Мы знаем о Диофанте немного. Кажется, он жил в Александрии. Никто из греческих математиков не упоминает его до IV века, так что он вероятно жил в середине III века. Самая главная работа Диофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), состоялась в начале из 13 «книгах» (βιβλία), т. е. главах. Мы сегодня имеем 10 из них, а именно: 6 в греческом тексте и 4 других в средневековом арабском переводе, место которых в середине греческих книг: книги I-III по-гречески, IV-VII по-арабски, VIII-X по-гречески. «Арифметика» Диофанта прежде всего собрание задач, всего около 260. Теории, по правде говоря, нет; имеются только общие инструкции в введении книги, и частные замечания в некоторых задачах, когда нужно. «Арифметика» уже имеет черты алгебраического трактата. Сперва Диофант пользуется разными знаками, чтобы выражать неизвестное и его степени, также и некоторые вычисления; как и все алгебраические символики средних веков, его символика происходит от математических слов. Потом, Диофант объясняет, как решить задачу алгебраическим способом. Но задачи Диофанта не алгебраические в обычном смысле, потому что почти все сводятся к решению неопределённого уравнения или систем таких уравнений.

Примерно 40 лет тому назад Мартин Гарднер придумал такую задачу: “В некотором царстве, в некотором государстве пришло время принцессе выбирать себе жениха. В назначенный день явились 1000 царевичей и королевичей, их построили в очередь в случайном порядке и стали по одному приглашать к принцессе. Про любых двух претендентов принцесса, познакомившись с ними, может сказать, какой из них лучше. Познакомившись с претендентом, принцесса может либо принять предложение (и тогда выбор сделан навсегда), либо отвергнуть его (и тогда претендент потерян: царевичи и королевичи гордые и не возвращаются). Какой стратегии должна придерживаться принцесса, чтобы с наибольшей вероятностью выбрать лучшего из претендентов?”.

Язык «ε–δ» возник в работах математиков XIX века. Хотя обозначения впервые ввёл Коши, эпсилонтика как метод сформировалась в лекциях Вейерштрасса. Больцано в 1817 и Коши в 1821 году дали определения предела в качественной форме и определения непрерывной функции на языке приращений; Коши в 1823 году применил ε и δ при улучшении доказательства Ампера теоремы о среднем, но Коши использовал ε и δ как конечные оценки погрешности, где δ не зависит от ε. Процесс осознания понятий непрерывности и равномерной непрерывности функции шёл сложным путём в работах Стокса, Зайделя, Римана, Дирихле, Раабе и многих других. В полной мере метод «эпсилон-дельта» проявился в определении предела только у Вейерштрасса в 1861 году. Легенда о принадлежности метода Огюстену Коши возникла в начале XX века в работе Лебега и затем многократно повторялась. Обращение к первоисточникам позволило исправить эту историческую ошибку.

В 1918 году Польша воссоединилась в единое государство, и в Варшаве, а после во Львове появились две сильные математические школы – теории множеств во главе с Вацлавом Серпинским и функционального анализа во главе со Стефаном Банахом. Об их возникновении и плодотворных результатах этот доклад.

Теорему Ролля впервые доказал Вейерштрасс, а теорема Больцано–Коши была сформулирована Роллем за 127 лет до них. Производное уравнение умели составлять за 100 лет до появления дифференциального исчисления. Как же развивались эти идеи? Что же сделал Мишель Ролль, сын сапожника и академик?

Алексей Семихатов, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Физического института РАН помогает ведущим разобраться в разнице между принципами симметрии и суперсимметрии.

Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2007 г.

Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.

Астроидой называется гипоциклоида с четырьмя остриями. Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению. Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях.

Теорема Гёделя, наряду с открытием теории относительности, квантовой механики и ДНК, обычно рассматривается как крупнейшее научное достижение ХХ века. Почему? В чем ее суть? Каково ее значение? Эти вопросы в своей лекции раскрывает Алексей Брониславович Сосинский, математик, профессор Независимого московского университета, офицер Ордена академических пальм Французской Республики, лауреат премии Правительства РФ в области образования 2012 года. В частности, были даны несколько разных ее формулировок, описаны три подхода к ее доказательству (Колмогорова, Чейтина и самого Гёделя), и объяснено ее значение для математики, физики, компьютерной науки и философии.

