Представления симметрической группы, как первый шаг к категорным представлениям алгебр Ли
Теория представлений изучает представления матрицами алгебраических структур. Самой базовой алгебраической структурой является группа, а самыми базовыми группами — симметрические группы, также известные, как группы подстановок. Классический подход к построению (и классификации) представлений состоит в том, чтобы взять диаграмму Юнга, по ней построить так называемые симметризаторы Юнга, с помощью которых можно реализовать любое неприводимое представление с комплексными коэффициентами внутри групповой алгебры. Этот подход показывает, что неприводимые представления параметризуются диаграммами Юнга, но не объясняет, почему диаграммы являются «правильным» параметризующим множеством.
Более современный подход, принадлежащий Вершику и Окунькову, устраняет этот недостаток, индуктивно строя представления симметрических групп. Этот подход является одной из отправных точек для теории представлений алгебр Ли в категориях, одном из самых ярких направлений в теории представлений 2000-ых, и позволяет получать новые результаты о представлениях симметрических групп над полями положительной характеристики, где многие базовые результаты, основной из которых – вычисление характеров неприводимых представлений, остаются неизвестными.
В своих четырех лекциях я введу основные сведения из теории представлений конечных групп, объясню подход Вершика и Окунькова к представлениям симметрических групп. Если останется время, я расскажу о том, что происходит в положительной характеристике и при чем тут алгебры Ли. Курс должен быть понятен студентам, начиная с первого курса, хорошо освоившим курс алгебры.
Иван Вадимович Лосев
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
21–26 июля 2015 г.
Похожее
-
Иван Лосев
Общепринятый формализм классической (гамильтоновой) механики подразумевает, что наблюдаемые образуют алгебру Пуассона, а эволюция системы задается уравнением Гамильтона. В общепринятом квантово-механическом формализме наблюдаемые — это самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, а эволюция задается уравнением Гейзенберга. Эти два уравнения похожи, но природа наблюдаемых совершенно разная. Это затрудняет переход как от классического к квантовому, так и обратно. По этой причине в [BFFLS] был предложен более простой (и более алгебраический) формализм для квантовой механики, в котором квантовая алгебра наблюдаемых становится деформацией классической. Я начну с того, что на примере потенциальной системы объясню возникновение скобки Пуассона и уравнения Гамильтона. Затем я поговорю о деформациях алгебр и объясню почему деформационный формализм с легкостью обеспечивает переход к квазиклассическому пределу.
-
Алексей Савватеев
Геометрия — классическая Евклидова, Лобачевского, проективная и сферическая — не получает достаточного внимания в программах современных мат.факультетов (не говоря уже о школах). В то же время она наглядна и на редкость красива. Многие утверждения визуально очевидны и в то же время неожиданные (почему самолёт, летящий из Иркутска в Лиссабон, стартует сперва в направлении Норильска?) За 8 лекций слушатели ознакомятся с начальными сведениями в этой области математики, берущей своё начало более двух тысячелетий назад. Закончим мы гораздо более сложным материалом, непосредственно выводящим на современные разделы науки. Будут затронуты основы теории групп и алгебр Ли.
-
Алексей Семихатов
Как математически были классифицированы симметрии явлений? Как соотносятся полупростые группы Ли и физика элементарных частиц? Что явилось математической предпосылкой существования кварков? О полупростых группах Ли, классификации элементарных частиц и математических моделях в природе рассказывает Алексей Михайлович Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.
-
Михаил Тёмкин
Приставляя тетраэдры друг к другу по граням можно получать примеры симплициальных комплексов — важного математического объекта. Раскрасим треугольники такого сооружения в чёрный и белый цвета и назовём раскраску хорошей, если каждый тетраэдр имеет поровну чёрных и белых граней. Оказывается, что в случае (стандартно симплициально разбитых) маломерных сфер множество белых треугольников оказывается объектом, достойным изучения: листом Мёбиуса или проективной плоскостью. При описании того, как именно эти объекты разбиты на треугольники у нас естественным образом возникнет икосаэдр — замечательный правильный многогранник. Исследование группы его самосовмещений позволит понять, сколько существует хороших раскрасок. По пути нам встретятся такие важные базовые понятия математики, как вышеупомянутые симплициальный комплекс и группа симметрий, действие и пр.
