Московская математическая школа — легендарное явление в мировой науке. Десятки имен, сформировавшие современную математику. О том, как появилась эта научная школа и чем живет она сегодня, мы говорим по гамбургскому счету с доктором физико-математических наук, заведующим сектором алгебры и теории чисел Института проблем передачи информации имени Харкевича Российской академии наук Михаилом Цфасманом.

"Правильная школа", "интеллектуальная среда", "большая наука" — какая между этими понятиями связь, и что сейчас происходит с ними в России и на Западе? Об этом говорим с ведущим научным сотрудником Математического института имени Стеклова Александром Буфетовым.

Высшую математическую награду мира, Филдсовскую премию, вручают один раз в четыре года математику не старше 40 лет. Таково было предложение Джона Филдса, президента Математического конгресса в 1924 году. За всю историю математики лишь 8 обладателей этой премии были выходцами из России. Один из них — Андрей Окуньков.

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 16-18 июля 2002 г.

Разные варианты выбора неопределяемых понятий. Система аксиом Тарского (по-видимому, самая простая из известных). Роль аксиом непрерывности с точки зрения различия логики первого и второго порядков. Модели и синтаксические интерпретации формальных теорий. Несколько классических интерпретаций, в том числе взаимная интерпретируемость гиперболической и евклидовой геометрии, элементарной геометрии Тарского и элементарной теории поля вещественных чисел, интерпретация теории поля вещественных чисел в арифметике натуральных чисел. Теоремы Тарского о полноте аксиоматики и о существовании алгоритма, распознающего истинность утверждений элементарной геометрии.

Теорема Шарковского, доказанная в 1960-х гг., даёт ответ на вопрос: как для непрерывного отображения отрезка в себя связано наличие периодических точек различных периодов? Эта теорема была первым общим результатом о динамических системах, получающихся при итерировании отображений отрезка в себя. Хотя эта «одномерная динамика» кажется чем-то весьма специальным, подобные отображения возникают в некоторых вопросах естествознания и техники, а также играют важную вспомогательную роль при чисто теоретических исследованиях более сложных динамических систем.

Выпуклый анализ — раздел математики, в котором изучают выпуклые объекты: выпуклые множества, выпуклые функции и выпуклые экстремальные задачи. Таким образом, этот раздел имеет пересечения с геометрией (выпуклость — геометрическое понятие), анализом (функция — одно из основных понятий анализа) и теорией экстремума. Основная часть этой лекции будет посвящена двуединству геометрического и алгебро-аналитического подходов к понятию выпуклости.

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 2001 г.

Действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными. А насколько хорошим может быть такое приближение – в сравнении с его сложностью? Например, оборвав десятичную запись числа x на k-й цифре после запятой, мы получим приближение x≈a/10^k с ошибкой порядка 1/10^k. И вообще, зафиксировав знаменатель q у приближающей дроби, мы точно можем получить приближение с ошибкой порядка 1/q. А можно ли сделать лучше? Знакомое всем приближение π≈22/7 даёт ошибку порядка 1/1000 – то есть явно сильно лучше, чем можно было бы ожидать. А почему? Повезло ли нам, что у π такое приближение есть? Оказывается, что для любого иррационального числа есть бесконечно много дробей p/q, приближающих его лучше, чем 1/q^2. Это утверждает теорема Дирихле – и мы начнём курс с её немного нестандартного доказательства.

Классическая логика высказываний исходит из предположения о том, что любые высказывания либо истинны, либо ложны. Логика доказуемости отражает более глубокую картину мира, осознанную после теорем Гёделя о неполноте: истинность высказывания, вообще говоря, не равносильна его доказуемости. Можно ли — и если да, то как — говорить на уровне логики о доказуемости или недоказуемости высказываний, наряду с их истинностью или ложностью? Программа: Логика высказываний и её модели. Модальная логика, модели Крипке. Логика Гёделя-Лёба GL. Теорема о полноте логики GL по Крипке на конечных деревьях. Формальная арифметика Пеано. Гёделева нумерация. Теорема о неподвижной точке. Формулы доказуемости и непротиворечивости. Теоремы Гёделя, Россера и Лёба. Доказуемость как модальность: арифметическая интерпретация логики GL. Замкнутые модальные формулы, последовательность Тьюринга, локальная рефлексия. Существование и единственность модально определимых неподвижных точек (теорема де Йонга).

Классическая логика высказываний исходит из предположения о том, что любые высказывания либо истинны, либо ложны. Логика доказуемости отражает более глубокую картину мира, осознанную после теорем Гёделя о неполноте: истинность высказывания, вообще говоря, не равносильна его доказуемости. Можно ли — и если да, то как — говорить на уровне логики о доказуемости или недоказуемости высказываний, наряду с их истинностью или ложностью?

I leave the title and abstract as vague as possible, so that I can talk about whatever I feel like on the day. Many varieties of interest in the classification of varieties are obtained as Spec or Proj of a Gorenstein ring. In codimension ⩽3, the well known structure theory provides explicit methods of calculating with Gorenstein rings. In contrast, there is no useable structure theory for rings of codimension ⩾4. Nevertheless, in many cases, Gorenstein projection (and its inverse, Kustin–Miller unprojection) provide methods of attacking these rings. These methods apply to sporadic classes of canonical rings of regular algebraic surfaces, and to more systematic constructions of Q-Fano 3-folds, Sarkisov links between these, and the 3-folds flips of Type A of Mori theory.

Множество Мандельброта — пожалуй, самый известный фрактал за пределами математического сообщества. Это множество дает описание того, как динамика квадратичного многочлена z^2+c меняется с изменением комплексного параметра c. Глядя лишь на расположение параметра c относительно Множества Мандельброта, можно много сказать про динамические свойства многочлена z^2+c (в то время как явное выражение для c, скажем, c=–1,5, далеко не так удобно). Мы обсудим структуру множества Мандельброта и, в частности, его (гипотетическую) топологическую модель.

Курс занятий посвящен тому, что в математике сделать нельзя. Но речь пойдет не о запрещенных действиях (типа деления на ноль или квадратуры круга), а об отсутствии общих методов для решения некоторых широких классов задач. Начиная от определения вычислимой функции (через машину Тюринга), мы узнаем про существование универсальной вычислимой функции, и как следствие – о существовании не вычислимых функций. Отсюда мы поймем, какие задачи никакой компьютер (даже сколь угодно мощный) решить не может в принципе. Затем мы определим «Колмогоровскую сложность» и изучим ряд ее «нехороших» свойств, именно, не вычислимость некоторых связанных с ней характеристик. Эти свойства сыграют решающую роль в доказательстве теоремы Гёделя о неполноте – одного из самых значительных научных открытий ХХ-го века.

Группы отражений являются дискретной группой движений пространства постоянной кривизны (сфера, евклидово или гиперболическое пространство), которая порождается множеством отражений. Группы отражений появляются удивительно часто в различных алгебраических задач.

В этих двух лекциях мы хотим рассказать вам о дифференциальных формах, расслоениях и связностях. Эти понятия сейчас активно используются в разных областях математики и физики, и нам хотелось бы хотя бы немного вас с ними познакомить. Для того чтобы наш рассказ не был излишне абстрактным, мы привязаться к такому физическому объекту, как электромагнитное поле, и показать вам как при попытке описания этого поля естественным путем возникают все перечисленные понятия.

В 1958 году в Докладах Академии Наук вышла заметка А. Н. Колмогорова об энтропии как новом инварианте преобразований, сохраняющих меру. Вместе с двумя более ранними заметками, в которых заложены основы того, что потом было названо КАМ-теорией, эти работы полностью изменили облик и место в математике теории динамических систем. Это открытие привело серьезному прогрессу в нескольких областях математики, однако, как ни странно, некоторые идеи, близко лежащие к колмогоровским, не были развиты и даже замечены. Энтропия является одним из целой серии инвариантов, которые возникают при рассмотрении динамики метрических пространств с мерой. Изучение динамики метрик полезно и в других вопросах комбинаторики и теории случайных процессов.

Лишь недавно, и, как всегда одновременно и независимо, нескольким группам математиков понадобилось по разным поводам систематически изучать случайно выбранные подгруппы данной группы. Для докладчика этим поводом стала задача: найти инвариантные относительно сопряжения меры на решетке всех подгрупп данной группы. Эта задача важна для теории представлений (фактор-представления некоторых групп), и для самой теории динамических систем (вполне несвободные действия). Другие поводы — асимптотика чисел Бетти на локально симметрических пространствах, действия групп на деревьях, теория блужданий на случайных однородных пространствах и, по-видимому, это не всё. Доклад будет посвящен общим понятиям, разбору фундаментального примера, а именно, — что такое случайная подгруппа симметрической группы — конечной и бесконечной, и, наконец, объяснению того, как все это связано с теорией характеров.

Возможно ли в линейной алгебре получение новых результатов? Почему в университетах этот курс учат неправильно? Какое матричное разложение является самым важным? Об умножении матрицы на вектор, быстрых алгоритмах и сингулярном разложении. рассказывает доктор физико-математических наук Иван Оселедец.

Математик Сергей Гашков о самых простых функциях в математике, алгебре логики и ее применении в современных технологиях.