Как «единица» помогла построить первые города и великие империи? Как вдохновляла выдающиеся умы человечества? Какую роль в появлении денег она сыграла? Как «единица» объединилась с нулем, чтобы править современным миром? История единицы неразрывно связана с историей европейской цивилизации. Терри Джонс отправляется в юмористическое путешествие с целью собрать воедино удивительную историю нашего самого простого числа. С помощью компьютерной графики в этой программе единица оживает в самых различных испостасях. Из истории единицы становится ясно, откуда появились современные числа, и каким образом изобретение нуля спасло нас от необходимости сегодня использовать римские цифры.

Корректно ответить на этот вопрос нельзя, поскольку числовой ряд не имеет верхнего предела. Так, к любому числу достаточно всего лишь прибавить единицу, чтобы получить число ещё большее. Хотя сами числа бесконечны, собственных названий у них не так уж и много, так как большинство из них довольствуются именами, составленными из чисел меньших. Понятно, что в конечном наборе чисел, которых человечество наградило собственным именем, должно быть какое-то наибольшее число. Но как оно называется и чему оно равно? Давайте же, попробуем в этом разобраться и заодно узнать, насколько большие числа придумали математики.

Мы знаем о Диофанте немного. Кажется, он жил в Александрии. Никто из греческих математиков не упоминает его до IV века, так что он вероятно жил в середине III века. Самая главная работа Диофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), состоялась в начале из 13 «книгах» (βιβλία), т. е. главах. Мы сегодня имеем 10 из них, а именно: 6 в греческом тексте и 4 других в средневековом арабском переводе, место которых в середине греческих книг: книги I-III по-гречески, IV-VII по-арабски, VIII-X по-гречески. «Арифметика» Диофанта прежде всего собрание задач, всего около 260. Теории, по правде говоря, нет; имеются только общие инструкции в введении книги, и частные замечания в некоторых задачах, когда нужно. «Арифметика» уже имеет черты алгебраического трактата. Сперва Диофант пользуется разными знаками, чтобы выражать неизвестное и его степени, также и некоторые вычисления; как и все алгебраические символики средних веков, его символика происходит от математических слов. Потом, Диофант объясняет, как решить задачу алгебраическим способом. Но задачи Диофанта не алгебраические в обычном смысле, потому что почти все сводятся к решению неопределённого уравнения или систем таких уравнений.

Кто не играл в детстве в игру "назови самое большое число"? Миллионы, триллионы и прочие "-оны" представить в уме уже сложно, но мы с вами попробуем разобрать "мастодонта" в математике — число Грэма.

За два тысячелетия произошло три важных расширения числовой области. Во-первых, около 450 г. до н.э. учёные школы Пифагора доказали существование иррациональных чисел. Их начальной целью было числовое выражение диагонали единичного квадрата. Во-вторых, в XIII-XV веках европейские учёные, решая системы линейных уравнений, допустили возможность одного отрицательного решения. И, в-третьих, в 1572 г. итальянский алгебраист Рафаэль Бомбелли использовал комплексные числа для получения действительного решения некоего кубического уравнения.

Математик Владлен Тиморин о преимуществах комплексных чисел, кватернионах Гамильтона, восьмимерных числах Кэли и о разнообразии чисел в геометрии.

Традиция отмечать неофициальный день числа Пи зародилась в Соединенных Штатах почти 30 лет назад, когда известный американский физик Ларри Шоу обратил внимание на то, что 14 марта совпадает с первыми тремя цифрами знаменитой "архимедовой константы" — 3,14. На следующий год, с подачи Шоу, в этот день посетителей музея начали угощать пирогами (из-за сходного звучания слов "пирог" и "Пи" английском языке "pi" — "pie"), после чего к ежегодному отмечанию этой даты постепенно присоединились физики и математики со всего мира.

В 1980 году Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грехема в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. На самом деле вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грехема.

Всем говорят в школе, что число π иррационально и даже — трансцендентно, т. е. не является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Имеется изящное и вполне элементарное доказательство Эрмита иррациональности числа π (требующее только знания интегрирования по частям — понимания как вычислить интеграл ∫ x^k sin(x)dx в пределах от a до b). Наша цель — доказательство теоремы Линдемана–Веерштрасса (если α_i линейно независимые над Q алгебраические числа, то e^(α_i) алгебраически независимы), а также теоремы Гельфонда (если числа α ≠ 0,1; β ∉ Q алгебраические, то αβ есть число трансцендентное).

Программа курса: История. Первые оценки. Проблема соизмеримости длины окружности с ее диаметром. Бесконечные ряды, произведения и другие выражения для π. Сходимость и ее качество. Выражения, содержащие π. Последовательности, быстро сходящиеся к π. Современные методы вычисления π, использование компьютеров. Об иррациональности и трансцендентности π и некоторых других чисел. Предварительных знаний для понимания курса не требуется.