Мы обсудим понятие, которое все используют, но о котором обычно рассказывают по ходу дела — о метрическом пространстве. Постараемся разобрать красивые примеры, обсудить факты и методы применяемые повсюду: от дифференциальных уравнений до теории кодирования и стеганографии — пополнении, принципе сжимающих отображений, теореме Бэра, компактности, теореме Вейерштрасса…

В этой лекции мы познакомимся с одним из важнейших понятий топологии — компактностью, начав с обсуждение того, какие же свойства обычного отрезка отвечают за выполнение основных теорем о непрерывных функциях. Будет разобрано много примеров и применений — простых и сложных. В основном, мы будем заниматься метрическими пространствами (определение будет напомнено). Немного позанимаемся и компактностью в топологических пространствах (определение будет дано).

В школе нам всем прививается ошибочное представление о том, что на множестве рациональных чисел Q имеется единственное естественное расстояние (модуль разности), относительно которого все арифметические операции непрерывны. Однако существует ещё бесконечное множество расстояний, так называемых p-адических, по одному на каждое число p. Согласно теореме Островского, «обычное» расстояние вместе со всеми p-адическими уже действительно исчерпывают все разумные расстояние Q. Термин адельная демократия введен Ю. И. Маниным. Согласно принципу адельной демократии, все разумные расстояния на Q равны перед законами математики (может быть, лишь традиционное «чуть=чуть равнее…». В курсе будет введено кольцо аделей, позволяющее работать со всеми этими расстояниями одновременно.

На Московской математической олимпиаде был предложен «дискретный» вариант теоремы о неподвижной точки внутри замкнутой траектории векторного поля: В некоторых клетках квадрата 20×20 стоит стрелочка в одном из четырёх направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (см. рис.). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направлениях. Докажите, что найдётся клетка, в которой стрелочки нет. Разбирая 3–5 решений этой задачи, мы на наглядном уровне увидим теорему Жордана, индекс векторного поля и многое другое.

Мы попытаемся рассказать о криптографии — бурно развивающейся прикладной науке, оказывающей огромное влияние на развитие не только техники, но и математики. Особое внимание будет уделено тому, как важно правильно ставить задачи, а также тому, как можно использовать не только достижения, но и “неудачи” математики на практике. В частности, будет рассказано, что такое криптография с открытым ключом и как можно убедить учителя, что ты знаешь ответ на вопрос, так и не дав этого ответа.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 24-25 июля 2004 г.

Ященко Иван Валериевич, кандидат физико-математических наук. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 2003 г.

Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином Pn(x) степени n со старшим коэффициентом 1, такой что величина max_{x∈[−1,1]}|Pn(x)| принимает наименьшее возможное значение. Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы — последовательность полиномов Чебышева, который являются классическим примером семейства ортогональных полиномов.

Вариационное исчисление — наука о поиске минимума функции в бесконечномерном пространстве. В отличие от привычных нам задач на минимум, когда нужно оптимальным образом выбрать число (параметр), или, скажем, точку на плоскости, в вариационных задачах требуется найти оптимальную функцию. При этом, одним и тем же набором средств решаются задачи самого разного происхождения: из классической механики, геометрии, математической экономики и т.д. Мы начнем со старых задач, известных с XVII века, и, перекидывая мостки от одной задачи к другой, быстро доберемся до современных результатов и нерешенных проблем.

Мы обсудим несколько наглядных сюжетов на стыке математики, физики, химии, географии (закон сохранения энергии, молекула в виде листа Мебиуса, теорема Эйлера и другие). Мы постараемся дать интуитивно почувствовать, и не обсуждать формально некоторые красивые математические понятия. Не требуется до лекции (и не появится после лекции) никаких формальных знаний.