Исчислительная геометрия занимается подсчетом числа геометрических объектов, удовлетворяющих данных условиям. Первой задачей исчислительной геометрии принято считать задачу Аполлония (III в. до н.э.) о числе окружностей, касающихся трех данных окружностей. Как известно всем любителям геометрии, таких окружностей может быть не более восьми, и все их можно построить циркулем и линейкой.
С точки зрения проективной геометрии окружности можно рассматривать как коники (кривые второго порядка) на комплексной проективной плоскости, проходящие через две фиксированные бесконечно удаленные точки. Поэтому задача Аполлония есть задача о подсчете числа коник, заданных пятью условиями (прохождение через две точки и касание трех коник). В 1848 году Якоб Штейнер обобщил эту задачу: он предложил найти число коник, касающихся пяти данных коник. Однако полученный им ответ – 7776, или 6
5 – оказался неверным. Это показал в 1864 году Мишель Шаль; он же получил и верный ответ – 3264. Метод решения задачи о пяти кониках, предложенный Шалем, был впоследствии очень далеко обобщен Германом Шубертом, который использовал для него термин «исчисление условий» – а сегодня этот метод называется исчислением Шуберта.
В курсе мы увидим, как работает исчисление Шуберта; задача Штейнера будет для нас основным, хотя и далеко не единственным примером.
Для понимания курса потребуется знание линейной алгебры в объеме первого курса (одиннадцатиклассники тоже могут попробовать). Знакомство с началами проективной геометрии также приветствуется, хотя необходимые сведения из этой области я планирую напомнить.
Материалы:
esmirnov_ex2.pdf (180.2 Kb),
esmirnov_ex1.pdf (88.2 Kb).
Смирнов Евгений Юрьевич, кандидат физико-математических наук.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
21-26 июля 2015 г.
Группы отражений являются дискретной группой движений пространства постоянной кривизны (сфера, евклидово или гиперболическое пространство), которая порождается множеством отражений. Группы отражений появляются удивительно часто в различных алгебраических задач.
Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2007 г.
Астроидой называется гипоциклоида с четырьмя остриями. Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению. Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях.