В 1958 году в Докладах Академии Наук вышла заметка А. Н. Колмогорова об энтропии как новом инварианте преобразований, сохраняющих меру. Вместе с двумя более ранними заметками, в которых заложены основы того, что потом было названо КАМ-теорией, эти работы полностью изменили облик и место в математике теории динамических систем. Это открытие привело серьезному прогрессу в нескольких областях математики, однако, как ни странно, некоторые идеи, близко лежащие к колмогоровским, не были развиты и даже замечены.
Энтропия является одним из целой серии инвариантов, которые возникают при рассмотрении динамики метрических пространств с мерой. Изучение динамики метрик полезно и в других вопросах комбинаторики и теории случайных процессов.
Никаких специальных сведений для понимания доклада не требуется.
Идеальный газ. Уравнение состояния газа. Взаимосвязь давления, температуры и объёма. Механизмы рождения макропараметров в рамках «молекулярного бильярда». Первое начало термодинамики как закон сохранения энергии. Вывод уравнения Бернулли. Энтропия и второе начало термодинамики. Тепловые машины и цикл Карно. Энтропия информационная. Энтропия как неопределённость. Аксиоматический подход к определению энтропии. Принцип максимума энтропии. Подход статистической физики за пределами термодинамики.
Какова история создания машины Тьюринга? Как она повлияла на развитие идей, лежащих в основе ряда современных технологий? Какие проблемы существуют в теории вычислительной сложности? И как математика рассматривает понятие случайность? Об идее универсальной машины, проблеме перебора и случайности рассказывает кандидат физико-математических наук Александр Шень.
Лишь недавно, и, как всегда одновременно и независимо, нескольким группам математиков понадобилось по разным поводам систематически изучать случайно выбранные подгруппы данной группы. Для докладчика этим поводом стала задача: найти инвариантные относительно сопряжения меры на решетке всех подгрупп данной группы. Эта задача важна для теории представлений (фактор-представления некоторых групп), и для самой теории динамических систем (вполне несвободные действия). Другие поводы — асимптотика чисел Бетти на локально симметрических пространствах, действия групп на деревьях, теория блужданий на случайных однородных пространствах и, по-видимому, это не всё. Доклад будет посвящен общим понятиям, разбору фундаментального примера, а именно, — что такое случайная подгруппа симметрической группы — конечной и бесконечной, и, наконец, объяснению того, как все это связано с теорией характеров.
Энтропия. Пожалуй, это одно из самых сложных для понимания понятий, с которым вы можете встретиться в курсе физики, по крайней мере если говорить о физике классической. Мало кто из выпускников физических факультетов может объяснить, что это такое. Большинство проблем с пониманием энтропии, однако, можно снять, если понять одну вещь. Энтропия качественно отличается от других термодинамических величин: таких как давление, объём или внутренняя энергия, потому что является свойством не системы, а того, как мы эту систему рассматриваем. К сожалению в курсе термодинамики её обычно рассматривают наравне с другими термодинамическими функциями, что усугубляет непонимание.
Для того чтобы применить математические средства для изучения информации, потребовалось отвлечься от смысла, содержания информации. Этот подход был общим для упомянутых нами исследователей, так как чистая математика оперирует с количественными соотношениями, не вдаваясь в физическую природу тех объектов, за которыми стоят соотношения.
Энтропия — мера неопределённости, мера хаоса. В естественных науках это мера беспорядка системы, состоящей из многих элементов; в теории информации — мера неопределённости какого-либо опыта, процесса или испытания, которые могут иметь разные исходы (а значит, мера количества информации); в математике — мера сложности объекта или процесса. Понятие энтропии было впервые введено в 1865 году Р. Клаузиусом в термодинамике, К. Шенноном в теории информации в 1949 г., в теории стохастичпеских процессов Колмогоровым, Гельфандом и Яглом в 1956 г., в функциональном анализе и теории динамических систем Колмогоровым в 1956–1958 гг. Между мирами полной детерминированности, изучаемой классическим анализом и миром хаоса, изучаемым теорией вероятностей, ныне перекидывается мост, который связан с понятием энтропии.
Лекция прочитана 4 июля 2006 года в поселке Московский в рамках II конференции лауреатов Всероссийского конкурса учителей математики и физики фонда «Династия».
Исходные понятия. Полиномиальные и экспоненциальные алгоритмы. Задачи распознавания и оптимизации. Определение классов P и NP. Совпадает ли P с NP или не совпадает — вопрос на миллион долларов. Машина Тьюринга как универсальный вычислительный прибор. Опорные комбинаторные задачи: коммивояжера, клика, изоморфизм графов, паросочетание, рюкзак, целочисленное линейное программирование (ЦЛП), транспортная задача. В двух словах о непрерывной задаче линейного программирования. Теорема Кука.
В алгоритмической теории информации колмогоровская сложность объекта (такого, как текст) есть мера вычислительных ресурсов, необходимых для точного определения этого объекта. Колмогоровская сложность также известна как описательная сложность, сложность Колмогорова — Хайтина, стохастическая сложность, алгоритмическая энтропия или алгоритмическая сложность.
На чем основаны генетические алгоритмы? Как происходит создание различных уровней в компьютерной игре? Каковы перспективы применения эволюционных алгоритмов? На эти и другие вопросы отвечает доцент Университета Иннополис Джозеф Браун. Процедурная генерация контента в играх — это процесс автоматического создания различных ресурсов. Таким образом можно создавать повествование или сюжет игры или более простые объекты, такие как деревья. Или какие-нибудь элементы игрового процесса. Например, какие будут уровни. Этим я в основном и занимаюсь: как создать уровень, который отвечает некоторым ожиданиям игрока и некоторым ожиданиям в контексте повествования. Я использую много приемов из области, которая называется вычислительный интеллект. А вычислительный интеллект применяет биоинспирированные методы для решения сложных задач оптимизации.
Идеальный газ. Уравнение состояния газа. Взаимосвязь давления, температуры и объёма. Механизмы рождения макропараметров в рамках «молекулярного бильярда». Первое начало термодинамики как закон сохранения энергии. Вывод уравнения Бернулли. Энтропия и второе начало термодинамики. Тепловые машины и цикл Карно. Энтропия информационная. Энтропия как неопределённость. Аксиоматический подход к определению энтропии. Принцип максимума энтропии. Подход статистической физики за пределами термодинамики.
Энтропия. Пожалуй, это одно из самых сложных для понимания понятий, с которым вы можете встретиться в курсе физики, по крайней мере если говорить о физике классической. Мало кто из выпускников физических факультетов может объяснить, что это такое. Большинство проблем с пониманием энтропии, однако, можно снять, если понять одну вещь. Энтропия качественно отличается от других термодинамических величин: таких как давление, объём или внутренняя энергия, потому что является свойством не системы, а того, как мы эту систему рассматриваем. К сожалению в курсе термодинамики её обычно рассматривают наравне с другими термодинамическими функциями, что усугубляет непонимание.
Лекция прочитана 4 июля 2006 года в поселке Московский в рамках II конференции лауреатов Всероссийского конкурса учителей математики и физики фонда «Династия».
Исходные понятия. Полиномиальные и экспоненциальные алгоритмы. Задачи распознавания и оптимизации. Определение классов P и NP. Совпадает ли P с NP или не совпадает — вопрос на миллион долларов. Машина Тьюринга как универсальный вычислительный прибор. Опорные комбинаторные задачи: коммивояжера, клика, изоморфизм графов, паросочетание, рюкзак, целочисленное линейное программирование (ЦЛП), транспортная задача. В двух словах о непрерывной задаче линейного программирования. Теорема Кука.