Мы обсудим понятие, которое все используют, но о котором обычно рассказывают по ходу дела — о метрическом пространстве. Постараемся разобрать красивые примеры, обсудить факты и методы применяемые повсюду: от дифференциальных уравнений до теории кодирования и стеганографии — пополнении, принципе сжимающих отображений, теореме Бэра, компактности, теореме Вейерштрасса…

Будет рассказано о понятии, которое все используют, но обычно рассказывают по ходу дела — метрическом пространстве. Будет разобрано много красивых примеров, рассказано о фактах и методах применяемых повсюду: от дифференциальных уравнений до теории кодирования — пополнении, принципе сжимающих отображений, теореме Бэра.

Мы попытаемся рассказать о криптографии — бурно развивающейся прикладной науке, оказывающей огромное влияние на развитие не только техники, но и математики. Особое внимание будет уделено тому, как важно правильно ставить задачи, а также тому, как можно использовать не только достижения, но и “неудачи” математики на практике. В частности, будет рассказано, что такое криптография с открытым ключом и как можно убедить учителя, что ты знаешь ответ на вопрос, так и не дав этого ответа.

В этой лекции мы познакомимся с одним из важнейших понятий топологии — компактностью, начав с обсуждение того, какие же свойства обычного отрезка отвечают за выполнение основных теорем о непрерывных функциях. Будет разобрано много примеров и применений — простых и сложных. В основном, мы будем заниматься метрическими пространствами (определение будет напомнено). Немного позанимаемся и компактностью в топологических пространствах (определение будет дано).

Я буду говорить об одном из самых классических геометрических сюжетов — о кривых на плоскости. Через точку на кривой можно провести «соприкасающуюся окружность»: окружность, проходящую через эту точку, и наилучшим образом приближающую данную кривую. Её радиус это радиус кривизны. Я начну с того, что покажу неожиданное, почти неправдоподобное поведение таких окружностей при движении точки вдоль кривой. Я не буду здесь формулировать никаких утверждений, потому что это испортит сюрприз! Затем, мы перейдём к обсуждению соприкасающихся эллипсов и алгебраических кривых более высокой степени; мы увидим красивые и интересные картины!

При передаче и хранении информация портится (шум в телефонной трубке, ошибки жесткого диска и так далее). Чтобы восстановить исходное сообщение в систему передачи следует ввести избыточность, иными словами, передавать вместо него более длинное закодированное сообщение. Так возникает понятие корректирующего кода (кода, исправляющего ошибки). Математически это приводит к задаче упаковки шаров в конечномерном векторном пространстве над конечным полем. Эта задача, в свою очередь, оказывается в значительной части эквивалентна проблеме расположения точек в проективном пространстве “в наиболее общем положении”. Здесь уже недалеко и до алгебраической геометрии. Конструкцию кодов по алгебраической кривой нетрудно рассказать, когда эта кривая — прямая.

Мы сейчас знаем о строении Вселенной примерно столько же, сколько древние люди знали о поверхности Земли. Точнее, мы знаем, что небольшая часть Вселенной, доступная нашим наблюдениям, устроена так же, как небольшая часть трёхмерного евклидова пространства. Иначе говоря, мы живём на трёхмерном многообразии (3-многообразии). Кругосветным путешествиям и построениям полных атласов может предшествовать априорная классификация маломерных многообразий — вопрос о том, где мы “на самом деле” живём заменяется на вопрос где мы могли бы жить? Эта классификация (требующая некоторых естественных ограничений на многообразия) тривиальна в размерности 1, допускает красивый полный ответ в размерности 2, полученный в XIX веке, и составляет исключительно трудную проблему в размерности 3. В этой проблеме совсем недавно достигнуты замечательные результаты, обзор которых и составляет цель курса.

На Московской математической олимпиаде был предложен «дискретный» вариант теоремы о неподвижной точки внутри замкнутой траектории векторного поля: В некоторых клетках квадрата 20×20 стоит стрелочка в одном из четырёх направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (см. рис.). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направлениях. Докажите, что найдётся клетка, в которой стрелочки нет. Разбирая 3–5 решений этой задачи, мы на наглядном уровне увидим теорему Жордана, индекс векторного поля и многое другое.

Четверо математиков не подозревали о существовании друг друга, пока таинственный незнакомец не собрал их вместе для решения одной трудной головоломки. Хозяин заброшенного дома назвался Ферма, а своим гостям дал имена самых известных в истории математиков. Им предстоит провести два дня в четырёх стенах, которые неожиданно начнут медленно сдвигаться, грозя смертью тем, кто не сумеет разгадать тайну и назвать имя убийцы.

Мир математики немыслим без них – без простых чисел. Что такое простые числа, что в них особенного и какое значение они имеют для повседневной жизни? В этом фильме британский профессор математики Маркус дю Сотой откроет тайну простых чисел.

