Формула языка математической логики тогда становится истинной или ложной, когда она ассоциируется с некоторым множеством, называемым носителем интерпретации. Этот носитель служит прямым или косвенным источником для назначения значений встречающихся в формуле имён и переменных — прямым, если в качестве значений берутся элементы носителя; косвенным, если в качестве значений берутся функции или отношения, определённые на носителе. Если в качестве значений переменных разрешается брать только элементы носителя, язык называют элементарным языком, или языком первого порядка. Если же в качестве значений переменных разрешается брать также функции и отношения, язык называют языком второго порядка.

Выразительные возможности языков первого порядка довольно ограничены. Например, на языке первого порядка можно сообщить, что носитель содержит ровно 17 элементов, но невозможно выразить его конечность.

На языке второго порядка выразить конечность носителя возможно. Возникает совершенно естественное недоумение: а зачем тогда пользоваться языками первого порядка с их бедными выразительными средствами, не лучше ли пользоваться языками второго порядка? Однако выразительные средства языков второго порядка оказываются слишком богатыми. В частности, на языке второго порядка можно написать формулу, выражающую существование множества с мощностью, промежуточной между мощностями счётной и континуальной. В свете известных результатов Гёделя 1940 г. и Коэна 1963 г. сама постановка вопроса о том, является эта формула истинной или ложной, перестаёт иметь ясный смысл.

На занятии предполагается проиллюстрировать сказанное конкретными примерами, в частности — предъявить ту выражающую континуум-гипотезу формулу, о которой выше шла речь.

Материалы к лекции:


Успенский Владимир Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20 июля 2012 г.