Группы отражений
Группы отражений являются дискретной группой движений пространства постоянной кривизны (сфера, евклидово или гиперболическое пространство), которая порождается множеством отражений. Группы отражений появляются удивительно часто в различных алгебраических задач.
Предварительный (и весьма оптимистичным) план моих лекций выглядит следующим образом:
Лекция 1. Конечные группы отражений. Примеры: двугранный угол, перестановки и гипероктаэдральной группы. Регулярные покрытия (калейдоскопы) сферы, евклидово пространство, пространство Лобачевского. Кокстеровские конусы и многогранники. Корневые системы, положительные и простые корни.
Лекция 2. Классификация конечных групп отражений графами Кокстера. Явное построение исключительных корневых систем. Кристаллографические группы, диаграммы Дынкина, отношение к алгебрам Ли. Аффинные группы отражений. Если позволяет время: гиперболические группы отражений (обзор).
Лекция 3. Негеометрический пример: представления колчанов по Берштейну-Гельфанду-Пономареву. Неразложимые представления. Теорема Габриэля: основной график конечного типа колчана является просто кружевной диаграммой Дынкина (ADE классификация). Функторы отражений. Взаимно однозначное соответствие между неразложимых представлениями и положительными корнями. Независимость от ориентации колчана. теорема Каца.
Материалы: (pdf, 56 KB), (pdf, 398 KB).
Смирнов Евгений Юрьевич, кандидат физико-математических наук, НИУ ВШЭ.
Школа по алгебре и алгебраической геометрии, г. Екатеринбург.
18–20 августа 2011 г.
Похожее
-
Евгений Смирнов
Исчислительная геометрия занимается подсчетом числа геометрических объектов, удовлетворяющих данных условиям. Первой задачей исчислительной геометрии принято считать задачу Аполлония (III в. до н.э.) о числе окружностей, касающихся трех данных окружностей. Как известно всем любителям геометрии, таких окружностей может быть не более восьми, и все их можно построить циркулем и линейкой. С точки зрения проективной геометрии окружности можно рассматривать как коники (кривые второго порядка) на комплексной проективной плоскости, проходящие через две фиксированные бесконечно удаленные точки. Поэтому задача Аполлония есть задача о подсчете числа коник, заданных пятью условиями (прохождение через две точки и касание трех коник). В 1848 году Якоб Штейнер обобщил эту задачу: он предложил найти число коник, касающихся пяти данных коник.
-
Евгений Смирнов
Рассмотрим сумму двух эрмитовых матриц A и B. Это снова будет эрмитова матрица. В 1912 году Герман Вейль задался таким вопросом: что можно сказать о ее собственных значениях, если известны собственные значения матриц A и В? Во-первых, ясно, что след A+B будет равен сумме следов исходных матриц; во-вторых, наибольшее собственное значение A+B не превосходит суммы наибольших собственных значений A и B. А какие еще есть ограничения? В 1962 году Альфред Хорн выписал ряд неравенств на собственные значения матриц A, B и A+B и сформулировал гипотезу о том, что это полный набор условий. В 1999 году А.А.Клячко свел эту гипотезу к так называемой гипотезе о насыщении. Они же предложили описание неравенств Хорна при помощи диаграмм или «сот», которые имеют самое прямое отношение к теории представлений полной линейной группы GL(n).
-
Михаил Тёмкин
Приставляя тетраэдры друг к другу по граням можно получать примеры симплициальных комплексов — важного математического объекта. Раскрасим треугольники такого сооружения в чёрный и белый цвета и назовём раскраску хорошей, если каждый тетраэдр имеет поровну чёрных и белых граней. Оказывается, что в случае (стандартно симплициально разбитых) маломерных сфер множество белых треугольников оказывается объектом, достойным изучения: листом Мёбиуса или проективной плоскостью. При описании того, как именно эти объекты разбиты на треугольники у нас естественным образом возникнет икосаэдр — замечательный правильный многогранник. Исследование группы его самосовмещений позволит понять, сколько существует хороших раскрасок. По пути нам встретятся такие важные базовые понятия математики, как вышеупомянутые симплициальный комплекс и группа симметрий, действие и пр.