В лекции будут обсуждаться примеры сингулярных (особых) мыльных пленок, натянутых на проволочные контуры сложной формы (узлы, каркас куба и тетраэдра, и др.) Будут проводится демонстрации соответствующих экспериментов с проволоками и мыльным растворам, и на экране будут показаны фотографии и компьютерная графика изображений результатов. Оказывается, что на пленках возникают только два тина особенностей — так называемые “тройные линии” и “шестикрылые бабочки”, удивительным образом совпадающие с особенностями “специальных спайнов” (играющих ключевую роль в работах С. Матвеева и его школы по классификации трехмерных многообразий). Цель лекции — привлечь внимание слушателей к созданию (пока еще не существующей) математической теории сингулярных минимальных поверхностей.

Пожалуй ни одно другое достижение современной теории сложности вычислений не вызывает такого живого интереса и не менее яростных споров как модель квантовых вычислений. Предметом дискуссии, однако, в основном является возможность физической реализации квантового компьютера, чего мы, к счастью, касаться не будем. Вместо этого мы попробуем разобраться в чисто математических аспектах этой модели и, в частности, постараемся пройти столько из нижеследующего, сколько позволит время: Классические и квантовые схемы; Алгоритм Шора быстрого разложения чисел на множители: основные идеи; Квантовые оракулы и задача о скрытой подгруппе; Алгоритм квантового поиска Гровера.

Как грамотно вычислить значение полинома от многих переменных? Можно, конечно, посчитать по отдельности каждый входящий в него моном и результаты сложить, но нельзя ли придумать способ сэкономить на числе используемых операций хотя бы для некоторых наиболее важных и часто встречающихся полиномов? Изучением таких вопросов как раз и занимается теория алгебраической сложности вычислений. Оказывается, что для некоторых классов полиномов ответ отрицателен, для других он положителен, а в подавляющем большинстве случаев ответ неизвестен. Соответствующие вопросы, открытые в течении нескольких десятилетий, по праву числятся среди наиболее важных, интересных и трудных проблем современной теории сложности.

Попытки дать математические определения понятий формального доказательства, истинности, формализованной деятельности по инструкции привели к построению математической логики и теории алгоритмов — области математики, результаты которой сформировали и продолжают формировать основы информатики и влиять на практическое использование цифровых технологий. Важнейшие результаты данной области, наряду с указанными определениями — это результаты о невозможности, в свою очередь тесно связанные с результатами об универсальности и диагональными конструкциями.

В отличие от метрической теории алгоритмов, дескриптивная теория не занимается измерением ресурсов (таких как время, объём памяти), затрачиваемых при применении алгоритма к его возможным исходным данным (в другой терминологии — к его входам). Её интересует лишь, возможен алгоритм для решения данной задачи или нет. Начальные понятия дескриптивной теории алгоритмов суть: конструктивный обьект, алгоритм, число шагов алгоритма, вычислимая функция, перечислимое множество, разрешимое множество, сводимость нумераций, главная вычислимая нумерация, вычислимая операция.

Успенский Владимир Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 9 июля 2012 г.; XIV Летняя лингвистическая школа, г. Дубна, «Ратмино», 8-18 июля 2012 г.

Если в качестве значений переменных разрешается брать только элементы носителя, язык называют элементарным языком, или языком первого порядка. Если же в качестве значений переменных разрешается брать также функции и отношения, язык называют языком второго порядка. Выразительные возможности языков первого порядка довольно ограничены. Например, на языке первого порядка можно сообщить, что носитель содержит ровно 17 элементов, но невозможно выразить его конечность. На языке второго порядка выразить конечность носителя возможно. Возникает совершенно естественное недоумение: а зачем тогда пользоваться языками первого порядка с их бедными выразительными средствами, не лучше ли пользоваться языками второго порядка?

Знаменитая Теорема Гёделя о неполноте имеет две версии — синтаксическую (объявленную и доказанную самим Гёделем) и семантическую (чаще всего фигурирующую в популярных рассуждениях о великой Теореме). Семантическая версия утверждает, что какую бы систему формальных доказательств ни придумать, в языке найдутся истинные утверждения, не доказуемые в рамках предложенной системы. Таким образом, семантическая версия исходит из того, что некоторые выражения языка выражают осмысленные утверждения, являющиеся истинными или ложными. Синтаксическая версия не опирается на то, что какие бы то ни было выражения языка имеют какой-то смысл, она смотрит на выражения как на синтаксические конструкции, то есть как на цепочки символов, организованные по определённым правилам.

Целые числа, рациональные, алгебраические… Что дальше (оставаясь в пределах действительных чисел)? Дальше идут вычислимые действительные числа, т.е. такие действительные числа, которые можно в разумном смысле вычислить. «Можно вычислить» означает, что вычисление можно запрограммировать. Мыслимы различные подходы к тому, что именно надо программировать.

Ященко Иван Валериевич, кандидат физико-математических наук. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 2003 г.