Попытки же восполнить их созданием более полной системы породили бы только бóльшее количество утверждений без доказательств — так что и тут возникнет необходимость в усовершенствовании системы, и так далее до бесконечности. И случилось нечто странное: математики решили не обращать на это внимания. Они посчитали, что неполнота систем не имеет непосредственного влияния на их работу.