Математик Сергей Ландо о единственном физике, получившем Филдсовскую премию, пространстве модулей и моделях двумерной квантовой гравитации и том, как математики XXI в описывают геометрию точки.

Эта гипотеза оказала довольно значительное влияние на развитие математики в последнюю четверть века, и она продолжает оказывать это влияние. Современные исследования в довольно сильной степени опираются на нее и ее развивают. Она обладает целым рядом качеств, которые отличают ее от других знаменитых математических гипотез. Мы привыкли к тому, что гипотезы в математике становятся знамениты после многих лет безуспешных попыток ее доказать и превратить в теорему. Так было и с великой теоремой Ферма, которую все математики воспринимали как гипотезу в течение нескольких столетий. Так было и с гипотезой Пуанкаре, которую лишь более чем через 100 лет после ее формулировки доказал Перельман.

В отличие от этих знаменитых гипотез, гипотеза Виттена была доказана почти сразу после того, как она была опубликована в 1991 году. Доказательство Концевича появилось через год, и с тех пор многие называют гипотезу Виттена теоремой Виттена — Концевича. Кроме того, гипотеза Виттена была сформулирована не математиком, как это привычно для математиков, а физиком — человеком, пришедшим со стороны. Эта гипотеза носит ярко выраженную физическую природу, хотя она и сформулирована в совершенно корректных и недвусмысленных математических терминах.

Эдвард Виттен на момент формулирования гипотезы был уже весьма известным физиком, можно даже сказать, знаменитым физиком, и это редкий пример физика, у которого имеются чисто математические заслуги. Накануне формулирования гипотезы, в 1990 году, ему была присуждена медаль Филдса — пожалуй, наиболее престижная математическая награда, присуждаемая исследователям в возрасте до 40 лет. И тем самым математические заслуги Виттена уже были признаны математическим сообществом. Нужно сказать, что и по сей день Виттен остается единственным физиком, получившим медаль Филдса. Он так и является тем редким исключением, лишь указывающим на восстановление связи между физической и математической наукой, которая была разорвана в течение нескольких десятилетий ХХ века.

Виттен остается активным по сей день. Он разрабатывает и публикует новые теории, и эти теории близки по духу и характеру к тем идеям, которые он выразил своей гипотезой. Ему принадлежит несколько гипотез, причем довольно известных, но только одна из них почему-то до сих пор носит имя «гипотеза Виттена», и, когда в математической среде возникает этот термин, ни перед кем не встает вопрос, о чем идет речь, несмотря на наличие нескольких весьма известных гипотез.

С физической точки зрения формулировка гипотезы Виттена состоит в следующем: он утверждает, что так называемые А- и В-модели двумерной квантовой гравитации эквиваленты, то есть являются по сути одной моделью, представляют одну и ту же математическую картину физического мира. Квантовая гравитация — это попытка объединить две весьма общие физические теории: гравитационную теорию Эйнштейна и квантовую теорию, восходящую в гору и к другим исследователям. До сих пор эти попытки к значительным успехам не привели, и когда мы говорим о двумерной теории, то это попытка сделать шаг в направлении двух объединяющих теорий, попытка освободиться от сложностей нашего четырехмерного пространства, времени, заменив его более простым, двумерным пространством, и попытка разобраться, как должна выглядеть объединенная теория в двумерном пространстве. Об этих двумерных моделях идет речь.

Физики строят различные модели реальности и проверяют их на соответствие действительности, пытаясь с помощью этих моделей выработать предсказания о том, как должна вести себя та или иная система в тех или иных условиях. И соответственно, значение модели состоит в том, чтобы найти математическое описание реального мира.

А модель двумерной квантовой гравитации была известна. Она описывала движение частицы, движение струны (в теории струн частица представляет собой одномерный объект, маленькую окружность, струну, которая эволюционирует по времени, заметая тем самым мировую поверхность), и квантовая теория предсказывает, что для описания существования и жизнедеятельности частиц нужно ввести интегрирование по пространству всех возможных двумерных поверхностей. И в модели двумерной квантовой гравитации А все возможные двумерные поверхности заменяются их триангуляцией, или разбиениями на многоугольники, или разбиениями на многоугольники с большим числом сторон.

В результате анализа этой А-модели было доказано, что соответствующие числа, отвечающие за асимптоты по количеству таких разбиений двумерной поверхности на многоугольники, складываются в функцию, складываются в потенциал, являющийся решением уравнения Кортевега — де Фриза — еще одного знаменитого физического уравнения, которое было выведено в конце XIX века для изучения движения волн в мелкой воде. То есть совершенно неожиданно была обнаружена связь между движением волны и некоторыми характеристиками разбиения плоскостей на многоугольники.

В свою очередь, В-модель двумерной квантовой гравитации, в разработке которой решающую роль сыграл Виттен, описывается в терминах алгебраической геометрии, в терминах алгебраических кривых, кривых, заданных полиномиальными уравнениями, и пространства таких кривых, то есть в терминах, близких к аналитической геометрии XVII века. И утверждение Виттена состояло в том, что функция, которая строится по таким пространствам алгебраических кривых, функция, которая анализирует геометрию этих пространств, в точности совпадает с функциями, возникающими при анализе разбиения поверхностей на многоугольники, и, как следствие, является решением уравнения Кортевега — де Фриза.

Он показал, что нашел начальные условия для этой функции, показал, что условие, что она является решением уравнения Кортевега — де Фриза, оказывается достаточным для совпадения двух функций, что и определило важность задачи и дало ей точную математическую формулировку. Нужно сказать, что пространства модулей кривых к этому моменту уже изучались несколько десятилетий, и их важность была полностью осознана математическим сообществом. Но результаты о геометрии этих пространств были разрознены, и практически не было содержательных результатов, которые были бы справедливы для всех пространств одновременно. В этом смысле гипотеза Виттена явилась прорывом, поскольку она давала нетривиальные утверждения о геометрии всех этих пространств сразу.

Поэтому математическое сообщество обратило на нее пристальное внимание сразу после ее появления, и уже через год появилось доказательство Концевича. Еще через несколько лет Максим Концевич получил медаль Филдса, в том числе за этот результат, который признавался чрезвычайно важным, а в дальнейшем филдсовские медали получали другие ученые, для которых построение новых доказательств гипотезы Виттена было существенной частью их исследовательской деятельности, как в случае Андрея Окунькова и Мариам Мирзахани — первой женщины, получившей филдсовскую медаль по математике.

В настоящее время деятельность вокруг гипотезы Виттена не закончилась. Стало ясно, что эта гипотеза описывает геометрию точки. Мы привыкли со времен Евклида и 7-го класса средней школы, что точка — это нечто, не имеющее частей и, как следствие, не имеющее геометрии. Вот сложные функции, зависящие от бесконечного числа переменных, потенциал Виттена — Концевича, оказывается, исследуют внутреннюю геометрию точки. А исследование внутренней геометрии других, более сложных геометрических объектов требует других потенциалов, существенную часть структуры которых составляет по-прежнему потенциал Виттена — Концевича. Множество исследований идут прямо сейчас, и десятки групп исследователей по всему миру занимаются развитием идей Виттена и строят, пытаются изучать, находить потенциалы для более сложных геометрических объектов.

Сергей Ландо — доктор физико-математических наук, профессор факультета математики НИУ ВШЭ, вице-президент Московского математического общества.