|
||
|
|
||
| Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Видео ≫ Деформационное квантование // Иван Лосев |
Деформационное квантованиеИван Лосев
Эта лекция является до некоторой степени продолжением лекций Александра Кириллова «Геометрическое квантование», но будет независима как от них, так и от моего курса про квантовые группы (но я буду предполагать, что слушатели знают, что такое алгебра Ли). Общепринятый формализм классической (гамильтоновой) механики подразумевает, что наблюдаемые образуют алгебру Пуассона, а эволюция системы задается уравнением Гамильтона. В общепринятом квантово-механическом формализме наблюдаемые — это самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, а эволюция задается уравнением Гейзенберга. Эти два уравнения похожи, но природа наблюдаемых совершенно разная. Это затрудняет переход как от классического к квантовому (квантование), так и обратно (квазиклассический предел). По этой причине в [BFFLS] был предложен более простой (и более алгебраический) формализм для квантовой механики, в котором квантовая алгебра наблюдаемых становится деформацией классической. Цель этой лекции — объяснить то, что сказано в предыдущих двух параграфах. Я начну с того, что на примере потенциальной системы объясню возникновение скобки Пуассона и уравнения Гамильтона. Затем я поговорю о деформациях алгебр и объясню почему деформационный формализм с легкостью обеспечивает переход к квазиклассическому пределу. Материалы: Losev_Def-1.pdf (1.7 Mb); Losev_Def-2.pdf (723.0 Kb). Лосев Иван Вадимович Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 26 июля 2012 г.
ТегиПохожее
|
Геометрия — классическая Евклидова, Лобачевского, проективная и сферическая — не получает достаточного внимания в программах современных мат.факультетов (не говоря уже о школах). В то же время она наглядна и на редкость красива. Многие утверждения визуально очевидны и в то же время неожиданные (почему самолёт, летящий из Иркутска в Лиссабон, стартует сперва в направлении Норильска?) За 8 лекций слушатели ознакомятся с начальными сведениями в этой области математики, берущей своё начало более двух тысячелетий назад. Закончим мы гораздо более сложным материалом, непосредственно выводящим на современные разделы науки. Будут затронуты основы теории групп и алгебр Ли.
Как человек становится математиком? Наверное, существует множество разных путей и способов. Позвольте рассказать, как это произошло со мной. Вы, наверное, удивитесь, но в школе я ненавидел математику. Хотя нет, «ненавидел», пожалуй, слишком сильное слово. Скажем просто, я не очень-то ее любил. Мне казалось, что математика скучная. Я усердно выполнял все задания, но не понимал, зачем мне это. Материал, который мы разбирали в классе, казался мне бессмысленным и бесполезным.
Приставляя тетраэдры друг к другу по граням можно получать примеры симплициальных комплексов — важного математического объекта. Раскрасим треугольники такого сооружения в чёрный и белый цвета и назовём раскраску хорошей, если каждый тетраэдр имеет поровну чёрных и белых граней. Оказывается, что в случае (стандартно симплициально разбитых) маломерных сфер множество белых треугольников оказывается объектом, достойным изучения: листом Мёбиуса или проективной плоскостью. При описании того, как именно эти объекты разбиты на треугольники у нас естественным образом возникнет икосаэдр — замечательный правильный многогранник. Исследование группы его самосовмещений позволит понять, сколько существует хороших раскрасок. По пути нам встретятся такие важные базовые понятия математики, как вышеупомянутые симплициальный комплекс и группа симметрий, действие и пр.
Произведение элементов пишут в виде слова, изображаемого отрезком. А что значит умножить элементы по кругу? Какой смысл имеет мозаика, составленная из таких кругов? Понимание такого рода вещей приводит к решению ряда открытых вопросов. Например, допустим мы хотим задать конечным числом соотношений полугруппу в которой степень любого элемента равна нулю. Конечным числом запрещенных подслов на прямой нельзя добиться того, чтобы были сколь угодно длинные слова без запрещенных подслов и в то же время не было таких периодических слов. В то же время на плоскости существуют конечные системы запретов допускающие только апериодические замощения. Но как умножать с разных сторон? Эти и другие вопросы предполагается обсудить.
Планируется рассказать про свойства символьных последовательностей, и замечательные теоремы с ними связанные и их обобщения. Например, известно, что следующие классы слов почти эквивалентны: буквы a, b самым тщательным образом перемешаны, т.е. в кусках одинаковой длинны количество символов каждого сорта отличается не более чем на 1; количество различных подслов длины n равно n+1, т.е. минимально возможное; слово получается из поворота окружности на величину α при фиксации буквой a попадания на дугу длины α. Обобщение этой теоремы дает задача Арнольда о перекладывания отрезков. Красивые элементарные факты о поведении слов в которые добавляется не слишком много запретов, отражаются на теореме Голода–Шафаревича. Наверное, стоит упомянуть также теорему Ширшова о высоте.| Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Видео ≫ Деформационное квантование // Иван Лосев |
|
[time: 14 ms; queries: 8]
19 Апр 2024 13:21:16 GMT+3 |