Уравнения Максвелла, внешние дифференциальные формы и расслоения
В этих двух лекциях мы хотим рассказать вам о дифференциальных формах, расслоениях и связностях. Эти понятия сейчас активно используются в разных областях математики и физики, и нам хотелось бы хотя бы немного вас с ними познакомить. Для того чтобы наш рассказ не был излишне абстрактным, мы привязаться к такому физическому объекту, как электромагнитное поле, и показать вам как при попытке описания этого поля естественным путем возникают все перечисленные понятия.
Разумеется эти лекции не претендуют на систематическое изложение теории дифференциальных форм или теории расслоений и связностей. Каждый из этих сюжетов занимает примерно семестровый курс на мехмате. Наша задача гораздо скромнее: предварительное знакомство с предметом и мотивировки (пришедшие из физики) необходимости его изучения.
Материалы: [pdf, 247 KB]
Болибрух Андрей Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
16-19 июля 2001 г.
Похожее
-
Дмитрий Аносов
Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 2001 г.
-
Юлий Ильяшенко
Пусть на плоскости (или на прямой) задано векторное поле: в каждой точке нарисован вектор. Этому полю можно сопоставить дифференциальное уравнение: точка x(t) движется «по стрелочкам» – так, что dx/dt=v(x(t)) при всех t. Типичный вопрос теории динамических систем – описать качественное поведение решений при t→+∞. Скажем, решения могут стремиться к устойчивому положению равновесия, «наматываться» на периодическую траекторию («предельный цикл»), и так далее. Следующий вопрос – а что будет, если система зависит от параметра, и мы начинаем этот параметр менять? Как будет изменяться качественное поведение системы?
-
Сергей Новиков
Дифференциальные 1-формы можно рассматривать как многозначные функции. Они приводят к глубоким топологическим задачам и имеют нетривиальные приложения в физике твёрдого тела. Лекцию читает Новиков Сергей Петрович, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор.
-
Павел Семенов
Любая функция, непрерывная на отрезке I, ограничена на нем и достигает своего наибольшего (наименьшего) значения. На какое подмножество К числовой прямой можно заменить I так, чтобы приведенное утверждение (теорема Вейерштрасса) осталось верным? Ответ: на компакт и только на компакт. Компакты на прямой, на плоскости, в пространстве и, вообще, в метрических пространствах, образуют один из самых хороших классов пространств, используемых в математическом и в функциональном анализе, топологии, математической экономике и других приложениях классической математики. Оказывается, среди компактов есть «самый большой» компакт, гильбертов куб. Он является (иньективно) универсальным. Эти слова означают, что гильбертов куб содержит в себе копии всех других компактов. Есть среди компактов объект, универсальный в несколько противоположном (проективном) смысле. Любой другой компакт может быть получен из этого единственного компакта с помощью непрерывного отображения.
-
Валерий Опойцев
Тематику дифференциальных уравнений, безусловно, надо расширять, иначе «молодые побеги» — хаос, аттракторы, солитоны — будут расти сквозь асфальт. С другой стороны, базовые курсы нуждаются в резком сокращении, поскольку для самих дифуров не так много места остается в этой жизни. Из-за информационного переполнения. При этом стандартных мер недостает. Единственное средство — тривиализация дисциплины. Математика, как и человек, — иногда надувает щеки, наряжается и творит мифы. Поэтому в дифурах немало лишнего, вычурного, случайного — и одно лишь наведение порядка высвобождает массу свободного места. Данный мини-курс адресован «всем», поскольку преподносит некую общую часть. Не простую и не сложную, но дающую представление об основах и позволяющую при необходимости быстро войти в предмет и двигаться дальше.
-
К середине XIX века ученые открыли целый ряд законов, описывающих электрические и магнитные явления и связи между ними. В частности, были известны: закон Кулона, описывающий силу взаимодействия между электрическими зарядами; теорема Гаусса, исключающая возможность существования в природе изолированных магнитных зарядов; закон Био—Савара, описывающий магнитные поля, возбуждаемые движущимися электрическими зарядами; законы электромагнитной индукции Фарадея, согласно которым изменение магнитного потока порождает электрическое поле и индуцирует ток в проводниках. Эти четыре группы законов и были обобщены Джеймсом Максвеллом, которому удалось объединить их в стройную систему, состоящую из четырех уравнений и исчерпывающим образом описывающую все измеримые характеристики электромагнитных полей и электрических токов.
-
Станислав Шапошников
Множества. Функции. Отношения эквивалентности и порядка. Вещественные и комплексные числа. Числовые последовательности и ряды. Метрические пространства. Сепарабельность. Полнота. Пополнение. Вещественные и pадические числа пополнения рациональных чисел. Топология вещественной прямой. Теорема Бэра. Компакты. Множество Кантора. Непрерывные функции и их свойства. Фундаментальная группа окружности. Поточечная и равномерная сходимость последовательности функций. Топологические пространства. Топология поточечной сходимости. Производная и дифференциал. Производные высокого порядка. Формула Тейлора. Интеграл. Теорема Лиувилля об интегрируемости в элементарных функциях.
-
Эмиль Ахмедов
Мой рассказ будет больше историческим: я расскажу о том, как возникла теория Максвелла и понятие электромагнитных волн. Были известны законы Кулона, закон Био — Савара, разные законы индукции Фарадея и другие. Этот набор экспериментальных данных Максвелл попытался описать теоретически. Насколько мне известно, его труд состоит из примерно шестисот страниц. Он пытался чисто механически объяснить законы Фарадея, описывая электромагнитное поле как набор шестеренок с разными сортами зацеплений. В XIX веке механическое описание природы было очень популярно. Большая часть этих шестисот страниц пропала, поскольку в них не было никаких конструктивных утверждений. Может, я немного преувеличиваю, но единственное конструктивное, что было в этом труде Максвелла, — это его уравнения, формулы.
-
Индукционный электрический ток в проводнике, возникающий при изменении магнитного потока, направлен таким образом, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока.
-
Квантовая механика, не говоря уже о квантовой теории поля, имеет репутацию странной, пугающей и контринтуитивной науки. В научном сообществе есть те, кто по сей день ее не признает. Однако же квантовая теория поля — единственная подтвержденная экспериментом теория, способная объяснить взаимодействие микрочастиц при низких энергиях. Почему это важно? Андрей Ковтун, студент МФТИ и сотрудник кафедры фундаментальных взаимодействий, рассказывает, как с помощью этой теории добраться до главных законов природы или придумать их самим.
Далее >>>
|
|
