В XIX веке учеными было совершено гениальное открытие, которое значительно расширило границы наук и положило начало атомной физике, изучающей строение атомов. Так же это открытие привело к пониманию того факта, что все в мире состоит из микроскопических частиц — атомов. Но что это за таинственная частица? Из чего она состоит и делится ли она на еще меньшие части? Профессор Джим Аль-Халили в сериале «Атом» в интересной и доступной форме рассказывает о научном поиске за последние 100 лет, борьбе идей и личностей, о современных проблемах в физике.

Профессор Джим Аль-Халили совершая экскурс в историю пытается разобраться в том, что такое энергия и информация, а так же о той значимости, которую они играют не только для человечества, но и для всей Вселенной в целом.

Природа статистических законов вызывала споры с самого рождения теории вероятностей и продолжает их вызывать. Эти философские споры привели к рождению интересной математической теории: алгоритмической теории вероятностей и информации, которая — в отличие от классической — пытается дать определение индивидуального случайного объекта. Мы обсудим основные понятия этой теории и их связь с основаниями и парадоксами теории вероятностей. Об этом в публичной лекции математика Александра Шеня, кандидата физико-математических наук, старшего научный сотрудник Лаборатории теории передачи информации и управления ИППИ РАН.

Какова история создания машины Тьюринга? Как она повлияла на развитие идей, лежащих в основе ряда современных технологий? Какие проблемы существуют в теории вычислительной сложности? И как математика рассматривает понятие случайность? Об идее универсальной машины, проблеме перебора и случайности рассказывает кандидат физико-математических наук Александр Шень.

В этом эпизоде веб-сериала "TuesdaysWithBill", Билл Най, американский инженер, актёр и телеведущий-популяризатор науки ответит на вопрос поклонника из солнечного штата Калифорния о том, действуют ли законы математики вблизи черных дыр?

Мы живем в трех измерениях, верно? Существуют ли миры с большим или меньшим числом измерений? На что они похожи и есть ли шанс их исследовать — все это вы узнаете из анимационного ролика TED-ed.

Планируется обсуждения процесса эволюции от принципа исчерпывания через понятие актуального бесконечно малого количества к нестандартному анализу А. Робинсона и его современных модернизациях. Основное внимание будет уделено обоснованию понятия вещественного числа, моделированию свойств вещественных чисел в теории гиперрациональных чисел, связи этого с понятием конструктивного вещественного числа и компьютерными вычислениями.

Научная биография Карла Вейерштрасса, его основные работы, влияние его учения на развитие математики. Вейерштрасс и теория вещественного числа, зарождение общей топологии, начала математического анализа, комплексный анализ, теория эллиптических функций, теория чисел, вариационное исчисление. Размышления Вейерштрасса о математике и математической жизни.

В сороковые годы XX века известными математиками П. Эрдёшом и Г. Хадвигером была поставлена одна из самых коротко формулируемых и в то же время одна из самых ярких и трудных задач комбинаторной геометрии — задача о нахождении хроматического числа евклидова пространства R^n, то есть минимального числа цветов, в которые можно так раскрасить точки пространства, чтобы точки, отстоящие друг от друга на расстояние 1, оказались раскрашенными в разные цвета. Эта задача до сих пор не решена даже для n=2, то есть для евклидовой плоскости, хотя простотой и естественностью своей постановки она сразу привлекла внимание всех математиков.

Сколько нужно вопросов (с ответом “да” и “нет”), чтобы заведомо отгадать задуманное число от 1 до 1000? Можно ли обойтись меньшим числом вопросов? Если нет, то как это доказать? Сколько нужно взвешиваний на чашечных весах без гирь, чтобы наверняка выделить более лёгкую монету среди 1000 одинаковых на вид? С такого рода вопросов начинается наука о сложности алгоритмов, и очень скоро доходит до важных, но до сих пор не решённых задач.

