Теорема Римана — один из центральных результатов теории функций комплексного переменного. В докладе будет рассказано о месте теоремы в математике и приведена идея ее доказательства, предложенного самим Риманом и основанного на соображениях из гидродинамики.

Одна из нерешённых проблем Гильберта — математическая формулировка физики. Эта задача была решена Ньютоном, Лагранжем и Гамильтоном для классической механики, а Шредингером и Гейзенбергом для квантовой механики. Однако, эти решения были совершенно различны. В первом случае математическим аппаратом была симплектическая геометрия, во втором — спектральная теория операторов. Переход от одной теории к другой физики называют квантованием. Тема занятий — перевод этого термина на язык математики.

В своей статье «Что такое математика» В. И. Арнольд писал: «Является ли математика перечислением следствий из произвольных аксиом или же ветвью естествознаия и теоретической физики, много обсуждался уже со времен Гильберта (придерживавшегося вслед за Декартом и, предвосхищая Бурбаки, первого мнения) и Пуанкаре (основателя современной математики, топологии, теории хаоса в динамических системах).» В лекции будет обсуждаться вопрос Арнольда, а заодно будет рассказано о самом Арнольде, а также о Николя Бурбаки, Давиде Гильберте, Рене Декарте и Анри Пуанкаре. И об их вкладе в науку.

В лекции будет освещена основная концепция Ньютона, согласно которой законы природы описываются на языке математического анализа (по преимуществу, на языке дифференциальных уравнений). Будет рассказано о математическом описании законов Архимеда, Галилея, Кеплера, Ферма, Гука, о началах математической физики в трудах Н. Бернулли, Эйлера, Лапласа и Фурье, о формуле сложения скоростей Эйнштейна и об уравнении Шрёдингера.

В математике полно странных числовых систем, о которых большинство людей никогда не слышало. Некоторые из них даже сложно будет представить. Но рациональные числа знакомы всем. Это числа для счёта предметов и дроби — все числа, известные нам с начальной школы. Но в математике иногда сложнее всего понять самые простые вещи. Они простые, как гладкая стена, без трещин и выступов, или других очевидных свойств, за которые можно было бы ухватиться. Выдающийся математик раскрыл подробности того, как его успехи в изучении тысячелетних математических вопросов связаны с концепциями, взятыми из физики

Математик Сергей Ландо о единственном физике, получившем Филдсовскую премию, пространстве модулей и моделях двумерной квантовой гравитации и том, как математики XXI в описывают геометрию точки.

Мы живем во времена удивительного прогресса. Инженеры способны отправить робота размером с автомобиль на Марс, физики рассматривают мельчайшие элементы материи, а мы общаемся без проводов через обширную всемирную сеть. Но в основании всех этих чудес лежит что-то глубокое и загадочно великое, что называют языком вселенной и, пожалуй, главным достижением цивилизации. Что это? Это математика. Но откуда математика появилась? Почему она безупречно работает во всех областях науки? Альберт Эйнштейн задавался вопросом, как так получается, что математике удается так хорошо описывать вселенную. Создана ли математика человеком? Является ли математика ключом к пониманию космоса? Наш мир не просто обладает некоторыми математическими свойствами, он состоит только из математических свойств.

Вводные понятия. Цель физики. Базовые принципы и понятия. Понятие пространства-времени. Принципы симметрии пространства-времени. Динамический принцип. Действие. Функция Лагранжа. Уравнения Эйлера–Лагранжа. Законы сохранения. Теорема Нетер. Энергия, импульс, момент. Задача Кеплера. Модели. Гамильтонов формализм. Отображение Лежандра. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона. Скобка Пуассона. Инвариантная формулировка механики.

Программа курса: 1) Классическая механика: как движется груз на пружине? 2) Оптика: почему угол падения равен углу отражения? 3) Интеграл Фейнмана: как перемещаться по всем путям сразу? 4) Уравнение Шрёдингера: почему энергия делится на порции (кванты)? Предполагается, что слушатели владеют искусством замены переменной в интеграле или готовы быстро этому выучиться.

Известна олимпиадная задача: На плоском столе лежат монеты (выпуклые фигуры). Тогда одну из них можно стащить со стола, не задевая остальных. Долгое время математики пытались доказать пространственный аналог этого утверждения, пока не был построен контрпример! Возникла идея: в малом зерне часто нет трещины, трещина за границу зерна не вырастает, а трещины друг друга держат. Эта идея теоретически позволяет создавать композиты в которых не растут трещины, в частности, броню из керамики.