Эта лекция является до некоторой степени продолжением лекций Александра Кириллова «Геометрическое квантование», но будет независима как от них, так и от моего курса про квантовые группы (но я буду предполагать, что слушатели знают, что такое алгебра Ли).

Общепринятый формализм классической (гамильтоновой) механики подразумевает, что наблюдаемые образуют алгебру Пуассона, а эволюция системы задается уравнением Гамильтона. В общепринятом квантово-механическом формализме наблюдаемые — это самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, а эволюция задается уравнением Гейзенберга. Эти два уравнения похожи, но природа наблюдаемых совершенно разная. Это затрудняет переход как от классического к квантовому (квантование), так и обратно (квазиклассический предел).

По этой причине в [BFFLS] был предложен более простой (и более алгебраический) формализм для квантовой механики, в котором квантовая алгебра наблюдаемых становится деформацией классической.

Цель этой лекции — объяснить то, что сказано в предыдущих двух параграфах. Я начну с того, что на примере потенциальной системы объясню возникновение скобки Пуассона и уравнения Гамильтона. Затем я поговорю о деформациях алгебр и объясню почему деформационный формализм с легкостью обеспечивает переход к квазиклассическому пределу.

Материалы: Losev_Def-1.pdf (1.7 Mb); Losev_Def-2.pdf (723.0 Kb).

Лосев Иван Вадимович

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
26 июля 2012 г.