Топология как геометрия XX века

Сергей Ландо

Когда топология стала самостоятельным разделом математики? В чем различия между топологией и геометрией? Какое применение топология нашла в физике? И каковы перспективы исследований в этой области? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Сергей Ландо.

«На рубеже XIX-XX веков от геометрии отделилась совершенно новая область – топология, которая, собственно, и определила развитие математики XX века. В топологию ушли те геометрические структуры, которые оказались наиболее фундаментальными, наиболее простыми и наиболее связанными с физикой XX века. Заслуга в этом принадлежит в первую очередь великому французскому математику Анри Пуанкаре, который выделил топологические структуры и который разработал язык, чтобы их описывать. Если мы будем говорить о разнице между геометрией и топологией, то в геометрии главную роль играет расстояние.»

«Топология стала одной из основных отраслей математики в XX веке. Не в последнюю очередь потому, что она нашла своё применение в физике. Как раз на рубеже веков физика перестала быть линейной. Выяснилось, что ньютоновский мир, в котором наше пространство одинаково протяжено и равномерно по всем направлениям, не является достаточно точным инструментом для описания реальности. И в том, в чём, опять-таки, принял решающее участие Пуанкаре, сделало наш мир изогнутым, скрученным. И вот, для описания не плоского мира топология оказалась самым подходящим инструментом»

«Если бы наша планета не была круглой, и мы хотели бы узнать истинную форму нашей планеты, истинную форму Земли, то мы бы справились с этой задачей. Откуда мы знаем вообще, что Земля круглая? Из простейших астрономических наблюдений, которые просто описывают тень от Земли во время лунного затмения. Мы видим, что тень, отбрасываемая нашей планетой, круглая. И делаем отсюда заключение, что круглой является сама Земля. Если бы мы находились в более сложных условиях, у нас бы были простые топологические средства для понимания того, на какой планете мы живём. Для этого достаточно было бы просто разбить Землю на треугольники, триангулировать её и подсчитать количество треугольников, участвующих в разбиении, количество их вершин и их сторон. И тогда знаменитая формула Эйлера, полученная им задолго до результатов Пуанкаре, позволила бы сказать ту топологическую природу поверхности планеты, на которой мы живём.»

Сергей Ландо, доктор физико-математических наук, декан факультета математики ВШЭ.

ПостНаука

Комментарии: 0

Похожее

Числа Гурвица

Сергей Ландо

Числа Гурвица были введены А. Гурвицем в конце 19 века. Они перечисляют разветвленные накрытия двумерных поверхностей и имеют множество других проявлений — перечисляют разнообразные классы графов, являются коэффициентами связи в симметрических группах, представляют собой инварианты Громова–Виттена комплексных кривых.
Кое-что о каустиках

Сергей Ландо

Что такое каустики, знает всякий, кто когда-либо выжигал по дереву, собирая солнечные лучи с помощью линзы, видел световые блики на дне неглубокого водоема от ряби на поверхности воды или наблюдал игру света, отражающегося от дна чашки. Латинское слово «каустик» означает «жгучий», и им называют множество тех точек в пространстве, в которых собирается больше лучей какого-либо светового потока, чем в соседних точках. Скажем, каустика равномерно излучающей сферы это ее центр — в него приходят все лучи. Однако если сферу немного возмутить — сжать в одном направлении и растянуть в другом, то каустика превращается из точки в очень интересную поверхность, о которой, в основном, и пойдет речь.
Гипотеза Виттена

Сергей Ландо

Математик Сергей Ландо о единственном физике, получившем Филдсовскую премию, пространстве модулей и моделях двумерной квантовой гравитации и том, как математики XXI в описывают геометрию точки.
Астроидальная геометрия и топология

Владимир Арнольд

Астроидой называется гипоциклоида с четырьмя остриями. Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению. Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях.
Прорывы в математике плохо предсказуемы

Сергей Ландо

Сергей Ландо, докт. физ.-мат. наук, профессор факультета математики Высшей школы экономики, стоял у истоков возникновения факультета математики и исполнял обязанности декана с момента создания факультета в 2007 году до весны 2015 года. Людмила Сапченко расспросила Сергея Константиновича о его научной деятельности, о том, какое место занимают математические науки в современном мире, как создавался факультет, какие задачи ставятся перед факультетом в настоящее время.
Эйлерова характеристика

Юрий Бурман

Число В вершин, число Р ребер и число Г граней выпуклого многогранника связаны соотношением В−Р+Г=2. Легко сообразить, что это широко известное утверждение не имеет прямого отношения к выпуклости: если на боку выпуклого многогранника сделать вмятину, то он перестанет быть выпуклым, а количество вершин, ребер и граней сохранится. В то же время для совершенно произвольного многогранника теорема неверна. В данном курсе мы выясним, в каких именно случаях эти утверждения верны и почему на самом деле это — одна и та же теорема. Также мы разберемся, как выглядят аналогичные утверждения для других поверхностей, и не только для поверхностей (а, например, для графов или для многомерной сферы).
Измерения / Dimensions

Документальный фильм «Измерения» – это два часа математики, постепенно выводящие вас в четвёртое измерение.
Геометрия расположения, или первые шаги топологии. Лекция для лингвистов

Владимир Успенский

Успенский Владимир Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 9 июля 2012 г.; XIV Летняя лингвистическая школа, г. Дубна, «Ратмино», 8-18 июля 2012 г.
Проволочные узлы (пример экспериментальной математики)

Алексей Сосинский

Лекция начнется с демонстрации недавно обнаруженной серии физических экспериментов с проволочном контуром, который моделирует узлы (т.е. гладкие замкнутые кривые в пространстве). Оказывается, что этот контур — очень умный: он во многих случаях умеет распутывать тривиальный узел в круглую окружность, выполнять т.н. движения Рейдемейстера, движения Маркова, фокус Уитни, и всегда минимизирует т.н. индекс Уитни. Во второй части лекции будет рассмотрен один из красивейших подходов к изучению математической теории узлов, основанный на использовании т.н. «энергии узлов».
Теневое исчисление

Сергей Ландо

Долгое время наличие у биномиальных последовательностей многочисленных общих свойств воспринималось как нечто таинственное и необъяснимое, почему их изучение и было названо umbral calculus, т.е. теневое исчисление. Работы Рота в 60-х годах прошлого века сорвали с теневого исчисления покров тайны, однако не уменьшили интерес к биномиальным последовательностям, поскольку они регулярно возникают в самых разных областях математики. На занятиях мы обсудим, как выписывать все биномиальные последовательности и какие у них свойства. Все необходимые для этого выходящие за рамки школьной (а изредка и университетской) программы сведения будут сообщены.

Далее >>>

∀ x, y, z

Топология как геометрия XX века

Сергей Ландо

Теги

Похожее