-
Алексей Савватеев
Геометрия — классическая Евклидова, Лобачевского, проективная и сферическая — не получает достаточного внимания в программах современных мат.факультетов (не говоря уже о школах). В то же время она наглядна и на редкость красива. Многие утверждения визуально очевидны и в то же время неожиданные (почему самолёт, летящий из Иркутска в Лиссабон, стартует сперва в направлении Норильска?) За 8 лекций слушатели ознакомятся с начальными сведениями в этой области математики, берущей своё начало более двух тысячелетий назад. Закончим мы гораздо более сложным материалом, непосредственно выводящим на современные разделы науки. Будут затронуты основы теории групп и алгебр Ли.
-
Алексей Белов
Произведение элементов пишут в виде слова, изображаемого отрезком. А что значит умножить элементы по кругу? Какой смысл имеет мозаика, составленная из таких кругов? Понимание такого рода вещей приводит к решению ряда открытых вопросов. Например, допустим мы хотим задать конечным числом соотношений полугруппу в которой степень любого элемента равна нулю. Конечным числом запрещенных подслов на прямой нельзя добиться того, чтобы были сколь угодно длинные слова без запрещенных подслов и в то же время не было таких периодических слов. В то же время на плоскости существуют конечные системы запретов допускающие только апериодические замощения. Но как умножать с разных сторон? Эти и другие вопросы предполагается обсудить.
-
Георгий Шабат
Предполагается прочесть четыре лекции. Первые две будут популярны и общепонятны, а третья и четвёртая будут содержать довольно поверхностные обзоры некоторых перспективных направлений современной математики. 1. О геометрии над конечными полями. 2. Группы Шевалле и группы перестановок. 3. Линейная алгебра над F1 и гомотопическая топология. 4. Разное. Обобщённые кольца Дурова и F∅, F±1, F∞√1. Анализ на множестве корней из единицы (по Хабиро, Концевичу, Манину). О геометрии Аракелова. О тропической математике.
-
Михаил Берштейн
В этой лекции преподаватель магистерской программы «Математическая физика» Сколтеха Михаил Берштейн рассказывает о фазовых переходах и модели Изинга.
-
Александр Буфетов, Роман Авдеев
Курс посвящён обобщению понятия вращения евклидова пространства. Оказывается, что с каждым евклидовым пространством можно связать новое пространство, объекты которого называются спинорами. Между исходным пространством и пространством спиноров имеется замечательная связь: всякому вращению исходного пространства можно сопоставить преобразование пространства спиноров, определённое однозначно с точностью до знака. Получаемые таким образом преобразования пространства спиноров образуют группу, называемую спинорной группой.
-
Алексей Савватеев
В миникурсе ликвидируются пробелы школьного образования, относящиеся к теории групп и к конкретным примерам групп. Будут установлены базовые факты про вычеты, доказана малая теорема Ферма, исследованы подгруппы групп перестановок на трёх и четырёх символах, введено понятие нормальной подгруппы данной группы и простоты группы. Затем будет доказано, что группа чётных перестановок на n≥5 символах — простая (что откроет желающим дорогу к вопросам о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах), а также что подгруппа переносов плоскости (пространства) — нормальная в группе всех (аффинных) движений соответствующего объекта. Маломерные группы движений получат полную характеризацию (теорема Шаля и законы композиции движений разных видов).
-
Анатолий Вершик
Лишь недавно, и, как всегда одновременно и независимо, нескольким группам математиков понадобилось по разным поводам систематически изучать случайно выбранные подгруппы данной группы. Для докладчика этим поводом стала задача: найти инвариантные относительно сопряжения меры на решетке всех подгрупп данной группы. Эта задача важна для теории представлений (фактор-представления некоторых групп), и для самой теории динамических систем (вполне несвободные действия). Другие поводы — асимптотика чисел Бетти на локально симметрических пространствах, действия групп на деревьях, теория блужданий на случайных однородных пространствах и, по-видимому, это не всё. Доклад будет посвящен общим понятиям, разбору фундаментального примера, а именно, — что такое случайная подгруппа симметрической группы — конечной и бесконечной, и, наконец, объяснению того, как все это связано с теорией характеров.
Далее >>>
|
|