Насколько математика влияет на наше мировоззрение, как научное, так и повседневное? Как эта наука, пользуясь своими языком и методами, описывает и формирует физическую картину мира? О традиции и смене парадигм в математике рассказывают доктор физико-математических наук Борис Воронов и Алексей Семихатов.

Даже если слово «квантовый» не пугает вас, квантовые компьютеры все еще остаются скорее причудливыми концепциями научной фантастики, нежели реальностью. Однако последние достижения в этой области предполагают, что эти безумно быстрые компьютеры могут появиться раньше, чем мы думаем. Соблазном квантовых компьютеров является их способность решать почти неразрешимые проблемы — настолько сложные проблемы, что для их решения современным компьютерам потребовались бы десятилетия. В теории квантовый компьютер сможет решить эти вопросы, пока вы пьете утренний кофе.

В 40-х годах Уилер и Фейнман увлеченно работали над идеей о существовании единой Мировой линии, в разных точках которой локализуются множественные «копии» по существу одной и той же частицы (электрона?). Именно это, как признавался в Нобелевской лекции Фейнман, и было для него основным стимулом при разработке квантовой электродинамики. Однако по многим причинам концепция одноэлектронной Вселенной (one electron Universe) осталась нереализованной. Теория одноэлектронной Вселенной — гипотетическая модель Вселенной, в которой все электроны являются одним электроном, находящимся попеременно в разных точках пространства. Предпосылкой для создания гипотезы являлся принцип тождественности электронов, то есть невозможность экспериментально различить два электрона.

Теория вероятностей и статистика, фокусы с картами, основанные на циклических перестановках, визуализация масштаба числа возможных перестановок 52 карт — 52!

К третьему году жизни большинство из нас уже умеют считать. С тех пор, как мы постигаем магию чисел, нас ничто не может остановить. Хотя концепция бесконечности и выглядит довольно безобидно, просто продолжайте считать, и мир представится в совсем ином свете! Математикам удалось выявить огромное количество бесконечностей, причем каждая последующая оказывается больше предыдущей. Если Вселенная действительно бесконечна, последствия могут быть еще более непредсказуемы и удивтельными. В бесконечной Вселенной может существовать бесконечное количество копий Земли и... Ваших копий! Возможно, что есть бесконечные мульти-вселенные, которые содержат нашу Вселенную и которые старше нашего времени. Этот фильм, основанный на математических теориях, — попытка построения представления о бесконечности всего сущего.

Гипотеза Пуанкаре была сформулирована в Париже, в 1904 году. Сто лет математики бились над попытками доказать эту гипотезу. Каждый из них считал, что он находится в шаге от разгадки, однако это было не так. Многим из выдающихся математиков гипотеза Пуанкаре осложнила и жизнь вне работы... Лишь в 2002 году российскому ученому Григорию Перельману удалось доказать ее весьма нетривиальным и лаконичным способом. Целых три года понадобилось ученым всего мира, чтобы проверить истинность доказательства. И вот, наконец, 2006 год, Мадрид. Эпохальное достижение удостоено медали Филдса, которую называют «нобелевской премией» математиков. Однако происходит невероятное. Григорий Перельман отказывается принять награду. Он уединяется в своей квартире в Санкт-Петербурге и отказывается общаться с внешним миром...

Математик Николай Николаевич Андреев рассказывает увлекательные истории о решенных и нерешенных математических задачах на наглядных примерах.

Он доказал гипотезу Пуанкре – одну из самых загадочных геометрических задач ХХ века. Возможно, что это осталось бы сенсацией лишь для узких научных кругов, но он отказался от награды в миллион долларов. А почему? Этого он никому не сказал. Впервые на отечественном экране о Перельмане рассказывают люди, которые узнали его задолго до всей этой истории, которые знают истинную цену его характеру и его интеллекту. Этот фильм - попытка разобраться, что движет удивительным человеком и талантливым ученым Григорием Перельманом. Что значит его открытие для русской и мировой науки? А на вопрос, почему же Перельман не взял свой миллион, зрители ответят сами…

Профессор Оксфордского университета Маркус Дю Сотой является действительным членом Американского математического общества и работает с теорией групп и теорией чисел. У Алана Дейвиса в школе была тройка по математике, у Маркус Дю Сотой — крепкая пятерка с большим плюсом. Их объединяет только одно: они оба болеют за "Арсенал". Профессор Дю Сотой берется объяснить Алану Дейвису и широкой публике, как математика помогает нам понять окружающий мир. Он знакомит его и зрителей с математическими принципами, которые способны расширить сознание и изменить представление о реальности. Задания для Дейвиса будут усложняться, пока не будет задан главный вопрос, который изменит отношение Алана и зрителей к Вселенной.

О сложности вычислений и квантовых компьютерах рассказывает Александр Ханиевич Шень — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН (Москва) и LIF CNRS — Лаборатории информатики Национального центра научных исследований Франции (Марсель). Лекция была прочитана 23 апреля 2009 года в Москве, в ФИАНе.