|
||
|
|
||
| Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Видео ≫ Группы отражений // Евгений Смирнов |
Группы отраженийЕвгений Смирнов
Группы отражений являются дискретной группой движений пространства постоянной кривизны (сфера, евклидово или гиперболическое пространство), которая порождается множеством отражений. Группы отражений появляются удивительно часто в различных алгебраических задач. Предварительный (и весьма оптимистичным) план моих лекций выглядит следующим образом: Лекция 1. Конечные группы отражений. Примеры: двугранный угол, перестановки и гипероктаэдральной группы. Регулярные покрытия (калейдоскопы) сферы, евклидово пространство, пространство Лобачевского. Кокстеровские конусы и многогранники. Корневые системы, положительные и простые корни. Лекция 2. Классификация конечных групп отражений графами Кокстера. Явное построение исключительных корневых систем. Кристаллографические группы, диаграммы Дынкина, отношение к алгебрам Ли. Аффинные группы отражений. Если позволяет время: гиперболические группы отражений (обзор). Лекция 3. Негеометрический пример: представления колчанов по Берштейну-Гельфанду-Пономареву. Неразложимые представления. Теорема Габриэля: основной график конечного типа колчана является просто кружевной диаграммой Дынкина (ADE классификация). Функторы отражений. Взаимно однозначное соответствие между неразложимых представлениями и положительными корнями. Независимость от ориентации колчана. теорема Каца. Материалы: (pdf, 56 KB), (pdf, 398 KB). Смирнов Евгений Юрьевич, кандидат физико-математических наук, НИУ ВШЭ. Школа по алгебре и алгебраической геометрии, г. Екатеринбург. 18–20 августа 2011 г.
ТегиПохожее
|
Приставляя тетраэдры друг к другу по граням можно получать примеры симплициальных комплексов — важного математического объекта. Раскрасим треугольники такого сооружения в чёрный и белый цвета и назовём раскраску хорошей, если каждый тетраэдр имеет поровну чёрных и белых граней. Оказывается, что в случае (стандартно симплициально разбитых) маломерных сфер множество белых треугольников оказывается объектом, достойным изучения: листом Мёбиуса или проективной плоскостью. При описании того, как именно эти объекты разбиты на треугольники у нас естественным образом возникнет икосаэдр — замечательный правильный многогранник. Исследование группы его самосовмещений позволит понять, сколько существует хороших раскрасок. По пути нам встретятся такие важные базовые понятия математики, как вышеупомянутые симплициальный комплекс и группа симметрий, действие и пр.
Геометрия — классическая Евклидова, Лобачевского, проективная и сферическая — не получает достаточного внимания в программах современных мат.факультетов (не говоря уже о школах). В то же время она наглядна и на редкость красива. Многие утверждения визуально очевидны и в то же время неожиданные (почему самолёт, летящий из Иркутска в Лиссабон, стартует сперва в направлении Норильска?) За 8 лекций слушатели ознакомятся с начальными сведениями в этой области математики, берущей своё начало более двух тысячелетий назад. Закончим мы гораздо более сложным материалом, непосредственно выводящим на современные разделы науки. Будут затронуты основы теории групп и алгебр Ли.
Предполагается прочесть четыре лекции. Первые две будут популярны и общепонятны, а третья и четвёртая будут содержать довольно поверхностные обзоры некоторых перспективных направлений современной математики. 1. О геометрии над конечными полями. 2. Группы Шевалле и группы перестановок. 3. Линейная алгебра над F1 и гомотопическая топология. 4. Разное. Обобщённые кольца Дурова и F∅, F±1, F∞√1. Анализ на множестве корней из единицы (по Хабиро, Концевичу, Манину). О геометрии Аракелова. О тропической математике.
Произведение элементов пишут в виде слова, изображаемого отрезком. А что значит умножить элементы по кругу? Какой смысл имеет мозаика, составленная из таких кругов? Понимание такого рода вещей приводит к решению ряда открытых вопросов. Например, допустим мы хотим задать конечным числом соотношений полугруппу в которой степень любого элемента равна нулю. Конечным числом запрещенных подслов на прямой нельзя добиться того, чтобы были сколь угодно длинные слова без запрещенных подслов и в то же время не было таких периодических слов. В то же время на плоскости существуют конечные системы запретов допускающие только апериодические замощения. Но как умножать с разных сторон? Эти и другие вопросы предполагается обсудить.
В миникурсе ликвидируются пробелы школьного образования, относящиеся к теории групп и к конкретным примерам групп. Будут установлены базовые факты про вычеты, доказана малая теорема Ферма, исследованы подгруппы групп перестановок на трёх и четырёх символах, введено понятие нормальной подгруппы данной группы и простоты группы. Затем будет доказано, что группа чётных перестановок на n≥5 символах — простая (что откроет желающим дорогу к вопросам о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах), а также что подгруппа переносов плоскости (пространства) — нормальная в группе всех (аффинных) движений соответствующего объекта. Маломерные группы движений получат полную характеризацию (теорема Шаля и законы композиции движений разных видов).| Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Видео ≫ Группы отражений // Евгений Смирнов |
|
[time: 14 ms; queries: 8]
23 Ноя 2024 10:57:52 GMT+3 |