Ученый-энциклопедист Насиреддин Туси (1201–1274) – автор более 200 трудов по математике, астрономии, философии, физике, логике, музыке, экономике а так же по праву и морали. Кроме этого он был поэтом и государственным деятелем. Он был основателем и руководителем Марагинской обсерватории, которая более 50 лет являлась самым известным научным центром не только в Азии, но и во всем мире. При исследование математических трудов Туси обнаруживаются замечательные факты и идеи, неизвестные ранее в истории математики, что и составляет предмет доклада.

Мы знаем о Диофанте немного. Кажется, он жил в Александрии. Никто из греческих математиков не упоминает его до IV века, так что он вероятно жил в середине III века. Самая главная работа Диофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), состоялась в начале из 13 «книгах» (βιβλία), т. е. главах. Мы сегодня имеем 10 из них, а именно: 6 в греческом тексте и 4 других в средневековом арабском переводе, место которых в середине греческих книг: книги I-III по-гречески, IV-VII по-арабски, VIII-X по-гречески. «Арифметика» Диофанта прежде всего собрание задач, всего около 260. Теории, по правде говоря, нет; имеются только общие инструкции в введении книги, и частные замечания в некоторых задачах, когда нужно. «Арифметика» уже имеет черты алгебраического трактата. Сперва Диофант пользуется разными знаками, чтобы выражать неизвестное и его степени, также и некоторые вычисления; как и все алгебраические символики средних веков, его символика происходит от математических слов. Потом, Диофант объясняет, как решить задачу алгебраическим способом. Но задачи Диофанта не алгебраические в обычном смысле, потому что почти все сводятся к решению неопределённого уравнения или систем таких уравнений.

Примерно 40 лет тому назад Мартин Гарднер придумал такую задачу: “В некотором царстве, в некотором государстве пришло время принцессе выбирать себе жениха. В назначенный день явились 1000 царевичей и королевичей, их построили в очередь в случайном порядке и стали по одному приглашать к принцессе. Про любых двух претендентов принцесса, познакомившись с ними, может сказать, какой из них лучше. Познакомившись с претендентом, принцесса может либо принять предложение (и тогда выбор сделан навсегда), либо отвергнуть его (и тогда претендент потерян: царевичи и королевичи гордые и не возвращаются). Какой стратегии должна придерживаться принцесса, чтобы с наибольшей вероятностью выбрать лучшего из претендентов?”.

Язык «ε–δ» возник в работах математиков XIX века. Хотя обозначения впервые ввёл Коши, эпсилонтика как метод сформировалась в лекциях Вейерштрасса. Больцано в 1817 и Коши в 1821 году дали определения предела в качественной форме и определения непрерывной функции на языке приращений; Коши в 1823 году применил ε и δ при улучшении доказательства Ампера теоремы о среднем, но Коши использовал ε и δ как конечные оценки погрешности, где δ не зависит от ε. Процесс осознания понятий непрерывности и равномерной непрерывности функции шёл сложным путём в работах Стокса, Зайделя, Римана, Дирихле, Раабе и многих других. В полной мере метод «эпсилон-дельта» проявился в определении предела только у Вейерштрасса в 1861 году. Легенда о принадлежности метода Огюстену Коши возникла в начале XX века в работе Лебега и затем многократно повторялась. Обращение к первоисточникам позволило исправить эту историческую ошибку.

В 1918 году Польша воссоединилась в единое государство, и в Варшаве, а после во Львове появились две сильные математические школы – теории множеств во главе с Вацлавом Серпинским и функционального анализа во главе со Стефаном Банахом. Об их возникновении и плодотворных результатах этот доклад.

Теорему Ролля впервые доказал Вейерштрасс, а теорема Больцано–Коши была сформулирована Роллем за 127 лет до них. Производное уравнение умели составлять за 100 лет до появления дифференциального исчисления. Как же развивались эти идеи? Что же сделал Мишель Ролль, сын сапожника и академик?

Алексей Семихатов, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Физического института РАН помогает ведущим разобраться в разнице между принципами симметрии и суперсимметрии.

Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2007 г.

Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.

Астроидой называется гипоциклоида с четырьмя остриями. Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению. Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях.