Случайные подгруппы, вполне несвободные действия групп и характеры

Анатолий Вершик

Часть 1

Часть 2

Лишь недавно, и, как всегда одновременно и независимо, нескольким группам математиков понадобилось по разным поводам систематически изучать случайно выбранные подгруппы данной группы. Для докладчика этим поводом стала задача: найти инвариантные относительно сопряжения меры на решетке всех подгрупп данной группы. Эта задача важна для теории представлений (фактор-представления некоторых групп), и для самой теории динамических систем (вполне несвободные действия).

Другие поводы — асимптотика чисел Бетти на локально симметрических пространствах (М. Аберт и др.), действия групп на деревьях (Григорчук и др.), теория блужданий на случайных однородных пространствах (Л. Боуэн) и, по-видимому, это не всё.

Доклад будет посвящен общим понятиям, разбору фундаментального примера, а именно, — что такое случайная подгруппа симметрической группы — конечной и бесконечной, и, наконец, объяснению того, как все это связано с теорией характеров.

Хочется верить, что для понимания доклада предварительных знаний, кроме самых общих, не требуется.

Вершик Анатолий Моисеевич, доктор физико-математических наук, профессор.

Семинар «Глобус», г. Москва, конференц-зал НМУ
13 октября 2011 г.

Комментарии: 0

Похожее

Колмогоровская энтропия: история и новые перспективы

Анатолий Вершик

В 1958 году в Докладах Академии Наук вышла заметка А. Н. Колмогорова об энтропии как новом инварианте преобразований, сохраняющих меру. Вместе с двумя более ранними заметками, в которых заложены основы того, что потом было названо КАМ-теорией, эти работы полностью изменили облик и место в математике теории динамических систем. Это открытие привело серьезному прогрессу в нескольких областях математики, однако, как ни странно, некоторые идеи, близко лежащие к колмогоровским, не были развиты и даже замечены. Энтропия является одним из целой серии инвариантов, которые возникают при рассмотрении динамики метрических пространств с мерой. Изучение динамики метрик полезно и в других вопросах комбинаторики и теории случайных процессов.
Теория групп

Алексей Савватеев

В миникурсе ликвидируются пробелы школьного образования, относящиеся к теории групп и к конкретным примерам групп. Будут установлены базовые факты про вычеты, доказана малая теорема Ферма, исследованы подгруппы групп перестановок на трёх и четырёх символах, введено понятие нормальной подгруппы данной группы и простоты группы. Затем будет доказано, что группа чётных перестановок на n≥5 символах — простая (что откроет желающим дорогу к вопросам о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах), а также что подгруппа переносов плоскости (пространства) — нормальная в группе всех (аффинных) движений соответствующего объекта. Маломерные группы движений получат полную характеризацию (теорема Шаля и законы композиции движений разных видов).
Группы отражений

Евгений Смирнов

Группы отражений являются дискретной группой движений пространства постоянной кривизны (сфера, евклидово или гиперболическое пространство), которая порождается множеством отражений. Группы отражений появляются удивительно часто в различных алгебраических задач.
Бесконечномерные группы

Александр Буфетов

Курс лекций читает Буфетов Александр Игоревич, доктор физико-математических наук. г. Москва, НМУ.
Представления симметрической группы, как первый шаг к категорным представлениям алгебр Ли

Иван Лосев

В лекциях вводятся основные сведения из теории представлений конечных групп, объясняется подход Вершика и Окунькова к представлениям симметрических групп, рассказывается о том, что происходит в положительной характеристике и при чем тут алгебры Ли. Курс должен быть понятен студентам, начиная с первого курса, хорошо освоившим курс алгебры.
Конечномерные алгебры и действия групп

Иван Аржанцев

В этом курсе изучается такой замечательный и вполне элементарный объект, как конечномерные коммутативные ассоциативные алгебры над комплексными числами. Здесь достаточно легко доказать первые структурные результаты, но получить полную классификацию едва ли возможно. Мы обсудим различные техники работы с конечномерными алгебрами (максимальные идеалы и локальные алгебры, фильтрации и градуировки, последовательность Гильберта-Самюэля и цоколь) и получим явное описание алгебр малых размерностей. Оказывается, конечномерные алгебры тесно связаны с действиями с открытой орбитой коммутативных групп матриц на аффинных и проективных пространствах. Мы объясним эту связь. В процессе объяснения естественно возникнут такие понятия как экспонента линейного оператора, представление группы и циклический модуль, алгебра Ли и ее универсальная обертывающая.
Лист Мёбиуса, проективная плоскость и икосаэдр

Михаил Тёмкин

Приставляя тетраэдры друг к другу по граням можно получать примеры симплициальных комплексов — важного математического объекта. Раскрасим треугольники такого сооружения в чёрный и белый цвета и назовём раскраску хорошей, если каждый тетраэдр имеет поровну чёрных и белых граней. Оказывается, что в случае (стандартно симплициально разбитых) маломерных сфер множество белых треугольников оказывается объектом, достойным изучения: листом Мёбиуса или проективной плоскостью. При описании того, как именно эти объекты разбиты на треугольники у нас естественным образом возникнет икосаэдр — замечательный правильный многогранник. Исследование группы его самосовмещений позволит понять, сколько существует хороших раскрасок. По пути нам встретятся такие важные базовые понятия математики, как вышеупомянутые симплициальный комплекс и группа симметрий, действие и пр.
Короткая жизнь Эвариста Галуа

Тони Ротман

Scientific American

В семнадцать лет Галуа многое сделал для создания раздела математики, который ныне даёт возможность проникнуть в сущность таких различных областей, как теория чисел, кристаллография, физика элементарных частиц и возможные позиции кубика Рубика. Известно и то, что в том же возрасте Галуа вторично провалился на экзамене по математике при поступлении в Эколь Политекник (Политехнический институт). Ему пришлось поступить в Эколь Нормаль (Высшую педагогическую школу), но в девятнадцать лет он был оттуда исключён, дважды арестован и заключён в тюрьму за политическую деятельность. Незадолго до дуэли он пережил разочарование в любви; в одном из своих последних писем он, по-видимому, связывает это с дуэлью. «Я умираю, — писал он, — жертвой подлой кокетки».
Кварки

Дмитрий Казаков

Как были открыты три поколения кварков? Какие теории описывают взаимодействие частиц? Какими свойствами обладают кварки? О типах элементарных частиц, теории групп и открытии трех поколений кварков рассказывает доктор физико-математических наук Дмитрий Казаков.
Избранные вопросы неевклидовой геометрии

Алексей Савватеев

Геометрия — классическая Евклидова, Лобачевского, проективная и сферическая — не получает достаточного внимания в программах современных мат.факультетов (не говоря уже о школах). В то же время она наглядна и на редкость красива. Многие утверждения визуально очевидны и в то же время неожиданные (почему самолёт, летящий из Иркутска в Лиссабон, стартует сперва в направлении Норильска?) За 8 лекций слушатели ознакомятся с начальными сведениями в этой области математики, берущей своё начало более двух тысячелетий назад. Закончим мы гораздо более сложным материалом, непосредственно выводящим на современные разделы науки. Будут затронуты основы теории групп и алгебр Ли.

Далее >>>

∀ x, y, z

Случайные подгруппы, вполне несвободные действия групп и характеры

Анатолий Вершик

Теги

Похожее