Дифференцирования в алгебре
Знакомая большинству из вас формула Лейбница утверждает, что . А какие ещё операции обладают аналогичным свойством? Задавшись этим вопросом, естественно определить дифференцирование алгебры как такое линейное отображение из в , что для любых .
В этом курсе мы поговорим о дифференцированиях коммутативных алгебр, в первую очередь, алгебры многочленов от многих переменных. Хотелось бы описать все дифференцирования и изучить их свойства. Начала этой теории вполне элементарны. В то же время дифференцирования тесно связаны со сложными задачами алгебраической геометрии, теории групп преобразований и теории представлений.
О дифференцированиях известно много. При этом некоторые естественные вопросы остаются без ответа, хотя не кажутся безнадежными. На мой взгляд, эта тематика как нельзя лучше подходит для того, чтобы начать собственные математические исследования.
На занятиях мы обсудим следующие темы:
Алгебры и их дифференцирования. Алгебра Ли дифференцирований. Локально нильпотентные и локально конечные дифференцирования. Степенные функции и факториально замкнутые алгебры. Свойства локально нильпотентных дифференцирований. Экспоненциальное отображение, отображение Диксмье и теорема о слайсе. Начальные сведения об аффинных алгебраических многообразиях и алгебраических группах. Действия алгебраических торов и градуировки. Действия аддитивной группы и локально нильпотентные дифференцирования. Однородные дифференцирования. Дифференцирования полугрупповых алгебр и корни Демазюра.
Материалы:
ex1.pdf (52.6 Kb);
ex2.pdf (43.9 Kb);
ex3.pdf (46.9 Kb);
lect.pdf (5.4 Mb).
Аржанцев Иван Владимирович, доктор физико-математических наук.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20 июля 2014 г.
Похожее
-
Иван Аржанцев
В этом курсе изучается такой замечательный и вполне элементарный объект, как конечномерные коммутативные ассоциативные алгебры над комплексными числами. Здесь достаточно легко доказать первые структурные результаты, но получить полную классификацию едва ли возможно. Мы обсудим различные техники работы с конечномерными алгебрами (максимальные идеалы и локальные алгебры, фильтрации и градуировки, последовательность Гильберта-Самюэля и цоколь) и получим явное описание алгебр малых размерностей. Оказывается, конечномерные алгебры тесно связаны с действиями с открытой орбитой коммутативных групп матриц на аффинных и проективных пространствах. Мы объясним эту связь. В процессе объяснения естественно возникнут такие понятия как экспонента линейного оператора, представление группы и циклический модуль, алгебра Ли и ее универсальная обертывающая.
-
Иван Аржанцев
Автоморфизм n-мерного аффинного пространства — это отображение (x_1,…,x_n) → (f_1,…,f_n), где f_i — многочлены от переменных x_1,…,x_n, для которого существует обратное отображение, также заданное многочленами. Мы начнем с полного описания автоморфизмов прямой, проблему якобиана. Определим ручные и дикие автоморфизмы, докажем, что все автоморфизмы плоскости являются ручными, и немного поговорим о доказательстве теоремы Шестакова и Умирбаева (2004) о том, что автоморфизм Нагаты трехмерного пространства (1972) является диким. Также мы обсудим свойство бесконечной транзитивности действия группы автоморфизмов и его связь с локально нильпотентными дифференцированиями. Будет сформулирован ряд известных открытых проблем аффинной алгебраической геометрии: проблема сокращения, проблема выпрямления, проблема линеаризации для торов и ее связь с градуировками.
-
Иван Аржанцев
Теория кодирования – это отличный повод поговорить о красивых задачах из алгебры и комбинаторики, о линейной алгебре и алгебраической геометрии над конечными полями, конечных геометриях, простых группах и алгоритмах, связанных с передачей информации. Программа курса: Основные задачи теория кодирования. Коды, исправляющие ошибки. Расстояние Хемминга и неравенство треугольника. Предварительные сведения из алгебры. Строение конечных полей. Линейная алгебра над конечными полями. Линейные коды и их характеристики. Код Хемминга. Совершенные коды. Двойственный код и тождество Мак-Вильямса. Эквивалентность кодов. Методы вычисления минимального расстояния для подпространства. Циклические коды и главные идеалы. Алгеброгеометрические коды. Грассманианы и плюккеровы координаты. Грассмановы коды и минимальные расстояния. Точки на минимальной сфере. Алгоритмы декодирования. Синдромы и минимальные представители. Коды Голея. Конечные геометрии и группы Матье.
-
Иван Панин
В курсе будет рассказано о замечательной теории, созданной В. Воеводским. В частности, будут даны и мотивированы определения гомологий Суслина, мотивных гомологий и когомологий Воеводского. Будет дана конструкция его категории мотивов алгебраических многообразий. Все эти построения опираются на понятия «многозначных» отображений и пучков. Оба последние понятия будут введены, пояснены и снабжены примерами. От слушателей предполагается знание того, что такое поле, векторное пространство, абелева группа и умение работать с многочленами нескольких переменных.
-
Keith Conrad
ABC-гипотеза была сформулирована в 1985 г. и быстро стала центральной проблемой в теории чисел из-за её связей с другими нерешёнными проблемами, а также из-за того, что многие уже доказанные известные результаты были бы её следствиями. В 2012 году японский математик Мотидзуки выложил доказательство ABC-гипотезы в интернете, но математическое сообщество еще не пришло к единому мнению, правильно ли оно. В курсе мы введём ABC-гипотезу, опишем несколько эквивалентных её вариантов, и проследим ее связи с другими проблемами и теоремами в теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и многочленами над полями.
-
Александр Буфетов
Лягушка сидит в вершине квадрата и раз в десять секунд принимает решение и совершает прыжок: с вероятностью p по часовой стрелке, с вероятностью q против часовой стрелки, с вероятностью 1−p−q на месте. Через десять секунд вновь решая куда прыгнуть, лягушка принимает во внимание лишь ту вершину, в которой она находится. Таким образом, положения лягушки в различные моменты времени не независимы, однако, при фиксированном настоящем, будущее лягушки независимо от её прошлого. В честь открывшего их нашего великого соотечественника Андрея Андреевича Маркова такие системы испытаний называют цепями Маркова. Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию марковских процессов со счётным числом состояний.
-
Александр Кузнецов
Инварианты Громова–Виттена – это замечательный набор численных инвариантов алгебраического (и, более общо, симплектического) многообразия, обобщающих индексы пересечения когомологических классов. Они позволяют ввести на кольце когомологий новое, так называемое квантовое умножение, являющееся деформацией обычного умножения в когомологиях, и являются первым шагом к пониманию зеркальной симметрии – удивительного явления, открытого физиками в конце 80-х годов прошлого века. Для алгебраического многообразия инварианты Громова–Виттена определяются через теорию пересечений пространства модулей кривых в этом многообразии. Я постараюсь объяснить, что такое пространство модулей кривых и как с ним обращаться, какие возникают сложности с вычислением инвариантов Громова–Виттена и как их преодолевают.
-
Александр Гайфуллин
Классическая теорема Бойяи–Гервина (1830-е годы) утверждает, что любые два многоугольника равной площади равносоставлены друг с другом: первый многоугольник можно разрезать на конечное число многоугольных частей и затем сложить из этих частей второй многоугольник. Ещё Гаусс задавал вопрос, верно ли аналогичное утверждение для многогранников. А именно, его интересовало, можно ли доказать стандартную формулу для объёма пирамиды (одна треть произведения длины высоты на площадь основания) без использования предельного перехода, то есть разбив пирамиду на конечное число кусков, из которых можно сложить прямоугольный параллелепипед.
-
Владимир Успенский
Как известно, ежа нельзя причесать. Иными словами, на двумерной сфере нет касательного векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Трехмерная сфера ведет себя в этом отношении совсем иначе: на ней можно построить три касательных векторных поля, линейно независимых в каждой точке. Это означает, что трехмерная сфера параллелизуема. Возникает вопрос, для каких n сфера размерности n–1 параллелизуема. С этим вопросом тесно связан другой: для каких n на n-мерном эвклидовом пространстве можно ввести билинейное умножение, при котором произведение любых двух ненулевых векторов ненулевое. Рассматривая вещественные числа, комплексные числа, кватернионы или октонионы, мы видим, что это можно сделать, если n принимает одно из значений 1, 2, 4, 8. Оказывается, что этот список значений и является ответом на оба поставленных выше вопроса. Это трудная теорема. Ее можно доказать методами К-теории. Курс будет посвящен объяснению основных идей доказательства.
-
Сергей Ландо
Числа Гурвица были введены А. Гурвицем в конце 19 века. Они перечисляют разветвленные накрытия двумерных поверхностей и имеют множество других проявлений — перечисляют разнообразные классы графов, являются коэффициентами связи в симметрических группах, представляют собой инварианты Громова–Виттена комплексных кривых.
Далее >>>
|
|