-
Иван Аржанцев
В этом курсе изучается такой замечательный и вполне элементарный объект, как конечномерные коммутативные ассоциативные алгебры над комплексными числами. Здесь достаточно легко доказать первые структурные результаты, но получить полную классификацию едва ли возможно. Мы обсудим различные техники работы с конечномерными алгебрами (максимальные идеалы и локальные алгебры, фильтрации и градуировки, последовательность Гильберта-Самюэля и цоколь) и получим явное описание алгебр малых размерностей. Оказывается, конечномерные алгебры тесно связаны с действиями с открытой орбитой коммутативных групп матриц на аффинных и проективных пространствах. Мы объясним эту связь. В процессе объяснения естественно возникнут такие понятия как экспонента линейного оператора, представление группы и циклический модуль, алгебра Ли и ее универсальная обертывающая.
-
Алексей Белов
Планируется рассказать про свойства символьных последовательностей, и замечательные теоремы с ними связанные и их обобщения. Например, известно, что следующие классы слов почти эквивалентны: буквы a, b самым тщательным образом перемешаны, т.е. в кусках одинаковой длинны количество символов каждого сорта отличается не более чем на 1; количество различных подслов длины n равно n+1, т.е. минимально возможное; слово получается из поворота окружности на величину α при фиксации буквой a попадания на дугу длины α. Обобщение этой теоремы дает задача Арнольда о перекладывания отрезков. Красивые элементарные факты о поведении слов в которые добавляется не слишком много запретов, отражаются на теореме Голода–Шафаревича. Наверное, стоит упомянуть также теорему Ширшова о высоте.
-
Алексей Белов
Рассмотрим s-порожденную группу (s<1) с тождеством x^n=1. Будет ли она конечна? Ответ положителен при n=2 (легкое упражнение), при n=3 (это уровень сложной задачи студенческой олимпиады), при n=4 (проблема стояла около 40 лет) при n=6 (проблема стояла около 50 лет). При n=5 ничего не известно! В середине 20 века П. С. Новиковым и С. И. Адяном было показано, что если n нечетное число ≥661 то такая группа может быть бесконечна. А. И. Мальцев рассматривал этот результат как основное событие алгебры 20 века (эту точку зрения разделяет, в частности, И. Рипс, чьи исследования были вдохновлены работами П. С. Новикова-С. И. Адяна). Недавно С. И. Адян улучшил оценку до 101.
-
Георгий Шабат
Предполагается прочесть четыре лекции. Первые две будут популярны и общепонятны, а третья и четвёртая будут содержать довольно поверхностные обзоры некоторых перспективных направлений современной математики. 1. О геометрии над конечными полями. 2. Группы Шевалле и группы перестановок. 3. Линейная алгебра над F1 и гомотопическая топология. 4. Разное. Обобщённые кольца Дурова и F∅, F±1, F∞√1. Анализ на множестве корней из единицы (по Хабиро, Концевичу, Манину). О геометрии Аракелова. О тропической математике.
-
Алексей Белов
Произведение элементов пишут в виде слова, изображаемого отрезком. А что значит умножить элементы по кругу? Какой смысл имеет мозаика, составленная из таких кругов? Понимание такого рода вещей приводит к решению ряда открытых вопросов. Например, допустим мы хотим задать конечным числом соотношений полугруппу в которой степень любого элемента равна нулю. Конечным числом запрещенных подслов на прямой нельзя добиться того, чтобы были сколь угодно длинные слова без запрещенных подслов и в то же время не было таких периодических слов. В то же время на плоскости существуют конечные системы запретов допускающие только апериодические замощения. Но как умножать с разных сторон? Эти и другие вопросы предполагается обсудить.
-
Александр Буфетов, Роман Авдеев
Курс посвящён обобщению понятия вращения евклидова пространства. Оказывается, что с каждым евклидовым пространством можно связать новое пространство, объекты которого называются спинорами. Между исходным пространством и пространством спиноров имеется замечательная связь: всякому вращению исходного пространства можно сопоставить преобразование пространства спиноров, определённое однозначно с точностью до знака. Получаемые таким образом преобразования пространства спиноров образуют группу, называемую спинорной группой.
Далее >>>
|
|
